◇ 張齊華

『圓的認(rèn)識(shí)』教學(xué)實(shí)錄

◇ 張齊華

編者按：

有人說(shuō)，張齊華是小學(xué)教育界的“數(shù)學(xué)王子”，華麗、精致、靈動(dòng)、厚重是他數(shù)學(xué)課堂最鮮亮的名片。

然而，隨著課程改革的不斷深化，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷轉(zhuǎn)型，在他的課堂上，我們開(kāi)始見(jiàn)證一場(chǎng)“靜悄悄的革命”——

曾經(jīng)的華麗開(kāi)始漸褪，質(zhì)樸、干凈、純粹成為他數(shù)學(xué)課堂的嶄新底色；

曾經(jīng)的精致漸行漸遠(yuǎn)，開(kāi)放、研究、對(duì)話(huà)成為他數(shù)學(xué)課堂的全新樣態(tài)；

曾經(jīng)的靈動(dòng)依舊堅(jiān)守，但靈動(dòng)的背后，多了一份向著學(xué)生的關(guān)懷、等待與情愫；

曾經(jīng)的厚重亦有保留，但厚重的不再只是數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)文化，學(xué)生豐厚的學(xué)習(xí)成果、開(kāi)放的思維過(guò)程、多元的觀(guān)點(diǎn)碰撞、精彩的課堂生成漸漸成為其課堂的“新常態(tài)”……

于是，我們決定和他來(lái)一場(chǎng)數(shù)學(xué)課堂的 “約會(huì)”。從2016年第1期開(kāi)始，本刊開(kāi)設(shè)一個(gè)新的欄目——“齊華課堂”。在這場(chǎng)“約會(huì)”里，我們希望深度走進(jìn)他的“數(shù)學(xué)新課堂”，感受他基于學(xué)生的頂層設(shè)計(jì)、開(kāi)放自由的師生對(duì)話(huà)、難以預(yù)期的學(xué)習(xí)進(jìn)程、豐沛開(kāi)闊的思維創(chuàng)造，感受他及他的朋友們是如何“欣賞”“笑談”“解剖”“顛覆”“重構(gòu)”他的課堂的，并在觀(guān)念、思想的多元觸碰中，透過(guò)張齊華老師“一個(gè)人的課堂”，去觸摸、發(fā)現(xiàn)并見(jiàn)證我國(guó)新一輪小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的整體脈絡(luò)及歷史走向。

一 提出一個(gè)問(wèn)題

師：今天這節(jié)課，我們繼續(xù)來(lái)研究圓。回憶一下，之前我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些平面圖形？

生：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形。

（師出示圖1）

圖1

師：以長(zhǎng)方形為例。要確定一個(gè)長(zhǎng)方形的大小，最少需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？

生：兩個(gè)。

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

師：奇怪，長(zhǎng)方形有四條邊，為什么只需要兩個(gè)數(shù)據(jù)？

生：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，所以只要長(zhǎng)和寬就能確定長(zhǎng)方形的大小。

師：正方形呢？

生：正方形只需要一個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)樗乃臈l邊都相等。

師：看來(lái)，圖形不同，它們的特點(diǎn)不同，確定它們的大小所需要的數(shù)據(jù)也不同。那么，今天我們要研究的圓，確定它的大小，最少需要幾個(gè)數(shù)據(jù)呢？

師：看得出來(lái)，這是一個(gè)對(duì)大家很有挑戰(zhàn)的問(wèn)題。下面，就請(qǐng)大家拿出學(xué)習(xí)單，以四人小組為單位，看一看、量一量、比一比、折一折，想辦法解決上面的問(wèn)題。

（學(xué)生分組活動(dòng)，教師收集信息，參與學(xué)生的討論，并給予必要的指導(dǎo)）

二 展開(kāi)一場(chǎng)探索

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，通過(guò)你們小組的研究，要確定圓的大小，最少需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？這數(shù)據(jù)在哪里？

生：我們組通過(guò)研究，覺(jué)得要確定一個(gè)圓的大小，最少需要一個(gè)數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)就是圓的半徑。

（該生一邊說(shuō)一邊指著自己畫(huà)的一條半徑）

師：對(duì)于他的發(fā)言，大家怎么看？

生：我有一個(gè)問(wèn)題。你畫(huà)的線(xiàn)段，在圓里有很多條，為什么你覺(jué)得只需要一個(gè)數(shù)據(jù)就能確定圓的大小？

