周明華，鄭婷婷，陸　川，孫長(zhǎng)啟

(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

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多人智豬博弈及其在羊群模型中的應(yīng)用

周明華，鄭婷婷，陸川，孫長(zhǎng)啟

(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

摘要：在原始雙人智豬博弈模型的基礎(chǔ)之上，引入懲罰因子和反省機(jī)制，提出了一個(gè)N人擴(kuò)展智豬博弈模型.由于在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中經(jīng)紀(jì)人的能力存在差別，因此將N人擴(kuò)展智豬博弈與羊群模型相結(jié)合，提出了一個(gè)帶有智豬博弈的羊群模型，使得當(dāng)經(jīng)紀(jì)人做決策時(shí)并不是單一地選擇跟隨.最后，對(duì)該模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：帶有智豬博弈的羊群模型能較好得反應(yīng)金融市場(chǎng)的行為和特性.

關(guān)鍵詞：智豬博弈；羊群模型；懲罰因子；反省機(jī)制

在博弈論經(jīng)濟(jì)學(xué)中，智豬博弈是一個(gè)經(jīng)典的模型.1979年動(dòng)物心理學(xué)家Baldwein和Meese做了一個(gè)著名的實(shí)驗(yàn)[1]：在豬圈里放一大一小兩頭豬，在豬圈的一頭裝一個(gè)控制豬食的拱桿，另一頭裝一個(gè)供應(yīng)食物的實(shí)槽，每拱一次拱桿食槽中便會(huì)有食物落下.經(jīng)過(guò)多次博弈之后，達(dá)到一個(gè)均衡狀態(tài)：大豬出力，小豬搭便車.1989年，E.Rasmusen[2]將該現(xiàn)象引進(jìn)博弈論，提出了原始的智豬博弈模型.目前，該模型的研究都是在原始雙人智豬博弈模型的一些條件上進(jìn)行改進(jìn)[3-4]，以及該博弈模型的一些實(shí)際應(yīng)用[5-6].但是，考慮到實(shí)際情況中，博弈個(gè)體往往是多方的，如團(tuán)體內(nèi)個(gè)體間的博弈，此時(shí)，原始智豬博弈的應(yīng)用存在一定的局限性，為了克服這種局限性，在雙人博弈模型的基礎(chǔ)上對(duì)此進(jìn)一步改進(jìn)，提出了一個(gè)帶有懲罰因子的N人擴(kuò)展智豬博弈模型，使得智豬博弈模型的應(yīng)用能更為廣泛.

近年來(lái)，隨著行為金融學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)被廣泛認(rèn)知，學(xué)者們對(duì)投資者行為及金融時(shí)間價(jià)格收益率的研究也愈來(lái)愈熱.Eguiluz和ZimmermannEZ[7]在Physical Review Letters中提出了一個(gè)羊群模型，從金融市場(chǎng)的微觀機(jī)理上解釋了金融時(shí)間價(jià)格的收益率為何存在尖峰胖尾的現(xiàn)象，從而獲得了許多學(xué)者的重視.從此，羊群模型的研究及應(yīng)用迅速引起了相關(guān)學(xué)者的興趣.目前許多學(xué)者都對(duì)羊群模型做了更深入的研究，如鄭波，董林榮，Arne C.Klein等[8-16].我們發(fā)現(xiàn)，目前已有的研究羊群行為的各種模型，大都遵循EZ羊群模型的提出的同一個(gè)集團(tuán)中的經(jīng)紀(jì)人會(huì)因?yàn)檠蛉盒袨槎扇∠嗤呗缘募僭O(shè)，但是這一假設(shè)過(guò)于理想化.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)，由于集團(tuán)內(nèi)的各經(jīng)紀(jì)人得到不同的信息，擁有多樣化的資源，他們的認(rèn)知能力，判斷能力，心理因素等都存在著或多或少的差異，因而同一集團(tuán)中的經(jīng)紀(jì)人做決策時(shí)，并非所有人都選擇跟隨，經(jīng)紀(jì)人與經(jīng)紀(jì)人之間會(huì)有一個(gè)相互博弈的過(guò)程.因此，為了更貼近現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)，我們將多人智豬博弈模型與羊群模型結(jié)合，提出了一個(gè)帶有多人智豬博弈的羊群模型，并對(duì)其進(jìn)行了仿真分析.仿真結(jié)果表明：帶有智豬博弈的羊群模型符合現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)的程式化規(guī)律.

