崔美玲

“司馬光砸缸”的故事在中國(guó)可以說(shuō)是家喻戶(hù)曉. 故事說(shuō)的是幾個(gè)小朋友在一起捉迷藏，結(jié)果有個(gè)小朋友不小心摔了下來(lái)，正好摔倒在水缸里. 水缸又高又大，如果不及時(shí)救助的話，那個(gè)小朋友會(huì)很快被淹死. 別的小朋友都嚇壞了，這時(shí)的司馬光急中生智，抱起一塊石頭狠勁向水缸砸去，水缸被砸開(kāi)了，水也很快流了出來(lái)，缸中的孩子得救了. “司馬光砸缸”給我們的啟示是遇到某些問(wèn)題需要變換思維的角度，也就是轉(zhuǎn)化思想來(lái)思考. 如果司馬光沒(méi)有轉(zhuǎn)化思想而只是按照一般的思路去救這個(gè)孩子的話，在當(dāng)時(shí)的條件下肯定是救不了的. 因此，司馬光砸缸的故事啟發(fā)我們?cè)诮獯鹉承?shù)學(xué)難題時(shí)，也應(yīng)該轉(zhuǎn)化一下數(shù)學(xué)思想，打破習(xí)慣思維，另找突破口從而解決問(wèn)題. 下面我們來(lái)看幾道利用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的題目.

例1 （2015·河南）如圖1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作，交OB于點(diǎn)D. 若OA=2，則陰影部分的面積為_(kāi)_____.

【思路突破】連接OE，將圖中不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形OCE的面積與扇形OEB的面積之和減去扇形OCD的面積.

【解后反思】轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想，是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”，將“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，將“實(shí)際問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的解題方法，其核心就是將有待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的明確解決的問(wèn)題，以便利用已有的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題. 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想靈活解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是提高解題能力的有效途徑. 我們也常常在不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間互相轉(zhuǎn)化，可以說(shuō)，轉(zhuǎn)化思想幾乎無(wú)處不在.

例2 （2013·東營(yíng)）如圖2，圓柱形容器中，高為1.2 m，底面周長(zhǎng)為1 m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3 m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為_(kāi)_____m.（容器厚度忽略不計(jì)）

【思路突破】壁虎與蚊子在相對(duì)的位置，將容器的側(cè)面展開(kāi)建立點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，容器的底面周長(zhǎng)是1m，A′D的長(zhǎng)度就應(yīng)該是0.5 m. 利用勾股定理在Rt△A′BD中求出A′B的長(zhǎng)度，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求.

∴壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

【解后反思】對(duì)于這種立體圖形求最短路徑的問(wèn)題，往往把圖形展開(kāi)轉(zhuǎn)化成平面的問(wèn)題加以解決. 在解數(shù)學(xué)題時(shí)，所給的條件有時(shí)不能直接應(yīng)用，此時(shí)就需要我們將所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 如本題的最短路徑問(wèn)題是通過(guò)圖形的展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題.

例3 （2014·涼山）某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗共1 000株用以綠化校園. 甲種樹(shù)苗每株25元，乙種樹(shù)苗每株30元，通過(guò)調(diào)查了解，甲、乙兩種樹(shù)苗的成活率分別是90%和95%.

（1） 若購(gòu)買(mǎi)這兩種樹(shù)苗共用去28 000元，則甲、乙兩種樹(shù)苗各購(gòu)買(mǎi)多少株？

（2） 要使這批樹(shù)苗的成活率不低于92%，則甲種樹(shù)苗最多購(gòu)買(mǎi)多少株？

（3） 在（2）的條件下，應(yīng)如何選購(gòu)樹(shù)苗，使購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗的費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用.

【思路突破】可以利用大家都熟悉的二元一次方程組解決第（1）個(gè)問(wèn)題；而第（2）個(gè)問(wèn)題很顯然要用不等式來(lái)解決；至于第（3）個(gè)問(wèn)題如果直接來(lái)求解，既麻煩還容易出錯(cuò)誤，不妨把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，思路清晰，步驟簡(jiǎn)捷.

解：（1） 設(shè)購(gòu)甲種樹(shù)苗x株，乙種樹(shù)苗y株，

由題意，得：x+y=1 000，25x+30y=28 000，

解這個(gè)方程組，得：x=400，y=600.

∴購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗400株，乙種樹(shù)苗600株.

（2） 設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗z株，乙種樹(shù)苗（1 000-z）株，

由題意，得：

90%z+95%（1 000-z）≥92%×1 000，

解這個(gè)不等式，得：z≤600.

答：甲種樹(shù)苗至多購(gòu)買(mǎi)600株.

（3） 購(gòu)買(mǎi)樹(shù)苗的總費(fèi)用為W元，

由題意，得：

W=25z+30（1 000-z）=-5z+30 000

∵-5<0，∴W隨z的增大而減小，

∵0

∴當(dāng)z=600時(shí)，w有最小值，

W最小值=30 000-5×600=27 000（元）.

答：當(dāng)選購(gòu)甲種樹(shù)苗600株，乙種樹(shù)苗400株時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是27 000元.

【解后反思】本題主要是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)增減性的問(wèn)題. 由總費(fèi)用=購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗的費(fèi)用+購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的費(fèi)用，得W=25z+30（1 000-z）=-5z+30 000. 由一次函數(shù)性質(zhì)，k=-5<0，知道W隨z的增大而減小，而0

由此可見(jiàn)，轉(zhuǎn)化在解題過(guò)程中，能起到化難為易、以繁為簡(jiǎn)、變生為熟的效果. 當(dāng)面臨一些難題時(shí)，一旦找到適當(dāng)巧妙的轉(zhuǎn)化，問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單明了. 轉(zhuǎn)化思想貫穿在數(shù)學(xué)解題的始終，而轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，沒(méi)有統(tǒng)一的模式可遵循，需要依據(jù)問(wèn)題提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維去尋求有利于問(wèn)題解決的變換途徑和方法，所以學(xué)習(xí)和熟悉轉(zhuǎn)化思想，有意識(shí)地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，去靈活地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，將有利于提高數(shù)學(xué)解題的應(yīng)變能力和技巧.