許秀鋒， 周愛國， 殷俊鋒， 劉　備

(1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804； 2.同濟大學 數學系，上海 200092)

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聚合酶鏈式反應儀基座的熱阻建模與分析

許秀鋒1， 周愛國1， 殷俊鋒2， 劉備1

(1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804； 2.同濟大學 數學系，上海 200092)

摘要：對聚合酶鏈式反應儀(PCR)基座中溫度變化規(guī)律進行數學建模，求出其過程熱阻值，并利用該熱阻值對類似模型的溫度場進行仿真計算，從而快速地得出考慮若干關鍵參數的復雜模型的溫度場.計算結果顯示,PCR儀基座的過程熱阻與其自身的導熱熱阻存在某種關系，進而提出一個對于該關系的假設和數學描述，最后對該假設應用的可行性進行數值計算證明.

關鍵詞：聚合酶鏈式反應； 溫度場； 過程熱阻

聚合酶鏈式反應儀(Polymerase Chain Reaction Instrument，PCR)作為分子生物學的基礎儀器，其實驗效果在很大程度上取決于基座溫度的多梯度精確控制，而從半導體制冷器(thermoelectric cooler，TEC)傳遞至基座的熱阻模型對溫控效果具有決定性的作用.對于導熱熱阻以及等效導熱系數，已有研究者進行過推導[1-2]，但沒有對PCR基座的過程熱阻進行研究.本文旨在考慮各方面因素計算試劑邊界處的熱阻值，利用集總熱容法分析非穩(wěn)態(tài)導熱過程，并忽略物體內部的熱阻，即熱阻僅存在于邊界處，對其進行一定的簡化，并最終用于數值仿真.

1傳熱計算模型建立

聚合酶鏈式反應儀的整體模型如圖1a所示[3-4].

a 多管整體模型b 單試管三維模型

圖1PCR儀基座整體模型

Fig.1Model of the base of PCR instrument

進行傳熱分析時，整個基座的分析會顯得十分復雜，可分解成圖1b所示的小模塊，每個模塊的溫度變化規(guī)律是相同的，傳熱模型如圖2a所示.

圖2a為小模塊的整體傳熱模型，其熱源為基座下方的半導體制冷器(thermal electrical ceramic，TEC)，其維持在一個固定的溫度，并且在基座和TEC之間涂有導熱物質，用以減少基座和TEC之間的接觸熱阻.

a 單試管傳熱模型b 試劑加熱模型

圖2單試管的傳熱模型圖

Fig.2Heat-transfer model of single tube

2集總熱容法計算的理論依據

所謂的集總熱容法[5]就是指忽略物體內部的導熱熱阻，但這顯然與本題中的模型是不同的，所以并不能直接將此方法運用于上述模型.

本文假設將基座內部的導熱熱阻全部集中于邊界處，將基座內部大致看作是無熱阻，如此基座和TEC之間就存在有一定的熱阻，從而可以使用集總熱容法.該假設的理論前提是，基座內部在某一時刻溫度幾乎相等，并且在動態(tài)邊界條件下的響應速度也幾乎相同.TEC與基座間傳熱模型如圖3所示.

圖3　基座部分正視圖

鋁制基座上表面以及中間和側面孔表面均可視為絕熱.根據已知條件可以列出其導熱微分方程為

(1)

式中：t1為溫度函數，自變量為距基座底部的高度x和時間τ；a為鋁的熱擴散系數，a=9.3×10-5m2·s-1.該方程的邊界條件為

(2)

(3)

式中：tw為TEC溫度值；d為基座總高度；λ為鋁的導熱系數，λ=238 W·(m·K)-1.

初始條件為

(4)

當tw=1 ℃，d=10 mm時，即在單位階躍的邊界條件下，基座的溫度響應為

(5)

式中：m=0,1,2….

圖4為基座在單位階躍下的溫度響應.對于階躍溫度響應，在基座的不同高度，其溫度的變化規(guī)律幾乎一樣，但是由于在初始的某一時刻其不同高度處的溫差還是比較明顯，所以在這種情況下并不能將其視作使用集總熱容法的有效依據.然而實際的加熱為斜坡上升，故研究此種邊界條件下的溫度響應才能真正地反應其規(guī)律.

