王光道，劉蔭忠，孫維堂

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京　100049；2.中國科學(xué)院 沈陽計(jì)算技術(shù)研究所，沈陽　110168)

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基于加權(quán)優(yōu)化的機(jī)器人逆向運(yùn)動學(xué)求解*

王光道1,2，劉蔭忠2，孫維堂2

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049；2.中國科學(xué)院 沈陽計(jì)算技術(shù)研究所，沈陽110168)

摘要：逆向運(yùn)動學(xué)求解是實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動控制的關(guān)鍵問題之一。如何快速準(zhǔn)確地確定最優(yōu)解一直成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。為此，對MOTOMAN-MH6機(jī)器人逆向運(yùn)動學(xué)的優(yōu)化問題進(jìn)行了研究。利用D-H矩陣建立了機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型，分析了代數(shù)解析法的求解過程，得到了多重完整逆解。結(jié)合機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和實(shí)際需求，提出了加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則，給定了權(quán)重函數(shù)的表達(dá)式，確定了逆向運(yùn)動學(xué)的最優(yōu)解。最后，通過機(jī)器人三維仿真系統(tǒng)以及試驗(yàn)對選取的最優(yōu)解進(jìn)行驗(yàn)證，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了研究方法的正確性。

關(guān)鍵詞：六關(guān)節(jié)機(jī)器人；逆向運(yùn)動學(xué)；代數(shù)解析法；加權(quán)“最短行程”；最優(yōu)解

0引言

六關(guān)節(jié)機(jī)器人結(jié)構(gòu)緊湊、靈活性高、工作范圍大，因而能很好地完成各種復(fù)雜任務(wù)并較早應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域。然而，六關(guān)節(jié)機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)求解具有一定的難度，在一定程度上制約著機(jī)器人工作效率的提高。目前機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)求解的方法主要有代數(shù)解析法和數(shù)值迭代法：代數(shù)解析法運(yùn)算速度快，實(shí)時性好，但機(jī)器人結(jié)構(gòu)必須符合Pieper準(zhǔn)則；數(shù)值迭代法可用于多數(shù)六關(guān)節(jié)機(jī)器人，但數(shù)值迭代法運(yùn)算速度慢，且不能得到準(zhǔn)確的逆解。工業(yè)六關(guān)節(jié)機(jī)器人結(jié)構(gòu)比較規(guī)則，一般末端三個關(guān)節(jié)的軸線始終交于一點(diǎn)，符合Pieper準(zhǔn)則，利用代數(shù)解析法求逆解具有優(yōu)勢。文獻(xiàn)[5]比較了兩種代數(shù)解析法的求解特點(diǎn)，卻沒有給出選取最優(yōu)解的算法流程。文獻(xiàn)[3]利用代數(shù)解析法求出8組逆解，利用“最短行程”準(zhǔn)則選取了一組最優(yōu)解。文獻(xiàn)[1]在利用代數(shù)解析法求解時引用了復(fù)指數(shù)，雖然說明應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選取最優(yōu)解，卻沒有對如何選取最優(yōu)解進(jìn)行深入討論。

本文在研究MOTOMAN-MH6機(jī)器人結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用D-H矩陣建立了機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型，利用代數(shù)解析法得到了多重完整逆解，提出的加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則能夠根據(jù)MOTOMAN-MH6機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及實(shí)際需求選取最優(yōu)解。

1MOTOMAN-MH6機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型

圖1為根據(jù)MOTOMAN-MH6機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用D-H方法建立的機(jī)器人各桿坐標(biāo)系。

圖1　MOTOMAN-MH6機(jī)器人結(jié)構(gòu)及運(yùn)動學(xué)坐標(biāo)

坐標(biāo)系{i-1}到坐標(biāo)系{i}的變化矩陣為：

(1)

根據(jù)表1中MOTOMAN-MH6機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)，其中θ值是各關(guān)節(jié)角處于初始狀態(tài)的值，將各參數(shù)值代入式(1)，可求出機(jī)器人末端姿態(tài)矩陣P和末端位置矩陣W。

表1　MOTOMAN-MH6機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)

2代數(shù)解析法求逆運(yùn)動學(xué)解

(1)求θ1。由L(3,4)=R(3,4)?

