石勇國，鐘韜

一類冪函數(shù)的半共軛

石勇國1，鐘韜2

(1.信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南信陽464000;2.四川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川成都611130)

運用動力系統(tǒng)方法得到了一種新的實數(shù)表示.利用這種實數(shù)的表示，給出了冪函數(shù)ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0到f1(x)=2|x|－1的半共軛的精確表達(dá)式.

區(qū)間映射;半共軛;冪函數(shù);實數(shù)表示;共軛方程

設(shè)I和J是緊區(qū)間.若共軛方程φ°f=g°φ存在連續(xù)解φ:I→J，則稱自映射f:I→I和g:J→J是拓?fù)浒牍曹?，簡稱f半共軛于g.連續(xù)映射φ稱作拓?fù)浒牍曹棧喎Q半共軛.進(jìn)一步，如果連續(xù)映射φ是雙射，那么稱f和g是拓?fù)涔曹?，簡稱f共軛于g.

如果2個映射共軛，則它們具有相同的動力學(xué)性質(zhì);如果f半共軛于g，則映射f的動力學(xué)性質(zhì)至少像g那樣復(fù)雜.這樣，考慮某個映射的動力學(xué)性質(zhì)，一般先將這個映射(半)共軛到最簡單的映射，即是所謂的正規(guī)型.

W.Parry［1］首先給出了關(guān)于區(qū)間映射共軛的經(jīng)典結(jié)果:若多峰映射f是傳遞的，則f共軛于一個斜率為±s的逐段線性映射，其中l(wèi)og s為f的拓?fù)潇?后來，J.Milnor等［2］進(jìn)一步給出了半共軛的結(jié)果:如果f是連續(xù)的逐段單調(diào)的區(qū)間映射，拓?fù)潇豯og s＞0，則f半共軛于一個斜率為±s的逐段線性映射，而且這樣的半共軛是單調(diào)的.J.F.Alves等［3］指出這樣的單調(diào)半共軛不唯一.

不妨設(shè)I:=［－1，1］，考慮區(qū)間I上的冪函數(shù)ft(x)=2|x|t－1，t＞0，如圖1所示.這類映射是一類單谷映射，最簡單的形式是逐段線性映射f1(x)=2|x|－1.J.Mycielski［4］利用所謂的零點匹配法［5］構(gòu)造共軛，證明了:對于1/2≤t≤2，ft共軛于f1;對于0＜t＜1/2，ft不共軛于f1.C.Kawan［6］利用不動點定理得到:對于t＞1，ft共軛于f1.于是有:對于t≥1/2，ft共軛于f1.

D.S.Ou等［7］考慮了單峰映射與帳篷映射的半共軛問題，及其推廣.由他們的結(jié)論可得到:對于0＜t＜1/2，ft半共軛于f1，而且遞增的半共軛存在且唯一.由于無法找到半共軛的精確表達(dá)式，他們利用逐段線性的函數(shù)序列逼近半共軛.一個有意思的問題是如何準(zhǔn)確確定半共軛，這也是求解共軛方程的核心問題之一［8－9］.

本文利用實數(shù)的f1展開，對于t＞0，給出了映射ft到f1的半共軛的精確表達(dá)式.該方法可以推廣到一般的單谷或單峰映射的半共軛問題.無需逼近，即可得到精確的半共軛.

1 實數(shù)的f1展開

下面介紹f1展開的概念.它是文獻(xiàn)［10］中一類特殊的展開.

考慮區(qū)間I=［－1，1］，按照f1的谷點，將它分成2部分:

任意的實數(shù)x∈I有下面的展開表達(dá)式

不論哪種情形，均有x2∈I.

迭代上面過程，得到一個序列{xn}，這里x1= x，且對于n≥2有

令

于是

這樣x可以展開成級數(shù)的形式

類似于二進(jìn)制，對于每個x∈I都可以通過0－1序列{εn}n∈N表示.簡記為

容易得到x=－1的f1展開為［1，0，0，0，…］;x=0的f1展開為［1，1，0，0，0，…］;x=1的f1展開為［0，0，0，0，…］.對于每個0－1序列{εn}n∈N，根據(jù)上面的展開式，在I上存在唯一一個實數(shù)與之對應(yīng).

