裴秀艷　岳德權(quán)

(1. 運(yùn)城職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部, 山西 運(yùn)城 044000； 2. 燕山大學(xué)理學(xué)院， 河北 秦皇島 066004)

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負(fù)顧客造成服務(wù)速率變化的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)研究

裴秀艷1岳德權(quán)2

(1. 運(yùn)城職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部, 山西 運(yùn)城 044000； 2. 燕山大學(xué)理學(xué)院， 河北 秦皇島 066004)

摘要：針對由負(fù)顧客到達(dá)而引起的服務(wù)速率變化情況，研究服務(wù)速率可變的MG1排隊(duì)系統(tǒng)。服務(wù)規(guī)則假設(shè)為FCFS，負(fù)顧客的到達(dá)一方面移除了正接受服務(wù)的正顧客，另一方面使服務(wù)臺服務(wù)速率產(chǎn)生變化。運(yùn)用補(bǔ)充變量法、狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析法得到穩(wěn)態(tài)下的偏微分方程組，變換求解方程，得到系統(tǒng)在各個(gè)狀態(tài)下的概率表達(dá)式及穩(wěn)態(tài)條件下隊(duì)長母函數(shù)的概率表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：負(fù)顧客； 可修排隊(duì)； 補(bǔ)充變量法； 概率母函數(shù)

Gelenbe在1991年首次提出了負(fù)顧客排隊(duì)模型[1]，此后關(guān)于負(fù)顧客排隊(duì)的研究大量出現(xiàn)。此類模型在實(shí)際生活中應(yīng)用較為廣泛，對此類負(fù)顧客模型的研究具有實(shí)際意義。但各類相關(guān)研究的側(cè)重點(diǎn)僅限于負(fù)顧客的抵消策略上，而基本沒有考慮負(fù)顧客對服務(wù)臺的影響。本次研究將考慮負(fù)顧客對服務(wù)臺的影響，結(jié)合服務(wù)速率、服務(wù)臺故障、可修等內(nèi)容，進(jìn)一步研究排隊(duì)問題。

1模型的數(shù)學(xué)描述

1.1模型假設(shè)

(1)該系統(tǒng)包含正顧客和負(fù)顧客兩類顧客，一個(gè)服務(wù)臺，假設(shè)兩類顧客分別以λ+、λ-的泊松流到達(dá)。負(fù)顧客到達(dá)后，若服務(wù)臺處于繁忙期，則會有一名接受服務(wù)的正顧客被帶走；若服務(wù)臺處于空閑或故障期，負(fù)顧客的到達(dá)不會影響服務(wù)臺工作。

(2)遵循正顧客先到先服務(wù)(FCFS)方式，假設(shè)以高速率μ1服務(wù)時(shí)，到達(dá)的負(fù)顧客帶走一位正顧客，同時(shí)以概率(1-p)使服務(wù)速率由μ1降為μ2(μ1>μ2)，或以概率p導(dǎo)致服務(wù)臺產(chǎn)生故障；當(dāng)以低速率μ2服務(wù)時(shí)，到達(dá)的負(fù)顧客不僅帶走一位正顧客，而且導(dǎo)致服務(wù)臺產(chǎn)生故障。假設(shè)在高速率和低速率服務(wù)狀態(tài)下，正顧客的服務(wù)時(shí)間遵循G～Gi(t)分布：

(3)服務(wù)臺出現(xiàn)故障后可立即修理，并達(dá)到高速服務(wù)。修理故障的時(shí)間遵循一般連續(xù)型隨機(jī)變量分布H～H(t)：

1.2系統(tǒng)的狀態(tài)與概率定義

在t時(shí)刻系統(tǒng)中排隊(duì)的正顧客數(shù)令為N(t)，t時(shí)刻服務(wù)臺的狀態(tài)令為I(t)，定義如下：

顯然{I(t),N(t),I(t)=0,1,2,0≤N(t)≤∞}不是馬爾可夫隨機(jī)過程。補(bǔ)充變量X(t),Y(t)：其中X(t)表示t時(shí)刻負(fù)顧客到來時(shí)正顧客已用去的服務(wù)時(shí)間；Y(t)表示正在被修理的服務(wù)臺已用去的修理時(shí)間。這樣，隨機(jī)過程{N(t)、I(t)、X(t)、Y(t)}就構(gòu)成向量馬爾可夫隨機(jī)過程。有以下概率定義：

p0(t)=p{I(t)=1,N(t)=0,x=0}

pn(t,x)dx=p{I(t)=1,N(t)=n,

x0

k0(t)=p{I(t)=2,N(t)=0,x=0}

kn(t,x)dx=p{I(t)=2,N(t)=n,

x0

r0(t)=p{I(t)=0,N(t)=0,y=0}

rn(t,y)dy=p{I(t)=0,N(t)=n,

y0

其他符號：

2偏微分方程組及其求解

2.1偏微分方程組

穩(wěn)態(tài)條件下，令t→∞，將上述概率定義為穩(wěn)態(tài)概率：

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，得到系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖(圖1)：

圖1　狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

由圖1分析得到穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程組：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

穩(wěn)態(tài)下的邊界條件：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

歸一化條件：

(14)

2.2系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)方程組的求解

為了求解上述方程，定義下面的母函數(shù)：

將式(3)兩端乘以zn，n≥2，求和，再與式(2)乘以z相加整理可得：

(15)

同理可得：

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(13)兩端乘以zn，n≥0，求和，整理可得：

(20)

由式(15)可得：

(21)

由式(16)可得：

(22)

由式(17)可得：

(23)

將式(21)和式(23)代入式(18)整理可得：

r(0,z)+λ+p0(1-z)=0

(24)