1N人擴(kuò)展智豬博弈模型

1.1原始智豬博弈簡(jiǎn)介

在智豬博弈(Boxed pigs)中，假設(shè)豬圈里有兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬.豬圈的一邊是一個(gè)供應(yīng)食物的食槽，另一邊是一個(gè)控制食槽中食物供應(yīng)的踏板.當(dāng)有豬踩踏板時(shí)，位于另一頭的食槽就會(huì)有一份食物落下.若小豬選擇踩踏板，大豬會(huì)在小豬跑到食槽前吃光一整份食物；若大豬選擇踩踏板，小豬只能在大豬到達(dá)前時(shí)吃掉半份食物.并且假設(shè)大豬吃的速度是小豬的兩倍，大小豬跑路均需要消耗一份食物1/4的能量.表1為其支付矩陣.在支付矩陣中，我們注意到，不論大豬怎么選擇，等待均是小豬的最優(yōu)選擇.因?yàn)?，若大豬踩踏板，小豬如果也踩踏板則收益為1/12，選擇等待的收益為8/12；若給定大豬等待，小豬選擇踩踏板的收益為-1/4，選擇等待則是0.所以等待是小豬的占優(yōu)策略.在小豬總是選擇等待的情況下，踩踏板是大豬的最優(yōu)選擇.所以，納什均衡是：大豬踩踏板，小豬等待.

表1　智豬博弈支付矩陣

1.2N人擴(kuò)展智豬博弈模型

由于在現(xiàn)實(shí)世界中博弈方往往不止兩個(gè)，比如金融市場(chǎng)中的經(jīng)紀(jì)人.由此提出了一個(gè)N 人擴(kuò)展智豬博弈模型.

該模型假設(shè)：一個(gè)豬圈中共有N′ 頭豬，其中大豬N1頭，小豬N2頭，并且假設(shè)N1=0.4N′，N2=0.6N′，即N1+N2=N′.其中踩踏板的大豬有n1頭，踩踏板的小豬有n2頭，n表示踩踏板的豬的總數(shù)，即n=n1+n2.在初始狀態(tài)下選擇踩踏板的概率為p.a為一只大豬踩踏板落下的食物，b為一只小豬踩踏板落下的食物(a>b)，選擇踩踏板的豬需要消耗的能量為d.由于考慮到實(shí)際情況中博弈者做出決策往往需占用或使用如資金、材料而引起應(yīng)當(dāng)支付的費(fèi)用，或需付出一定的時(shí)間代價(jià)，以及在這等待時(shí)間中造成的市場(chǎng)機(jī)會(huì)的丟失等等，而這時(shí)的時(shí)間成本會(huì)隨著決策人數(shù)的變化而變化，當(dāng)做決策的博弈者越多時(shí)，所需付出的時(shí)間成本越少.為了簡(jiǎn)化計(jì)算，筆者使用了反比例函數(shù)來(lái)計(jì)算時(shí)間成本，記需要消耗的時(shí)間成本為 l=α/n(α為一個(gè)常數(shù)).若不踩踏板，還需要受到一定的懲罰，引進(jìn)懲罰因子Q.則集團(tuán)的總收益為an1+bn2.由于大豬的吃食速度大于小豬的吃食速度，則可假設(shè)所有大豬可獲得總收益的60%，小豬獲得總收益的40%.因此可得2種收益函數(shù)：

1) n=0時(shí)，P=0(即所有豬的收益均為0).