其中：

(3)求θ3。由第(2)步計(jì)算，可得:

θ3=Atan2(mL4+nL3,mL3-nL4)

其中：

h=sin(θ3-θ2)(αxcosθ1+αysinθ1)-αzcos(θ3-θ2)

(5)求θ4。由第(4)步計(jì)算，可得：

θ4=Atan2(f/sinθ5,g/sinθ5)

其中：

3多重逆解選取最優(yōu)解

對于求出的多組逆解，首先判斷其是否滿足關(guān)節(jié)角的范圍，剔除不滿足條件的解或者將其轉(zhuǎn)化為滿足條件的解，將處理后的逆解代入式(1)進(jìn)行驗(yàn)證，保證解的正確性和完整性。

目前機(jī)器人選取最優(yōu)解一般采用“最短行程”準(zhǔn)則，如圖2所示。這種計(jì)算方法計(jì)算簡單，卻忽視了機(jī)器人各關(guān)節(jié)的差異性和實(shí)際需求，求出的最優(yōu)解可能不是期望解。

圖2　“最短行程”準(zhǔn)則流程圖

為了選出符合機(jī)器人結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的最優(yōu)解，滿足機(jī)器人實(shí)際工作需求，在基于“最短行程”準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，提出了一種加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則，核心步驟就是通過求加權(quán)歐式距離最小值來選取最優(yōu)解。加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則如圖3所示。

圖3　加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則流程圖

給定權(quán)重函數(shù)的一種表達(dá)式為：

m為影響因子的個數(shù)，xk為第k個影響因子的值，pk為影響因子權(quán)重。

以MOTOMAN-MH6機(jī)器人為例，只考慮關(guān)節(jié)功耗和由關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動引起后續(xù)連桿移動掃過的空間范圍兩個影響因子，此時m=2。轉(zhuǎn)過相同角度各關(guān)節(jié)功耗之比為W1:W2:W3:W4:W5:W6，空間范圍之比為S1:S2:S3:S4:S5:S6。此處，功耗之比經(jīng)機(jī)器人測試可得出近似值，規(guī)定：

功耗影響因子的權(quán)重p1=0.3，桿移動空間范圍影響因子權(quán)重p2=1-p1=0.7。此時，“最短行程”權(quán)重因子為：

將其帶入加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則公式中，可求出最優(yōu)解。

在具體求解過程中，影響因子的個數(shù)和值應(yīng)以機(jī)器人自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)行狀況為準(zhǔn)，影響因子的權(quán)重根據(jù)實(shí)際需求給定。

4驗(yàn)證

MOTOMAN-MH6機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)最優(yōu)解的驗(yàn)證是通過實(shí)驗(yàn)室機(jī)器人三維仿真系統(tǒng)以及實(shí)體安川機(jī)器人來完成。將機(jī)器人末端三個連桿視為小連桿，其余為大連桿。當(dāng)前機(jī)器人處于運(yùn)動學(xué)初始狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)過程中期望機(jī)器人側(cè)重移動小連桿以降低功耗、減少機(jī)器人連桿空間移動范圍。依據(jù)實(shí)際需求計(jì)算出歐式距離的權(quán)重因子之比為：ω1:ω2:ω3:ω4:ω5:ω6=15:10:7:4:3:1。

如：輸入6個關(guān)節(jié)角依次為：50,30,-50,50,100,-150。求出的末端位姿矩陣為：

按照“最短行程”準(zhǔn)則選取的最優(yōu)解為：-130.000000,38.961124,-47.832366,-52.608561,71.719043,40.621141。按照加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則選取的最優(yōu)解為：50.000000,30.000000,-50.000000,50.000000,100.000000,-150.000000。

