鞏子坤+李寧寧+汪勝

摘 要：通過對(duì)兩位高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人有關(guān)異面直線所成的角的概念教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，有的教師對(duì)于定義性概念教學(xué)，存在不適應(yīng)的問題，沒有整體把握概念形成的大思路，沒有理清概念引入、形成、引出的邏輯脈絡(luò).因此，教師在定義性概念教學(xué)中，要區(qū)分不同的概念類型，開展符合認(rèn)知規(guī)律與數(shù)學(xué)邏輯規(guī)律的針對(duì)性教學(xué).

關(guān)鍵詞：定義性概念教學(xué)；適應(yīng)性；異面直線所成的角

一、 問題的提出

（一）研究的背景

實(shí)現(xiàn)課程改革目標(biāo)的關(guān)鍵在于教師.有研究表明，現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)思想、教育技能與新課程理念還是比較接近的[1].但也有研究指出，從理論上講，新課程理念能夠?yàn)橐痪€教師所接受，但是理念要轉(zhuǎn)化為行為，在課堂實(shí)施中不走樣，尚需一段時(shí)日.如今，阻礙改革順利進(jìn)行的問題重心已經(jīng)從理解“為什么”轉(zhuǎn)到了思考“怎么做”[2] .

以上研究，大都從宏觀的視角，探查了數(shù)學(xué)教師對(duì)課改的適應(yīng)性，缺乏對(duì)于“怎樣做”的微觀思考.本文基于兩位數(shù)學(xué)教師“異面直線所成的角”課堂教學(xué)案例，微觀探查教師對(duì)概念教學(xué)的適應(yīng)性.

（二）主要概念的界定

概念是對(duì)一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的簡明、概括反映.按照加涅的分類方法，數(shù)學(xué)概念可以分成具體概念與定義性概念.

具體概念指一類事物的共同本質(zhì)特征，這些特征可以直接通過觀察獲得.獲得具體概念就意味著能識(shí)別事物的“類別”.比如，通過對(duì)幾個(gè)三角形的觀察，獲得“三角形有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)”.

定義性概念指一類事物的共同本質(zhì)特征，這些特征不能通過直接觀察獲得，必須通過下定義來揭示.定義性概念是對(duì)屬性及屬性間關(guān)系的言語陳述.比如，三角形的定義是“由三條線段首尾相接構(gòu)成的封閉的平面圖形”.

（三）研究問題的闡述

異面直線是高中數(shù)學(xué)的核心概念[3].為了進(jìn)一步刻畫該概念，必須引入異面直線所成角的概念.異面直線所成的角是定義性概念，定義性概念可以通過概念的形成來教學(xué).定義性概念是怎樣形成的？教學(xué)環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)的順序是否符合概念形成的認(rèn)知規(guī)律？是否符合定義性概念定義的邏輯順序？教學(xué)用時(shí)能保證這些環(huán)節(jié)的順利展開嗎？

二、研究的設(shè)計(jì)

（一）理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，主要有兩類過程，一是概念的形成，二是概念的同化.就概念形成而言（本研究主要涉及概念的形成），其實(shí)質(zhì)是抽象出某一對(duì)象共同本質(zhì)特征的過程.其一般過程包括：辨別、分化、類化、抽象、檢驗(yàn)、概括、形成.

對(duì)于數(shù)學(xué)概念（或者原理）的學(xué)習(xí)，可以從以下三個(gè)維度進(jìn)行分析：引入，即為什么、用什么樣的情境來引入概念；形成，即如何探究形成該概念；引出，一方面應(yīng)用該概念解決問題，另一方面，該概念又引出了哪些新概念，如若引出了新概念，則該概念就成為了新概念引入的情境[4] .

（二） 研究對(duì)象

2015年上半年，來自浙江省內(nèi)的30名高中數(shù)學(xué)帶頭人聚集一堂，開展主題為“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐能力提升”的學(xué)習(xí)與實(shí)踐.這些教師的概念教學(xué)具有代表性.

本文的研究對(duì)象是兩位學(xué)科帶頭人，研究載體是異面直線所成角的概念教學(xué).

（三）數(shù)據(jù)收集與分析

兩位教師于同一天，在一所省級(jí)重點(diǎn)高中，先后進(jìn)行了“空間中直線與直線之間的位置關(guān)系”一節(jié)課的教學(xué).我們進(jìn)行了視頻拍攝，然后將這兩節(jié)課的視頻轉(zhuǎn)錄成文字.我們從定性、定量兩個(gè)維度，分析兩位教師的教學(xué).定性的維度是教學(xué)環(huán)節(jié)亦即教學(xué)安排；定量的維度是教學(xué)環(huán)節(jié)的用時(shí).

三、結(jié)果與分析

（一） 概念形成的順序、邏輯

1.教師A概念形成的順序（教師A概念形成的思路見圖1）

教師A：（學(xué)習(xí)了異面直線的概念后）認(rèn)識(shí)異面直線，有兩個(gè)維度，一個(gè)是不平行，一個(gè)是不相交.要認(rèn)識(shí)不平行的話，我們可以去認(rèn)識(shí)平行.同樣的道理，要認(rèn)識(shí)不相交，我們也可以從相交開始.同樣，要認(rèn)識(shí)空間的幾何圖形，可以從平面開始.