生：這樣的線(xiàn)段在圓里有無(wú)數(shù)條，但它們的長(zhǎng)度都相等，所以只需要一個(gè)數(shù)據(jù)就能確定它的大小。

生：就像正方形雖然有四條邊，但因?yàn)殚L(zhǎng)度相等，所以一個(gè)數(shù)據(jù)就能確定它的大小。

師：說(shuō)得真好！在剛才的這段對(duì)話(huà)中，同學(xué)們用到了三個(gè)非常重要的詞語(yǔ)——半徑、無(wú)數(shù)條、都相等。那么，究竟什么才是圓的半徑？半徑真的有無(wú)數(shù)條嗎？它們的長(zhǎng)度真的都相等嗎？帶著這些問(wèn)題，我們來(lái)繼續(xù)深入地研究和思考。

（學(xué)生再次以小組為單位，或自學(xué)教材，或生生對(duì)話(huà)，逐步形成對(duì)上述三個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。隨后，教師繼續(xù)組織全班匯報(bào)）

生：（手指著說(shuō)）我覺(jué)得連接這一點(diǎn)到這一點(diǎn)的線(xiàn)段是半徑。

師：有沒(méi)有不同的表述？

生：我覺(jué)得從圓的中心點(diǎn)到邊上隨便一點(diǎn)的線(xiàn)段都是半徑。

生：我覺(jué)得連接圓心和圓邊上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段都是半徑。

師：說(shuō)得真好！圓的中心點(diǎn)，數(shù)學(xué)上我們叫圓心，用字母O表示。連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段，我們把它叫半徑，用字母r表示。（板書(shū)：圓心O，半徑r）半徑真的有無(wú)數(shù)條嗎？怎么理解？

生：我們知道，連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫半徑。既然可以是任意一點(diǎn)，那么，相應(yīng)連出的半徑也就有無(wú)數(shù)條了。

生：假設(shè)我們已經(jīng)畫(huà)了一條半徑，現(xiàn)在，我們只要把圓上的點(diǎn)往邊上移一點(diǎn)點(diǎn)，就可以得到一條新的半徑。比如，我們可以移0.0000001厘米，甚至更短，那么，相應(yīng)地，我們就可以得到越來(lái)越多的半徑，直到無(wú)數(shù)條。

生：我們還可以這樣想，先畫(huà)一條半徑，把這條半徑繞著圓心旋轉(zhuǎn)，如果每次旋轉(zhuǎn)1度，就可以得到360條半徑。但是，如果每次旋轉(zhuǎn) 0.1度、0.01度、0.000001度，甚至更小的角度，那么，我們就可以得到越來(lái)越多的半徑，直到無(wú)數(shù)條。

生：我們四年級(jí)時(shí)就知道，一條線(xiàn)段上可以有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，那么，我覺(jué)得圓上也應(yīng)該有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)。有一個(gè)點(diǎn)，就會(huì)連出一條半徑；無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，就可以連出無(wú)數(shù)條半徑。

師：說(shuō)得真好！有的同學(xué)抓住“任意”一詞，給出了自己的理解；有的通過(guò)點(diǎn)的移動(dòng)和線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)，給出了自己的思考；也有的同學(xué)結(jié)合點(diǎn)的無(wú)窮性，推演出半徑有無(wú)數(shù)條。這樣的思考很有意思，也很有深度。我提議大家給他們熱烈的掌聲。（掌聲）既然半徑有無(wú)數(shù)條，為何只要一個(gè)數(shù)據(jù)就能夠確定圓的大??？

生：因?yàn)榘霃降拈L(zhǎng)度都相等。

師：給出你們的理由。

生：我們小組是量的，通過(guò)測(cè)量，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圓的半徑都是3厘米。

生：昨天，我們用圓規(guī)畫(huà)圓時(shí)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論畫(huà)到哪里，圓規(guī)兩腳間的距離都是不能變的，而圓規(guī)兩腳間的距離其實(shí)就是半徑的長(zhǎng)度。所以，半徑的長(zhǎng)度都相等。

生：我這兒就有一個(gè)圓。我把它對(duì)折了兩次，發(fā)現(xiàn)這些半徑都重疊在一起；如果繼續(xù)對(duì)折，得到的半徑會(huì)越來(lái)越多，但所有的半徑都完全重合在那里。所以，我們認(rèn)為半徑的長(zhǎng)度都相等。

師：測(cè)量、對(duì)折也好，結(jié)合圓規(guī)畫(huà)圓的經(jīng)驗(yàn)推理也好，都可以幫助我們發(fā)現(xiàn)，半徑的長(zhǎng)度都相等?？磥?lái)，研究同一個(gè)問(wèn)題，我們可以有不同的角度，不同的思路。回顧一下，通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們對(duì)圓有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