表2為近似全局關(guān)節(jié)角試驗(yàn)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)總組數(shù)為388962，按照“最短行程”準(zhǔn)則和加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則選出最優(yōu)解不一致的組數(shù)為6392組，不一致組數(shù)占試驗(yàn)總組數(shù)的比例為1.64%。

表2　近似全局關(guān)節(jié)角試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表3為局部關(guān)節(jié)角范圍內(nèi)的驗(yàn)證，試驗(yàn)總組數(shù)為15625，按照“最短行程”準(zhǔn)則和加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則選出最優(yōu)解不一致的組數(shù)為11604組，不一致組數(shù)占試驗(yàn)總組數(shù)的比例為74.27%。

由加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則公式可知：若六個關(guān)節(jié)角的歐式距離權(quán)重因子之比為1，加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則將退化為“最短行程”準(zhǔn)則，此時最優(yōu)解不一致組數(shù)占試驗(yàn)總組數(shù)的比例為0%。因而，最優(yōu)解不一致組數(shù)占試驗(yàn)總組數(shù)比例大小與末端位姿的范圍以及歐式距離權(quán)重大小有關(guān)。

表3　局部關(guān)節(jié)角試驗(yàn)數(shù)據(jù)

假設(shè)“最短行程”準(zhǔn)則選取的一組最優(yōu)解為θ1，θ2,θ3，θ4，θ5，θ6；加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則選取的一組最優(yōu)解為θw1，θw2，θw3，θw4，θw5，θw6。令：

在局部關(guān)節(jié)角試驗(yàn)得到的11604組不一致最優(yōu)解中均勻采取24組數(shù)據(jù)，具體分析如圖4所示。

圖4　加權(quán)優(yōu)化前后效果對比圖

由圖4對比折線可以看出，加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則在求逆解過程中側(cè)重移動小連桿而不是大連桿，符合初始需求。

5結(jié)論

機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)求解有一定的難度，利用代數(shù)解析法可以快速有效求出六關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人多重完整逆解；加權(quán)“最短行程”準(zhǔn)則能夠選取符合機(jī)器人結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和實(shí)際需求的逆解；機(jī)器人三維模型仿真系統(tǒng)和實(shí)體安川機(jī)器人對最優(yōu)解進(jìn)行驗(yàn)證，表明了研究方法的正確性，為進(jìn)一步研究機(jī)器人軌跡規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

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(編輯趙蓉)

Inverse Kinematics of Robot Based on Weighted Optimization

WANG Guang-dao1,2, LIU Yin-zhong2, SUN Wei-tang2

(1.Graduate University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 2.Shenyang Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Science, Shenyang 110168, China)

Abstract：Inverse kinematics is one of the key problems to realize the motion control of robot. How to determine the optimal solution quickly and accurately has been the hot spot at home and abroad. For this reason, the optimization of inverse kinematics for the MOTOMAN-MH6 robot is studied. The D-H Matrix is used to establish kinematics model, and the process of the algebraic analytic method is analyzed, and then the multiple complete inverse solutions are obtained. According to the structural features of robot and practical requirements, a weighted "shortest stroke" criterion is proposed, and the weight function is determined and a set of optimal solutions is selected. Finally, the optimal solution is verified by the robot 3D simulation system and the experiment, which proves the correctness of the research method.

Key words：six-joint robot; inverse kinematics; algebraic analysis; weighted "shortest stroke"; the optimal solution

文章編號：1001-2265(2016)05-0001-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.05.001

收稿日期：2015-06-14

*基金項(xiàng)目：“核高基”專項(xiàng)(2012ZX01029-001-002)

作者簡介：王光道(1988—)，男，河南漯河人，中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)，(E-mail)zezhen@126.com。

中圖分類號：TH166;TP242.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A