施勁松

[摘 要]列舉法是數(shù)學學習中常用的一種方法，操作方法簡單，適用范圍廣，能幫助學生解決復雜的問題。不可否認，這種方法也存在一定的局限性，給人以“笨”的印象。教師在教學中要著重引導學生，使之靈活運用這個“笨”方法，提高解題技能。

[關(guān)鍵詞]列舉法 “笨”方法 “活”方法 思維通道

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）17-039

列舉法是一種借助對具體事物的特定對象，從邏輯上進行分析、羅列，直到得出結(jié)果的方法。如何把這種“笨”方法變成“活”方法，在它們之間構(gòu)建起思維通道呢？接下來，我將通過分析列舉法的教學現(xiàn)狀、梳理人教版教材來談談自己的看法。

一、掃描“笨”現(xiàn)狀，冷視“活”呈現(xiàn)

列舉法作為數(shù)學中的通法，使用范圍廣、形式直接、方法明了易懂。但這個所謂的“笨”方法其實也不好用，它蘊涵著許多數(shù)學原理和思想方法，稍有不慎就會弄巧成拙。下面是幾種常見的列舉法教學現(xiàn)狀：

1.真“笨”——面面俱到型

如教學數(shù)學廣角“雞兔同籠”時，我出示例1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”部分學生用列舉法找出了答案，我在全班學生面前表揚了他們。

此時有學生小聲地說：“這個方法真‘笨，要把所有可能一一列出來?！被谝陨险n堂細節(jié)，我在課后進行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)并不是所有的學生都喜歡這種“面面俱到”的方法。統(tǒng)計結(jié)果如下：27.3%的學生認為這是好個方法，72.7%的學生認為太麻煩。這樣的調(diào)查結(jié)果引起了我的思考，這樣的完整列舉真的很好嗎？

2.假“活”——急功近利型

如教學“小數(shù)的意義和性質(zhì)”時，我讓學生完成練習十的思考題：用數(shù)字卡片2、3、4和小數(shù)點 . ，能夠組成多少個不同的小數(shù)（每張卡片都要用上）？一開始，我先讓學生說一說解題的方法，很快就有學生提出用列舉法。我對這個方法給予了肯定，學生開始進行合作研究。5分鐘后，在課堂結(jié)果展示環(huán)節(jié)中，學生反饋了兩種“急功近利”的研究結(jié)果：一種是很快有得到了結(jié)果，但結(jié)果不完整；另外一種的結(jié)果雖然完整，但看起來雜亂無章，缺乏有序思考。我不禁思考，這種現(xiàn)象該如何解決？如何讓“笨”方法變成“活”方法？

3.“笨”“活”結(jié)合——表里不一型

如教學“三位數(shù)乘兩位數(shù)”練習八第12題“用0、2、3、4、5組成三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，你能寫出幾個？你能寫出乘積最大的算式嗎？”時，學生的第一反應是用“笨”方法來解答，把滿足條件的算式都羅列出來，從組成最大數(shù)開始考慮。他們先用5、4、3組成最大的三位數(shù)543，然后用剩下的0和2組成20，最后把這兩個數(shù)相乘，卻發(fā)現(xiàn)得等到的結(jié)果并不是最大的。于是他們做了一些調(diào)整，把5和4放在最高位，按上述方法再次進行操作。最后我和他們一起回顧整個過程，整理思路。因為一開始的想法比較“笨”，學生在列舉時花費了大量的時間，雖然方法比較“活”，但“表里不一”，總體效率不高。

現(xiàn)實教學中，由于各種客觀原因，教師未能把列舉這個“笨”方法真正用到實處。但“笨”方法真的是可有可無、可教可不教的方法嗎？我認為答案一定是否定的。帶著這樣的認知和思考，我細細研讀課標和教材，結(jié)合課堂教學和生活實際，尋找溝通“笨”方法和“活”方法的思維通道，發(fā)現(xiàn)“笨”方法其實有很大的改善空間。

通過仔細梳理人教版教材中關(guān)于列舉法的內(nèi)容，我發(fā)現(xiàn)其背后的“活”價值。列舉法就是讓學生經(jīng)歷從“笨”方法到“活”方法的體驗，使之體會數(shù)學思想方法對解決問題的作用，構(gòu)建思維通道，培養(yǎng)學生的思維能力。

二、運用“笨”方法，激發(fā)“活”思維

數(shù)學課堂上，研究和解決問題往往需要通過實踐和探究活動把所有可能出現(xiàn)的情況列舉出來。這種看起來比較“笨”的方法，其實正好能逐步激活學生已有的認知水平和知識經(jīng)驗儲備。在此基礎上，教師應進行恰當?shù)囊龑?，幫助學生構(gòu)建思維通道，使他們在使用列舉法時逐步有序起來。“序”是列舉法的核心，只有經(jīng)歷這樣的過程，思維才能“活”起來。學生通過有序地思考問題、解決問題，才不會使結(jié)果出現(xiàn)遺漏或重復的現(xiàn)象。

1.“笨”操練，激活“序”

【“長方形和正方形”例5教學片斷A】

出示例5：用16張邊長是1分米的正方形紙拼長方形和正方形。怎樣拼，才能使拼成的圖形周長最短？

生1：我們可以動手拼一拼，然后對不同的拼接結(jié)果進行比較，就可以知道答案了。

師：拼的時候要注意什么呢？

生2：要注意順序，先嘗試排1排，再嘗試排2排、3排……

師：這樣做有什么好處呢？

生2：這樣做能很好地避免重復或遺漏的情況。

師：你的想法很好！分類、按順序列出所有的可能情況，是學習數(shù)學的重要方法。根據(jù)這個方法，下面我們開始活動吧。

（學生操作，教師巡視學生分類、列舉的操作過程，適時進行引導，最后組織學生交流匯報結(jié)果，激活學生的“序”）

小學生的思維以形象思維為主，其發(fā)展要經(jīng)過相當長的由具體到抽象的過程，他們的思維能力還相當薄弱。教師要給學生必要的提示，幫助學生形成清晰的思路。