定義關(guān)于映射f1展開的柱集.

可以看出這些集合是端點為［ε1，ε2，…，εk，1，0，0，0，…］和［ε1，ε2，…，εk，0，0，0，…］的閉區(qū)間.因此這些閉區(qū)間的長度為

2 半共軛的精確表達(dá)式

定義2.1給定t＞0，一個0－1數(shù)列{εn}n∈N稱為點x∈I關(guān)于映射ft的跡，如果

特別地，當(dāng)上面定義的映射ft是映射f1時，點x∈I關(guān)于映射f1的跡就是f1展開式.

下面給出半共軛的精確表達(dá)式

定理2.2給定t＞0，任取點x∈I，設(shè)0－1數(shù)列{εn}n∈N是點x關(guān)于映射ft的跡，則φt:I→I

是映射ft到映射f1的一個半共軛.

利用MATLAB畫出φt曲線，如圖2所示.

證明首先證明定義的φt滿足φt°ft=f1°φt.因為點ft(x)關(guān)于映射ft的跡為{ε2，ε3，…，εn，…}，于是

另一方面，若φt(x)≤0，則ε1=1，于是

若φt(x)＞0，則ε1=0，于是

因此，對于所有x∈［－1，1］，都有φt°ft=f1°φt.

再證明φt是區(qū)間［－1，1］上的連續(xù)的滿射.根據(jù)跡，容易得到φt(－1)=－1，φt(0)=0和φt(1)=1.下面分3種子情形證明.

情形(i)任取x∈［－1，1］使得對于所有的非負(fù)整數(shù)k，ft

k(x)≠0.證φt在這樣的點x上連續(xù).事實上，由ft的連續(xù)性知ft的所有次迭代也連續(xù).任取?＞0，選擇N使得2－(N+1)＜?.令

存在一個δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，那么對于k=0，1，2，..，N均有|(x)－(x')|＜δ'.由x， x'的假設(shè)，則x，x'關(guān)于映射ft的跡在前N+1個位置相同，根據(jù)φt的定義有|φt(x)－φt(x')|≤2－(N+1)＜?.

情形(ii)證φt在點x=0處連續(xù).知道無窮數(shù)列{1，1，0，0，0，…}是點x=0關(guān)于映射f1的跡;前面N+1個數(shù)字具有形式{1，1，0，0，0，…}的跡的點x都落在區(qū)間［－1/2N，0］上;前面N+1個數(shù)字具有形式{0，1，0，0，0，…}的跡的點x都落在區(qū)間［0，1/ 2N］上.同時，點x=0關(guān)于映射ft的跡是{1，1，0，0，0，…}.任取?＞0，選擇N使得1/2N－1＜?.于是對于所有的正整數(shù)k，有fk(c)≠c，類似情形(i)的證明，可以找到一個δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|0－x'|＜δ，點x=0和x'關(guān)于映射ft的跡至少從第2個位置到前N+1個位置相同.這樣φt(x)∈［－1/2N，1/2N］上，由于φt(0)=0，所以|φt(x')－φt(0)|≤1/2N－1＜?.

情形(iii)討論x≠0但存在正整數(shù)k使得fk(x)=0的所有這樣的點，證φ在這樣點x處連續(xù).設(shè)存在最小的正整數(shù)N使得fN(x)=0，記y=0=fN(x).由情形(ii)，φ在這樣點y=0處連續(xù)，即對于任取?＞0，存在δ'＞0使得如果y'∈［－1，1］且|y－y' |＜δ'，則有|φt(y)－φt(y')|＜?.令存在正數(shù)δ使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，則有|(x)－(x')|＜δ'和(x)－(x')|＜γ，k=0，1，2，..，N－1.這樣點x和x'關(guān)于映射ft的跡的前N個位置相同.因此，令g－i1表示f1某個單調(diào)區(qū)間上的逆映射

證畢.