圖4　基座在單位階躍下的溫度響應

Fig.4Temperature response under the unit step of the base

由杜哈美爾定理[5]可知，當邊界溫度為任意函數時，溫度響應為

(6)

當f(η)為一斜坡函數時，df(η)/dη表示的是該斜坡的斜率，是一個常數，在這里設這個常數為C，則原函數可以寫作

(7)

結合式(5)采取杜哈美爾法計算得到基座對于斜坡溫度的響應為

(8)

圖5為基座在斜坡邊界溫度下的響應.從圖5可看出，在5.5 mm及10.0 mm基座處的溫差僅為0.2 °C，并且溫度響應的延遲也非常小，為10-2s級.所以在這種情況下，可以將基座內部的溫度看作是相同的，進而在計算基座的動態(tài)溫度時可以使用集總熱容法.

圖5　基座在斜坡邊界溫度下的溫度響應

Fig.5Temperature response under the temperature ramp of the base

3基座過程熱阻的計算與簡化

設基座的過程熱阻為R，利用集總熱容法，可知基座溫度t1是一個只關于時間τ的函數.基座吸收的熱量和溫度的關系為

(9)

式中：ρ為鋁制基座密度，ρ=2 790 kg·m-3；c為基座的比熱容，c=917 J·(kg·K)-1；A為基座與TEC的接觸面積.

從TEC傳遞的熱量為

(10)

由于此處的熱量值相等，故有

(11)

將TEC溫度tw和基座響應溫度t1帶入，即可得

(12)

其中

(13)

所以

e-2 500a(2m+1)2π2(τ-η)·

(15)

由式(15)可以看出,熱阻R也是一個關于時間τ的函數.由于此熱阻R的值很小，所以繪制其倒數1/R的函數圖像，如圖6所示.

圖6　以不同高度為基準求得的1/R的值

從圖6中可見，過程熱阻的倒數1/R基本保持為一個不變的值，并且這個值大概是基座自身導熱熱阻Rd倒數的2～3倍，所以可以推測，其過程熱阻大概為

(16)

簡化的具體取值應該視模型的具體情況而定，比如模型的厚度、面積以及導熱性能等.

這種簡化方法還有一個很重要的前提就是接觸熱阻要小到可以忽略不計.一般情況下表面光滑的金屬直接接觸時的接觸熱阻為10-4級，在機器中往往添有導熱材料，所以在簡化計算時的熱阻要遠小于此量級，達到10-7.

4理論檢驗

4.1利用集總熱容法和簡化過程熱阻計算試劑溫度

利用集總熱容法可以列出基座和試劑的溫度控制方程

(17)

(18)

式中：ρ1，ρ2分別為基座和試劑的密度；cp1，cp2分別為基座和試劑的比熱容；V1，V2分別為基座和試劑的體積；A1，A2分別為TEC與基座的接觸面積以及基座與試劑的接觸面積；t1，t2分別為基座和試劑的溫度；h為等效傳熱系數;b相當于TEC與基座之間的傳熱系數，其數值為基座過程熱阻的倒數，這里取2λ/d.

由于在初始時基座和試劑的溫度都為0 °C，且在試劑中溫度沒有突變，所以存在初始條件

(19)

可以設

(20)

最后計算得試劑的溫度為[6]

(21)

其中λ1,λ2是特征方程(22)的解，即

λ2+(C1+C2+C3)λ+C1C2=0

(22)

(23)

利用這種方法求出的試劑在TEC為單位階躍溫度時的溫度響應如圖7所示.

圖7　利用集總熱容法求出試劑溫度響應

Fig.7Temperature response of the reagent based on the lumped capacitance method

4.2利用溫度場詳細解析法求解試劑溫度場

基座，試管和試劑之間的配合關系如圖2a所示.其中試劑的加熱模型如圖2b所示.

該試管的材料是聚丙烯，為一中空柱形，底部是半徑為2.5 mm的半球，其柱體部分內徑為4.0 mm，外徑為5.0 mm，試管部分沿半徑方向厚度為0.5 mm.聚丙烯材料的物理性質為導熱系數λ=0.225 W·(m·K)-1，比熱容c=1 860 J·(kg·K)-1，密度ρ=910 kg·m-3.液柱高度約3.0 mm.試劑的物理性質與水大體一致.

在傳熱過程中，熱量是經過鋁座、試管之后才傳至試劑的.同時由于鋁制基座的熱擴散系數非常高，而且經由上面的分析可以看出，基座的溫度可以很快地跟隨TEC的控制溫度，所以在這里可以將基座近似看作是熱源.