生：我們知道了什么是圓心、什么是半徑。

生：我們知道了半徑有無(wú)數(shù)條，長(zhǎng)度都相等。

生：因?yàn)閳A有無(wú)數(shù)條半徑，而且長(zhǎng)度都相等，所以，要確定圓的大小，只需要半徑這一個(gè)數(shù)據(jù)就可以了。

師：除了半徑，還有沒(méi)有別的數(shù)據(jù)，也可以確定圓的大??？

生：有，應(yīng)該是圓的直徑。

師：怎樣的線(xiàn)段是圓的直徑？直徑又有哪些特點(diǎn)？帶著這兩個(gè)問(wèn)題，再次展開(kāi)研究，并給出你們的見(jiàn)解。

（學(xué)生組內(nèi)思考、研究、對(duì)話(huà)，隨后全班進(jìn)行交流）

生：我們組發(fā)現(xiàn)，直徑一定要經(jīng)過(guò)圓心。

生：而且它的兩端都要在圓上。

生：我們覺(jué)得，兩條半徑正好組成一條直徑。

生：我覺(jué)得他的觀(guān)點(diǎn)不準(zhǔn)確。不是任意兩條半徑都可以組成直徑的。只有兩條半徑在同一直線(xiàn)上時(shí)，這兩條半徑才可以組成一條直徑。

生：我還有補(bǔ)充，也就是說(shuō)，直徑的長(zhǎng)度是半徑的兩倍。

（教師相機(jī)揭示直徑的概念，介紹字母d，并給出d=2r）

生：我們組發(fā)現(xiàn)，和半徑一樣，直徑也有無(wú)數(shù)條。

師：能具體說(shuō)說(shuō)原因嗎？

生：因?yàn)閳A上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，只要有一點(diǎn)，就可以對(duì)應(yīng)連出一條直徑。所以直徑也有無(wú)數(shù)條。

生：因?yàn)榘霃接袩o(wú)數(shù)條，而在同一條直線(xiàn)上的兩條半徑就可以組成一條直徑，所以直徑也就有無(wú)數(shù)條。

師：你是說(shuō)，無(wú)數(shù)的一半還是無(wú)數(shù)嗎？

生：（猶豫了一下）是的！

師：多了不起的發(fā)現(xiàn)?。∵€有補(bǔ)充嗎？

生：和研究半徑時(shí)一樣，直徑也可以角度無(wú)限小地旋轉(zhuǎn)。這樣，我們也可以得出無(wú)數(shù)條直徑。

師：關(guān)于直徑都相等，如何理解？

生：同樣，我們也可以測(cè)量我們手中的圓，直徑的長(zhǎng)度都是6厘米。

生：因?yàn)榘霃绞侵睆降囊话?，半徑的長(zhǎng)度都相等，那么，直徑的長(zhǎng)度也肯定都相等。

師：看來(lái)，半徑也好，直徑也罷，盡管都有無(wú)數(shù)條，但它們的長(zhǎng)度都相等，所以，只要一個(gè)數(shù)據(jù)就能確定圓的大小了。這讓我想起，墨子曾經(jīng)是這樣描述圓的：“圓，一中同長(zhǎng)也。”結(jié)合剛才的研究，你能具體說(shuō)一說(shuō)它的含義嗎？

生：“一中”，大概是指的圓心；“同長(zhǎng)”，應(yīng)該是指圓的半徑或直徑同樣長(zhǎng)。

師：是啊。正因?yàn)椤耙恢型L(zhǎng)”，所以，盡管圓那么復(fù)雜、精巧，但一個(gè)數(shù)據(jù)就可以描述它的大小。這就是圓這個(gè)圖形的美妙之所在。

三 進(jìn)行一次想象

師：課前，同學(xué)們都嘗試著用圓規(guī)畫(huà)了圓，能否給大家展示一下你們的作品，以及畫(huà)圓的感受？

（學(xué)生展示作品，如圖2，并作交流。教師選擇如下作品，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)）

圖2

生：我覺(jué)得他下面幾個(gè)圓畫(huà)得不錯(cuò)，上面兩個(gè)圓不行。

生：我估計(jì)他一開(kāi)始沒(méi)有掌握方法，所以畫(huà)得不行。后來(lái)掌握方法了，所以畫(huà)成功了。

生：我猜他一開(kāi)始沒(méi)畫(huà)好，可能是因?yàn)閳A規(guī)的針尖移動(dòng)了。畫(huà)圓時(shí)，圓規(guī)的針尖是不能移動(dòng)的。