2) n≠0時(shí)，分別考慮大豬與小豬的情況，即

(1)大豬：

(2)小豬：

在博弈中假設(shè)行為主體具有完全理性思維，即所有參與者都是理性的，并且所有參與者知道其他參與者也都是理性的，這在實(shí)際情況中，對(duì)于行為主體的認(rèn)知能力而言是一項(xiàng)非常嚴(yán)格的假設(shè)，通常得不到保證.在該假設(shè)下，只要納什均衡存在，不需要任何的動(dòng)態(tài)調(diào)整過(guò)程，只需博弈一次就可以直接達(dá)到納什均衡，這顯然不符合現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng).因此筆者進(jìn)而引進(jìn)了一個(gè)演化機(jī)制下的N 人擴(kuò)展智豬博弈模型，該模型中假設(shè)行為主體是有限理性的，他們無(wú)法在博弈中瞬間獲得最優(yōu)的結(jié)果，而是在博弈過(guò)程中不斷的修正和改進(jìn)的，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的調(diào)整過(guò)程.這與現(xiàn)實(shí)情況更符合.

1.3演化機(jī)制下的N人擴(kuò)展智豬博弈

在演化博弈中，通常代理人需要按照一定的規(guī)則對(duì)他們的使用策略進(jìn)行更換，采用“自我反省”的機(jī)制進(jìn)行更換.所謂反省機(jī)制，即單輪博弈結(jié)束后，代理人可以獲悉此輪博弈中的合作代理人數(shù)，不合作代理人數(shù)，通過(guò)計(jì)算采取相反策略獲得的虛擬收益(PV)與實(shí)際收益(PR)的差別來(lái)決定下一輪博弈中采取何種策略：如果PR>PV，下一輪博弈中代理人不改變策略；若PR

在反省機(jī)制下，多人智豬博弈可分為4 種情況(n≠0時(shí))：

1) 大豬實(shí)際踩踏板：

2) 大豬實(shí)際不踩踏板：

3) 小豬實(shí)際踩踏板：

4) 小豬實(shí)際不踩踏板：

證明：令ΔP1=0,則

得證.

1.4模型仿真分析

圖1　智豬博弈關(guān)于p的演化Fig.1　Evolution of boxed pigs game on p

2帶有多人智豬博弈的羊群模型

考慮到實(shí)際的金融市場(chǎng)中經(jīng)紀(jì)人的能力存在差異，如決策能力，判斷能力等，正如智豬博弈中的大豬與小豬的區(qū)別.在決策過(guò)程中，一個(gè)集團(tuán)的經(jīng)紀(jì)人，并不是所有人選擇跟隨，從而均采取相同的策略，經(jīng)紀(jì)人相互間有一個(gè)博弈的過(guò)程，以判斷是否采取跟隨策略，因此提出了一個(gè)帶有智豬博弈的羊群模型.我們將集團(tuán)中能力較強(qiáng)，擁有資源較多的經(jīng)紀(jì)人視為大豬，將其余的經(jīng)紀(jì)人視為小豬，因無(wú)法具體甄別個(gè)體與個(gè)體間的差別，因此隨機(jī)選出集團(tuán)中40%的經(jīng)紀(jì)人視為大豬.則此時(shí)集團(tuán)間的博弈即多人智豬博弈.該模型包含了N個(gè)人的經(jīng)紀(jì)人系統(tǒng)，經(jīng)紀(jì)人的狀態(tài)用φl(shuí)={0,+1,-1}表示(0表示等待，+1表示買入，-1表示賣出)，其初始條件與EZ羊群模型相同.各經(jīng)紀(jì)人在初始狀態(tài)下均處于等待狀態(tài)(φl(shuí)=0,?l)，此時(shí)各經(jīng)紀(jì)人都是獨(dú)立的(每一個(gè)經(jīng)紀(jì)人構(gòu)成了一個(gè)集團(tuán)).在接下來(lái)的某一時(shí)刻t：

1) 隨機(jī)選擇一個(gè)經(jīng)紀(jì)人i.

2) 判斷經(jīng)紀(jì)人i所在集團(tuán)的規(guī)模是否大于1.