雖然試劑和試管的接觸面有兩個面，但是熱量是從側面往中間傳遞，同時聚丙烯的導熱能力要小于水，所以試劑與外界有熱量交換的面可以看作是只有側面一個面.根據這樣的條件就可以認為試劑的溫度場分布僅與半徑r和時間τ有關，是一個二維溫度場[7].

圓柱體的傳熱微分方程為[8]

(24)

該式的邊界條件為

(25)

初始條件為

(26)

引入過余溫度θ=T-T0，并采用分離變量法可得

(27)

式中:J0(x)為第一類零階貝塞爾函數；μn為J0(x)的零點.

帶入初始條件，可得

(28)

利用貝塞爾函數的性質[9]可得

(29)

式中：J1(x)為第一類一階貝塞爾函數.

將式(29)帶入至式(27)，可得

(30)

最后可以得到溫度場的表達式為

(31)

由此可以求出試管內表面的溫度響應，如圖8所示.

由圖8中可以看出,試管可以在很短的時間內上升至階躍溫度.同時以試管溫度為邊界溫度，結合杜哈美爾定理，當邊界溫度為f(τ)時，試劑的溫度為

(32)

圖8　試管內表面溫度響應

Fig.8Temperature response of the internal surface of the test tube

此處的Φ(r，τ)為圓柱在單位階躍溫度邊界條件下的溫度響應.結合式(31)可得

(33)

式中：r1為液柱的半徑；a2為試劑的熱擴散系數.

此處的邊界溫度f(τ)為

(34)

式中：r0為試管的外徑；a1為試管的熱擴散系數.

將式(33),(34)帶入式(32)，可以得到

(35)

為計算方便，不妨設

(36)

可得

(38)

則有

(39)

將式(39)帶入至式(35)，得

T(r,τ)=Φ(r,τ)-Δ(r,τ)=

(40)

按式(40)繪制時間-溫度的變化曲線,如圖9所示.

圖9　詳細解析解和集總熱容解對比

Fig.9Comparison of the detailed analysis method and the lumped capacitance method

從圖9中可以看出，利用集總熱容法和簡化后的過程熱阻值計算出的試劑的溫度曲線和利用常規(guī)解方法求出的試劑溫度曲線非常相似，從整體上可以反映出其溫度的變化規(guī)律.但是后者卻比前者要復雜的多，計算繁瑣，不利于實際工程的應用.

5結語

本文對PCR儀基座傳熱過程中的過程熱阻值進行了計算，并且提出了與此熱阻值有關的一種假設.該方法相當于對傳統(tǒng)的集總熱容法進行了一定的改進，當傳熱物體內部的溫度變化大體一致時，可以視物體內部無熱阻，在計算的時候只需考慮到邊界處的熱阻，同時還提出邊界處的等效計算熱阻值和其自身的導熱熱阻有一定關系.本文運用兩種方法計算了試劑的溫度場，可以看出，運用兩種方法計算所得試劑的響應溫度十分接近，同時也為該假設的可行性提供了理論依據.對比兩種方法之后，可以發(fā)現(xiàn)集總熱容法在計算時比溫度場解析法簡單方便很多.所以當某傳熱模型的傳熱過程比較復雜，但是符合使用該簡化方法的條件時，使用集總熱容法可以為溫度場的計算提供很多的便利.

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Modeling and Analysis of Thermal Resistance of the Base of a PCR Instrument

XU Xiufeng1, ZHOU Aiguo1, YIN Junfeng2, LIU Bei1

(1. College of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China; 2. Department of Mathmatics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract：Based on the mathematics modeling of the polymerase chain reaction(PCR) instrument basement, the value of process thermal resistance of the temperature variation law was obtained. Then, the process thermal resistance value obtained was used for the calculation of the the similar temperature field of key parameters, and the temperature field of a complex model was also easily solved even with some dedicated parameters. The simulation result show a relationship between the thermal resistance and the characteristic of the base of the PCR instrument. An assumption was proposed as well as a mathematics description. Finally, the feasibility of the application of this assumption is proved by numerical computation.

Key words：polymerase chain reaction; temperature field; thermal resistance

收稿日期：2015-10-20

通訊作者：周愛國(1973—)，男，副教授，主要研究方向為機電控制，生物儀器開發(fā).E-mail：zhouaiguo@#edu.cn

中圖分類號：TK01

文獻標志碼：A

第一作者： 許秀鋒(1977—)，男，博士生，主要研究方向為生物實驗儀器建模與控制.E-mail：xuxiufeng@#edu.cn