2.“笨”探究，靈活“序”

【“長方形和正方形”例5教學片斷B】

師：同學們剛才借助小正方形，運用列舉法把可能的結(jié)果一一列了出來。如果不借助小正方形，你能把這些可能的結(jié)果都列舉出來嗎？

生1：可以用除法，把16個小正方形拼成1排、2排、3排……然后思考拼出圖形的長和寬。

師：你能具體說一說嗎？

（學生說思路，教師協(xié)助列舉，補充表格）

師：像這樣把可能出現(xiàn)的情況一一列舉時，要注意什么？

生2：要注意按一定的順序列舉。

生3：排除不符合要求的情況。

生4：既不能重復，也不能遺漏。

根據(jù)學生的特點，教師要放手讓學生在動手、動口和動腦的相互協(xié)助中進行自主探究知識的活動，并內(nèi)化成自身的認知經(jīng)驗。上述教學片斷中，教師適時提出不借助學具進行列舉的要求，引導學生體會到根據(jù)長和寬的特點進行列舉比較的方便之處和簡潔性。把用列舉法得到結(jié)果記錄在表格中，既能減輕學生記憶的負擔，又能使學生喜歡上填表列舉的方法，激起學生優(yōu)化方法的欲望，發(fā)展他們思維的有序性。

三、調(diào)整“笨”排列，構(gòu)建“活”通道

數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，但數(shù)學思想方法的形成不是一日之功就能實現(xiàn)的。隱性的經(jīng)驗只有經(jīng)過篩選、調(diào)整、積累等過程，才會慢慢豐富起來，才會形成靈活、巧妙的“活”方法。不同學生在使用列舉法時，因認知水平和經(jīng)驗基礎不同，其呈現(xiàn)出來的顯性特征也是不同的。作為教師，我們要順著學生的思維，幫助他們構(gòu)建起隱性思維和顯性思維之間的通道，引導學生通過篩選、調(diào)整、提升等過程，將知識內(nèi)化于心，讓學生的思維真正“活”起來。

1.“笨”排列，“活”篩選

【“雞兔同籠”例1教學片斷A】

出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

學生嘗試用列表的方法解決問題，從0開始排，逐一羅列，第1種方法如下所示。

師：仔細觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生1：從左往右看，雞的數(shù)量增加，兔子的數(shù)量就會減少；從右往左看，兔子的數(shù)量增加，雞的就減少。

生2：每增加1只雞，減少一只兔子，腳的數(shù)量就會減少2只。

生3：要使腳的數(shù)量減少2，就要把1只兔子換成1只雞。

……

最后，通過逐一列舉，學生得出符合要求的結(jié)果是雞有3只，兔子有5只。

方法1列舉了所有的可能情況，能有效避免重復和遺漏的情況。根據(jù)這個方法的顯性特征可以分析學生的隱性思維：學生能弄明白雞兔同籠問題，知道雞和兔子數(shù)量變化與腿的數(shù)量變化之間的關(guān)系，思維具有一定的縝密性。但這種方法又不免過于死板，沒有上升到技巧的高度，“活”不起來。教師在肯定方法正確的基礎上，要引導學生進一步優(yōu)化方法，提升思維層次。

2.“笨”區(qū)間，“活”調(diào)整

【“雞兔同籠”例1教學片斷B】

師：剛才我們學習了逐一列舉的方法，大家還有沒有其他方法？

（生展示第2種方法：羅列部分，區(qū)間調(diào)整，如下圖所示）

生1：我是跳著試的。8只兔子有32只腳，于是我減少兔子的數(shù)量。我又試了4只兔子和4只雞的情況，此時一共有24只腳，那么再增加1只兔子、減少1只雞，就有26只腳了。

師：這是個好方法。同學們，他一共列舉了幾次？

生2：3次。

師：一定要列3次嗎？

生3：不一定，但一定比第一種方法的少！

方法2，學生在方法1的基礎上，采用區(qū)間套的方法進行了部分列舉，體現(xiàn)了它的簡便性和技巧性。不斷調(diào)整方向、縮小范圍的過程，體現(xiàn)了學生思維的靈活性和跳躍性。此外，有的學生還對這種方法的使用范圍進行了拓展，如在數(shù)據(jù)更多的問題中的應用。這時，這種方法將能大大降低問題的難度，簡化解題過程，使學生的思維層次得到提升。

總之，教師只有不斷思考，才能全面、深刻地認識到列舉法在數(shù)學教學中的優(yōu)點及其局限性，進而在教學中真正做到“心中有數(shù)”，緊密圍繞“幫助學生學會數(shù)學地思考”這個基本目標，通過有序、延時、篩選、調(diào)整、提升等活動，為學生構(gòu)建“笨”與“活”之間的思維通道，把學生的“笨”方法轉(zhuǎn)變?yōu)椤盎睢狈椒?。當然，應用列舉法培養(yǎng)學生的思維能力并不是一蹴而就的，這需要教師不懈努力。處理好“笨”與“活”的關(guān)系，才能真正培養(yǎng)學生思維的縝密性和周全性，使學生的思維“活”起來。

（責編 吳美玲）