(2) 若等于1：(a) 經(jīng)紀(jì)人以概率p選擇交易，繼而隨機(jī)選擇擇φi取+1或-1，接著經(jīng)紀(jì)人i依舊保持獨(dú)立狀態(tài)；(b) 經(jīng)紀(jì)人i以概率(1-p)選擇等待，此時(shí)，隨機(jī)選擇i所在集團(tuán)外的擇經(jīng)紀(jì)人j，i與j所在的集團(tuán)合并為更大的集團(tuán).

2.1仿真結(jié)果

為了更全面地考察帶有智豬博弈的羊群模型是否符合現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)，我們用Matlab編程對(duì)其進(jìn)行模擬.

在計(jì)算過(guò)程中，具體計(jì)算公式為

P(t+1)=P(t)est/λ

R(t)=ln[P(t)]-ln[P(t-1)]

通過(guò)Matlab編程進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬，得到集團(tuán)中經(jīng)紀(jì)人規(guī)模的頻率分布，收益率分布及其規(guī)范化收益率分別如圖2～5所示.

圖2　參與交易的集團(tuán)中經(jīng)紀(jì)人規(guī)模的頻率分布圖Fig.2　Plot of distribution of size of agents in the cluster belonging to trade

圖3　收益率R分布示意圖Fig.3　Plot of distribution of return R

圖4　規(guī)范化收益率分布圖Fig.4　Plot of distribution of normalized return

圖5　規(guī)范化收益率stR頻率分布的雙對(duì)數(shù)圖Fig.5　Log-log plot of distribution of normalized return stR

如圖2～4所示，參與交易的集團(tuán)中經(jīng)紀(jì)人規(guī)模的頻率分布，收益率R分布，規(guī)范化收益率分布均呈現(xiàn)出尖峰胖尾現(xiàn)象，這與實(shí)際金融市場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)特征相符合.由圖5可知：規(guī)范化收益率的概率呈冪次率分布，通過(guò)擬合，得到冪次率的斜率約為4.2，這符合真實(shí)的市場(chǎng)規(guī)律[12].這在一定程度上說(shuō)明：帶有N人智豬博弈的羊群模型符合現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)的程式化規(guī)律.

3結(jié)論

現(xiàn)實(shí)博弈中的參與者往往是多人，而不僅僅是兩個(gè)人，根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)情況的考慮，筆者對(duì)原始智豬博弈進(jìn)行了一些修改，提出了一個(gè)帶有懲罰因子和反省機(jī)制的N人擴(kuò)展智豬博弈，并對(duì)該模型進(jìn)行了Matlab仿真.隨即針對(duì)現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中各經(jīng)紀(jì)人的的能力存在差別(即進(jìn)行大豬與小豬的區(qū)分)，在集團(tuán)做決策時(shí)并不是盲目地跟隨而是有選擇性地選擇跟隨，因此將N人智豬博弈與羊群模型相結(jié)合，提出了一個(gè)帶有N人智豬博弈的羊群模型，使得羊群模型更具有實(shí)際意義，并且對(duì)該模型進(jìn)行了動(dòng)態(tài)模擬，仿真結(jié)果表明：此模型符合現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)的程式化規(guī)律.

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(責(zé)任編輯：陳石平)

N-person boxed pigs game and its application in the herding model

ZHOU Minghua，ZHENG Tingting，LU Chuan，SUN Changqi

(College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:In this paper, the penalty factors and reflection mechanism is introduced and an N-person Boxed Pigs model on the basis of the original Boxed Pigs is proposed. In fact, different agents in real financial markets may have different abilities. The article puts forward a model which is called herding model with the boxed pigs, combining the N-person Boxed Pigs model and the herding model. It gives the agents more choices while they make decisions. Finally, the model is simulated. The experiments show that the behaviors and characteristics of financial markets can be better reflected by the herding model with Boxed pig.

Keywords:boxed pigs; herding model; penalty factor; reflection mechanism

收稿日期：2015-10-12

基金項(xiàng)目：浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LQ16A010008)

作者簡(jiǎn)介：周明華(1959—)，男，浙江紹興人，教授，研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué)，E-mail：mhzhou@zjut.edu.cn.

中圖分類號(hào)：F832.48

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-4303(2016)02-0231-06