（1）類比得到平行線的傳遞性

回顧平面中平行線的傳遞性；引出平行線的傳遞性公理（公理4）.

（2）直觀把握等角定理

教師A：以上介紹了公理4的簡單運(yùn)用.理、定理引入的必要性體現(xiàn)得更加自然、順暢，其對(duì)于異面直線所成角的認(rèn)識(shí)更加深刻、本質(zhì)，對(duì)于思想方法的貫徹更加準(zhǔn)確、清晰.

教師A對(duì)于定義性概念教學(xué)的大思路，本質(zhì)上也是對(duì)教材的補(bǔ)充與完善.想一想，教材的思路是清晰的：引入公理4，潛在地說明了異面直線所成角的存在性，同時(shí)，為證明等角定理提供了鋪墊；類比引入、直觀感受等角定理；類比平面引入空間異面直線所成的角；思考說明角的唯一性.但是，要理解這樣的思路，要把這個(gè)思路轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)的路徑、教學(xué)的設(shè)計(jì)，還是十分困難的[5].這個(gè)思路的中間，還有許許多多需要再加工的內(nèi)容.

正如講一個(gè)故事，故事的情節(jié)、人物已經(jīng)有了，但是，要把這個(gè)故事整體地聯(lián)接起來，要把這個(gè)故事的“起承轉(zhuǎn)合”處理好，還要下許多功夫.雖然，從公理4開始，是對(duì)異面直線這個(gè)具體概念、模糊概念的深入認(rèn)識(shí)，但是，教材沒有交代清楚.當(dāng)然，按照我們的理解，要對(duì)異面直線這個(gè)模糊概念有一個(gè)深入的認(rèn)知，就需從兩個(gè)維度展開：不平行，從而有夾角，即有傾斜程度（所以，認(rèn)知不平行就從夾角開始，這也許是對(duì)教師A教學(xué)思路的補(bǔ)充與完善）；不相交，就有距離（事實(shí)上，平行線距離的認(rèn)知，就是這樣開始的.這些觀點(diǎn)與梁麗平的觀點(diǎn)不謀而合[6]）.由于教材中只介紹夾角，而不介紹距離，因而，如何串聯(lián)起上述內(nèi)容，需要大的思路、大的智慧.進(jìn)一步，公理4是引入了，但是由于教材中沒有用這個(gè)公理證明異面直線所成角的存在性，也沒有用這個(gè)公理來證明等角定理，因而，這個(gè)公理的作用是潛在的.如何理解并處理這個(gè)公理的作用，值得思考.

如此看來，在“起”——即引起異面直線所成的角概念，在“承與轉(zhuǎn)”——即公理4的引入與引出，等角定理的引入與引出，公理4、等角定理與所成角的概念的承上啟下，在“合”——即與異面直線的距離整合在一起，全面地、定量地認(rèn)識(shí)異面直線的概念內(nèi)涵，等等方面，教材的處理是有問題的，是模糊的.即教材沒有把“異面直線”這個(gè)故事寫好，教師所需要的劇本存在瑕疵，教師這位導(dǎo)演需要對(duì)教材再理解、再編劇，因而，教師要講好這部分內(nèi)容就十分困難了.

（二）教材編寫建議

長方體是學(xué)習(xí)空間幾何最好的載體.教材在介紹等角定理時(shí)也是以長方體為載體的（如圖5）.為了說明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，除了兩角相等外，還有互補(bǔ)的情況，于是找了∠ADC和∠A1B1C1.但是這兩個(gè)角都是90°，可以說它們互補(bǔ)，但也可以說它們是相等，因此不能以此來說明等角定理.

我們可以采取另一種方法，仍然以長方體為載體（如圖6），添加輔助線A1F1和AF，使得A1F1∥AF，這樣∠A1F1B1和∠AFB的兩邊平行，兩個(gè)角相等；∠A1F1B1和∠AFC的兩邊也平行，而這兩個(gè)角互補(bǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]邵婷婷，邵光華.新課程高中數(shù)學(xué)教師適應(yīng)性研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，44（1）：15-18.

[2]鞏子坤，李忠如.數(shù)學(xué)教師對(duì)新課程理念的適應(yīng)性研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（3）：67-71.

[3]馬寧.高中數(shù)學(xué)核心概念及其教學(xué)的調(diào)查研究[D]. 西安：陜西師范大學(xué)，2015.

[4]孫旭花.問題變式：中國數(shù)學(xué)教材問題設(shè)計(jì)之特色[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（3）：54-59.

[5]MALONEY A P， et al. Learning over time： Learning trajectories in mathematics education[M]. Charlotte， NC： Information Age Publishing， 2014.

[6]丘成桐，等.數(shù)學(xué)與人文（第一輯）[M].北京：高等教育出版社，2011.