分別將式(21)、(22)代入式(19)、(20)整理可得：

(25)

(26)

A(z)=λ+(1-z)+λ-

聯(lián)立式(24)、(25)、(26)，解得：

(27)

(28)

r(0,z)=

(29)

其中：

再將式(27)代入式(21)，可得：

[A(z)B(z)-C(z)〗-1

(30)

同理：

k(z)=[λ+z(z-1)[(1-p)λ-

(31)

(1-H*(λ+(1-z)))]×

[C(z)-A(z)B(z)]-1

(32)

3主要排隊(duì)指標(biāo)

(1) 此系統(tǒng)處于空閑期的概率p0：

λ-E(H))][(1-p)λ-×

(33)

(2) 此系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)的概率：

(ⅰ) 系統(tǒng)以服務(wù)速率μ1為顧客服務(wù)的概率：

(ⅱ)系統(tǒng)以服務(wù)速率μ2為顧客服務(wù)的概率：

(ⅲ)系統(tǒng)故障的概率：

其中：

(ⅳ)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度：

A=1-pR

(ⅴ)系統(tǒng)的損失率：

Wf=λ-(pμ1+pμ2)

(3)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊(duì)長概率母函數(shù)：

L(z)=p0+k0+p(z)+k(z)+r(z)

(4)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)長為：

此模型中E(L)的一般表達(dá)式非常復(fù)雜，實(shí)際操作時(shí)，可根據(jù)具體情況先求出p(z),k(z),r(z)的具體表達(dá)式，然后再分別求導(dǎo)后令z=1。

4特殊情況

當(dāng)λ-=0，E(H)=1β=0，p=0時(shí), 對模型中的假設(shè)條件進(jìn)行簡化處理，將λ-,μ1,μ2,p,E(H)分別代入L(z)表達(dá)式中的各部分，得：

5數(shù)值算例

利用Matlab軟件作出圖形，分析主要參數(shù)對該系統(tǒng)隊(duì)長的影響，從而根據(jù)需要改變、調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，以便達(dá)到優(yōu)化控制的目的。

為了便于分析，在數(shù)值計(jì)算時(shí)，假設(shè)修理時(shí)間H(t)和服務(wù)時(shí)間Gi(t)均遵循參數(shù)β、 μ1、 μ2的指數(shù)分布規(guī)律。首先，將參數(shù)固定為μ1=1η1=2.0，μ2=1η2=1.0，p=0.5，β=1γ=1.0，正顧客到達(dá)率λ+取不同值時(shí)，分析負(fù)顧客到達(dá)率λ-對平均隊(duì)長產(chǎn)生的影響，參見圖2。其次，固定參數(shù)λ+=2.0，p=0.5，β=1γ=1.0，服務(wù)率μ1、 μ2取不同值，考察不同服務(wù)率及負(fù)顧客到達(dá)率λ-對系統(tǒng)平均隊(duì)長E(L)的影響，參見圖3。

圖2　顧客到達(dá)率對系統(tǒng)平均隊(duì)長的影響

由圖2、圖3觀察可得：

(1) 在μ1、 μ2、 β、 p、 λ+固定時(shí)，隨著λ-的逐漸增大，系統(tǒng)平均隊(duì)長E(L)逐漸遞減；

(2) 在β、 p、 λ+、 λ-固定時(shí)，隨著服務(wù)率μ1、 μ2值增大，系統(tǒng)的平均隊(duì)長E(L)逐漸遞減，且變化趨勢相似。

圖3　負(fù)顧客到達(dá)率和服務(wù)率對系統(tǒng)平均隊(duì)長的影響

6結(jié)語

本次研究構(gòu)造了一個(gè)新的排隊(duì)模型，用以研究負(fù)顧客到達(dá)對服務(wù)臺產(chǎn)生的影響，該影響體現(xiàn)在服務(wù)速率的變化上。運(yùn)用補(bǔ)充變量法分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，列出偏微分方程組，利用母函數(shù)法求解方程，得到了系統(tǒng)的主要排隊(duì)指標(biāo)，包括系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率、隊(duì)長表達(dá)式等。最后，通過數(shù)值算例直觀地體現(xiàn)主要參數(shù)對平均隊(duì)長的影響，為實(shí)際應(yīng)用提供一些參考。

參考文獻(xiàn)

[1] GELENBE E.Queues with Negative Arrivals[J].Appl Prob,1991,28:245-250.

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[6] 田乃碩.休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)[M].北京: 科學(xué)出版社,2002：36-82.

Service Rate Changed by Negative Customers inM/G/1 Repairable Queuing System

PEIXiuyan1YUEDequan2

(1. Optometry Department of Yuncheng Polytechnic College, Yuncheng Shanxi 044000, China;2. College of Science, Yanshan University, Qinhuangdao Hebei 066004, China)

Abstract:In this paper, we studied a variable rate of an M/G/1 repairable queuing system, when the service rate changed by the arrival of the negative customer. We assumed the service rules as FCFS, the negative customers′ arrival offset a positive customer who is receiving service, and makes the service rate variable as well. By using the supplemental variable method and state transfer analysis, the partial differential equations was obtained, then solving equations by L-Z transformation; finally the probability of expression in each state and the captain of the generating function of the steady state has been obtained.

Key words:negative customer; repairable queuing system; supplemental variable method; probability generating function

收稿日期：2015-09-15

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“具有不耐煩行為和排號機(jī)制的排隊(duì)系統(tǒng)性能分析”(71071133)

作者簡介：裴秀艷(1987 — )，女，碩士研究生，助教， 研究方向?yàn)榕抨?duì)論。

中圖分類號：O 224

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-1980(2016)02-0128-05