生：我覺(jué)得，還有可能是，他畫(huà)圓時(shí)圓規(guī)的兩腳之間的距離變化了。一般來(lái)說(shuō)，圓規(guī)兩腳間的距離是不能動(dòng)的。一動(dòng)，就沒(méi)法畫(huà)出一個(gè)正常的圓了。

師：看來(lái)，要用圓規(guī)畫(huà)好一個(gè)圓，需要掌握一定的技巧，比如手握柄，針尖——

生：要固定。

師：課后，希望同學(xué)們帶著對(duì)圓的特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，多多嘗試并體會(huì)圓規(guī)畫(huà)圓的方法，在畫(huà)圓中再次感受圓的神奇與美妙。不過(guò)，在同學(xué)們的作品中，我發(fā)現(xiàn)了一些很有意思的作品，一起來(lái)分享一下。（出示圖3）觀(guān)察這幅作品，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，它特別容易讓我們聯(lián)想到生活中的哪個(gè)畫(huà)面？

圖3

生：我覺(jué)得它像石頭丟進(jìn)平靜的水面后，蕩開(kāi)的一圈圈漣漪。

師：多生動(dòng)的想象?。?/p>

生：它還讓我聯(lián)想到被鋸開(kāi)的樹(shù)樁。

生：它還像我們體育課上玩的靶子。

生：像北京的天壇，從天空向下俯視的畫(huà)面。

生：像一種大的餐盤(pán)，從底部看到的樣子。

……

師：同樣的畫(huà)面，不同的同學(xué)就會(huì)有不同的想象，真了不起。我們繼續(xù)來(lái)看下面的畫(huà)面（如圖4），又讓你聯(lián)想到了什么？

圖4

生：像自行車(chē)的車(chē)輪。

生：像橙子橫著切開(kāi)以后的樣子。

生：像切開(kāi)來(lái)的比薩餅。

生：從上面俯看，像一把打開(kāi)的雨傘。

生：像商場(chǎng)搖獎(jiǎng)用的大轉(zhuǎn)盤(pán)。

……

師：同學(xué)們的想象力同樣讓人驚訝！如果這是車(chē)輪，那么車(chē)軸在哪里？（圓心）有沒(méi)有想過(guò)，車(chē)軸為什么要裝在圓心的位置？裝在別的地方，可以嗎？

生：不行。如果裝在別的地方，車(chē)子行駛起來(lái)就不平穩(wěn)了。

生：車(chē)軸要裝在圓心的位置，這樣就可以保證，車(chē)軸到圓上所有地方的距離都相等，行駛起來(lái)就比較平穩(wěn)了。

師：如果真裝在別的位置，（出示圖5）你能感受一下騎車(chē)時(shí)的狀態(tài)嗎？

圖5

（學(xué)生表演，大笑）

師：兩幅簡(jiǎn)單的圖，給大家留下了如此豐富的想象空間，也進(jìn)一步說(shuō)明，生活中的圓，真是無(wú)處不在。課前，老師也從生活中找到了兩個(gè)獨(dú)特的圓。大家說(shuō)，是直接出示圖片，還是給出一些線(xiàn)索，大家來(lái)猜一猜？

生：給線(xiàn)索，大家猜一猜。

（出示線(xiàn)索一：r=15cm。學(xué)生或比畫(huà)，或想象，或交流，然后給出自己的判斷）

生：我覺(jué)得它可能是一個(gè)臉盆。

生：還可能是我們坐的圓凳的凳面。

生：還可能是一個(gè)圓形蛋糕。

生：可能是一個(gè)圓形的比薩。

生：我覺(jué)得還可能是一個(gè)圓形的飛盤(pán)。

師：其實(shí)，正確答案是什么并不重要，重要的是，大家對(duì)r= 15cm的圓大概有多大，已經(jīng)有了自己基本的想象和判斷。

出示圖片如下：（如圖6）

圖6

師：找到r=15cm的圓在哪兒了嗎？

（學(xué)生指鐘面的外輪廓）

師：在這個(gè)鐘里，如果仔細(xì)觀(guān)察，你還能找到別的圓嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)數(shù)字里也有圓，比如10、9、8、6里面都有圓。

生：我發(fā)現(xiàn)，鐘面中間的轉(zhuǎn)軸，看起來(lái)也是一個(gè)圓。

生：我發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字外面的一個(gè)個(gè)點(diǎn)，也是一個(gè)個(gè)小圓。