注2.3根據(jù)φt公式，容易驗證φt(x)≥0當(dāng)且僅當(dāng)x≥0.φt(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0.進(jìn)一步可得φt(［－1，0］)=［－1，0］，φt(［0，1］)=［0，1］.

注2.4給定0＜t＜1/2，設(shè)0＜x0＜1是映射ft的不動點.于是對于任意的x∈［x0，1］，x關(guān)于映射ft的跡{0，0，0，…}，所以φt(x)=1.對于任意的x∈［－1，(x0+1)1/t］，x關(guān)于映射ft的跡{1，0，0，0，…}，所以φt(x)=－1.

致謝四川師范大學(xué)博士科研啟動一般項目(2015KYQD314)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

［10］BYES B.Monotonic semiconjugacies onto expanding maps of the interval［J］.Proc Am Math Soc，1983，89:371－374.

［11］CIEPLINSKI K，ZDUN M C.On uniqueness of conjugacy of continuous and piecewise monotone functions［J］.Fixed Point Theory and Applications，2009，2009:230414.

［12］RENYI A.Representations for real numbers and their ergodic properties［J］.Acta Math Acad Sci Hungar，1957，8:477－493.

［13］SHI Y G，WANG Z H.Topological conjugacy between skew tent maps［J］.Inter J Bifur Chaos，2015，25(9):1－9.

［14］SHI Y G，TANG Y L.On conjugacies between asymmetric Bernoulli shifts［J］.J Math Anal Appl，2016，434(1):209－211.

［15］LESNIAK Z，SHI Y G.Topological conjugacy of piecewise monotonic functions of nonmonotonicity height≥1［J］.J Math Anal Appl，2015，423(2):1792－1803.

［16］SEGAWA H，ISHITANI H.On the existence of a conjugacy between weakly multimodal maps［J］.Tokyo J Math，1998(21):511－521.

Semi-conjugacies for a Type of Power Functions

SHI Yongguo1，ZHONG Tao2
(1.College of Mathematics and Information Science，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，Henan; 2.Sichuan Vocational and Technical College of Communications，Chengdu 611130，Sichuan)

With the method of dynamical system，we obtain a new representation of real numbers.Using this new real number representation，we obtain the explicit expression of the semi-conjugacy of the power function ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0 to f1(x)=2|x|－1.

maps of the interval;semi-conjugacy;power function;real number representation;conjugacy equation

46B20;39B12

A

1001－8395(2016)03－0318－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.003

(編輯周俊)

2015－11－19

國家自然科學(xué)基金(11301256)，四川省教育廳科研創(chuàng)新團隊基金(14TD0026)和四川省教育廳自然科學(xué)一般項目(16ZB0063)

石勇國(1978—)，男，副教授，主要從事函數(shù)方程的研究，E－mail:scumat@163.com

［1］PARRY W.Symbolic dynamics and transformations of the unit interval［J］.Trans Am Math Soc，1966，122:368－378.

［2］MILNOR J，THURSTON W.On Iterated Maps of the Interval［C］//Lecture Notes in Mathematics 1342.Berlin，Heidelberg，New York:Springer－Verlag，1988:465－563.

［3］ALVES J F，RAMOS J S.One－dimensional semiconjugacy revisited［J］.Inter J Bifur Chaos，2003，13:1657－1663.

［4］MYCIELSKI J.On the conjugates of the function 2|x|－1 in［－1，1］［J］.Bull London Math Soc，1980，12:4－8.

［5］BANKS J，DRAGAN V，JONES A.Chaos:A Mathematical Introduction［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2003.

［6］KAWAN C.On expanding maps and topological conjugacy［J］.J Difference Equ Appl，2007，13:803－820.

［7］OU D S，PALMER K J.A constructive proof of the existence of a semi－conjugacy for a one dimensional map［J］.Discrete Contin Dyn Syst，2012，B17:977－992.

［8］KUCZMA M.Functional Equations in a Single Variable［M］.Warsaw:Polish Scientific Publ，1968.

［9］ZHANG J，YANG L，ZHANG W.Some advances on functional equations［J］.Adv Math Chin，1995，24:385－405.

2010 MSC:26A03