師：觀(guān)察得真夠細(xì)致的。

生：我發(fā)現(xiàn)，如果把這些點(diǎn)連起來(lái)看，得到的也是一個(gè)圓。

師：說(shuō)得好！60個(gè)點(diǎn)連起來(lái)或許還不夠成為圓，但隨著點(diǎn)的個(gè)數(shù)的不斷增加，連起來(lái)的圖形會(huì)越來(lái)越接近于一個(gè)圓。

生：我還發(fā)現(xiàn)，這三根針轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，也能形成三個(gè)圓。

師：太了不起啦！針掃過(guò)的部分，我們稱(chēng)它為圓面。針尖這個(gè)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中留下的運(yùn)動(dòng)軌跡，才是我們今天認(rèn)識(shí)的圓。不過(guò)，這三個(gè)圓，哪一個(gè)大？哪一個(gè)?。?/p>

生：我覺(jué)得秒針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈形成的圓最大，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)后形成的圓最小。

生：我發(fā)現(xiàn)，針越長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)后形成的圓越大；針越短，旋轉(zhuǎn)后形成的圓越小。

生：這說(shuō)明，圓的大小和半徑的長(zhǎng)短有關(guān)。

師：那么，圓的位置和什么有關(guān)呢？

生：我覺(jué)得應(yīng)該和圓心有關(guān)，圓心在哪里，圓就在哪里。

師：同樣一個(gè)鐘面，有的同學(xué)只看到外圈的圓，而有的同學(xué)卻在里面發(fā)現(xiàn)了其他各種形態(tài)的圓；有的同學(xué)只看見(jiàn)了圓，而有的同學(xué)卻通過(guò)觀(guān)察和思考，發(fā)現(xiàn)了更多圓的特征和奧秘。這就是數(shù)學(xué)的眼睛。繼續(xù)來(lái)看第二個(gè)圓。

（出示線(xiàn)索二：d=135m。學(xué)生驚嘆后，或比畫(huà)、或想象、或交流，然后給出自己的判斷）

生：我覺(jué)得它可能是一個(gè)巨大的圓形廣場(chǎng)。

生：會(huì)不會(huì)是北京天壇的回音壁？

師：你的視野很開(kāi)闊。

生：我覺(jué)得可能是航拍時(shí)發(fā)現(xiàn)的麥田里的怪圈。

生：我猜，會(huì)不會(huì)是美國(guó)發(fā)現(xiàn)的隕石撞擊地球后形成的圓形隕石坑？

師：我發(fā)現(xiàn)，這一回，大家的答案就不那么肯定了，什么原因？

生：因?yàn)檫@個(gè)圓實(shí)在太大了，平時(shí)生活中很少遇到這么大的圓。

師：是的。為了尋找到這個(gè)特別的圓，去年假期，張老師專(zhuān)門(mén)帶兒子來(lái)到英國(guó)倫敦——

生：我知道了，應(yīng)該是“倫敦眼”！

教師出示圖片：（如圖7）

圖7

（學(xué)生一片驚嘆聲）

師：正因?yàn)樗浅延^(guān)，在正式游玩前，兒子突然萌生出一個(gè)計(jì)劃，他希望我和他能夠坐在摩天輪上相隔最遠(yuǎn)的位置上。你們猜，他能實(shí)現(xiàn)這一愿望嗎？

生：能！

師：（指摩天輪上一點(diǎn)）如果我坐在這里，你們猜，他可能會(huì)坐哪里？為什么？

生：（指某一點(diǎn)）我覺(jué)得他應(yīng)該會(huì)坐這里。

生：他和你坐的地方連接起來(lái)，這條線(xiàn)段會(huì)穿過(guò)中間的轉(zhuǎn)軸。

生：我覺(jué)得，把你的位置想象成直徑的一端，他應(yīng)該就坐在直徑的另一端。

師：其實(shí)，他還有很多位置可以坐，為什么他偏偏坐在直徑的另一端？

生：因?yàn)?，直徑是圓里面最長(zhǎng)的線(xiàn)段。

師：說(shuō)得真好！你看，再普通不過(guò)的游樂(lè)活動(dòng)中，如果帶上一雙數(shù)學(xué)的眼睛，我們一定會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)它里面還蘊(yùn)藏著豐富多彩的數(shù)學(xué)奧秘呢。今天下課后，張老師希望大家都能夠像今天課堂上這樣，帶著一雙數(shù)學(xué)的眼睛重新認(rèn)識(shí)我們周邊的世界、認(rèn)識(shí)我們的生活，去發(fā)現(xiàn)更多和數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題和奧秘！

（作者單位：江蘇南京市北京東路小學(xué)）