執(zhí)教/李培芳 評(píng)析/陳梅開(kāi)

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——“等量關(guān)系”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

執(zhí)教/李培芳 評(píng)析/陳梅開(kāi)

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版教材四年級(jí)下冊(cè)第五單元“認(rèn)識(shí)方程”中的“等量關(guān)系”。

【教學(xué)過(guò)程】

一、制造沖突，聚焦“數(shù)量關(guān)系”

（課件出示問(wèn)題：雞的質(zhì)量是2千克，鵝的質(zhì)量是6千克，求鴨的質(zhì)量）

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上解決這個(gè)問(wèn)題。

（學(xué)生獨(dú)立解答）

師：算出結(jié)果的舉手，（約10多個(gè)學(xué)生）說(shuō)說(shuō)你的想法。

生：我是用6+2=8（千克）。

生：鴨沒(méi)有那么重，我是用6-2=4（千克）。

生：這個(gè)問(wèn)題沒(méi)辦法解決，因?yàn)轼喌馁|(zhì)量與雞和鵝的質(zhì)量有什么關(guān)系沒(méi)有告訴我們。

（大部分同學(xué)附和：沒(méi)法算）

生：還要給我們一些提示。

評(píng)析：學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考是有積極意義的：其一，讓學(xué)生感受到條件有時(shí)未必是恰好的；其二，將學(xué)生的思考聚焦到數(shù)量的“關(guān)系”上。

二、辨別比較，引入“等量關(guān)系”

師：需要給一些什么提示呢？

生：已知雞的質(zhì)量、鵝的質(zhì)量，它們和鴨的質(zhì)量有什么關(guān)系？

師：我們一起來(lái)看看下圖，是否提供了它們的關(guān)系呢？

（課件出示下圖）

師：這個(gè)關(guān)系誰(shuí)看懂了？

生：鵝的質(zhì)量比鴨的質(zhì)量重。

師：是的，靜靜地思考，現(xiàn)在能算嗎？

生：不能，這樣的關(guān)系只能知道鴨的質(zhì)量小于6千克，小于6的數(shù)還有好多個(gè)呢。

師：這個(gè)關(guān)系呢？

（課件出示下圖）

生：這個(gè)也不行。

師：（結(jié)合手勢(shì)）這樣的關(guān)系不行，那樣的關(guān)系也不行，你們到底想要什么樣的關(guān)系？能用手比畫(huà)一下嗎？

生：（眾說(shuō)紛紜比畫(huà)著）要平衡，要平等的關(guān)系，要相等的關(guān)系。

師：我們來(lái)看看有沒(méi)有這樣的關(guān)系。

（課件出示下圖）

師：看來(lái)電腦碰到難題了，同學(xué)們幫電腦寫(xiě)一個(gè)相等關(guān)系吧。

（教師提供如上圖的學(xué)習(xí)卡片讓學(xué)生創(chuàng)造等量關(guān)系）

評(píng)析：學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的感知經(jīng)歷了從數(shù)量間“沒(méi)有關(guān)系”到“有關(guān)系”，從數(shù)量間“不等關(guān)系”到數(shù)量間的“相等關(guān)系”。經(jīng)由這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，一方面學(xué)生通過(guò)比較建構(gòu)起“等量關(guān)系”的概念，另一方面通過(guò)辨別感受了“數(shù)量相等關(guān)系”對(duì)于解決問(wèn)題的價(jià)值。

三、自由創(chuàng)造，感知“等量關(guān)系”

（學(xué)生展示匯報(bào)如下）

生 1：左邊放 1只鴨，右邊放2只雞。這樣鴨的質(zhì)量就是4千克。

生 2：左邊放 2只鴨，右邊放1只鵝。這樣鴨的質(zhì)量就是3千克。

生3：左邊放1只鴨和1只雞，右邊放1只鵝。這樣鴨的質(zhì)量就是4千克。

......

師：真好，同學(xué)們找到了很多不同的關(guān)系?？磥?lái)，這樣的關(guān)系在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)是很重要的。

生：對(duì)，是必不可少的。

師：是啊，在解決問(wèn)題時(shí)，我們不僅要知道已知的數(shù)量和要求的數(shù)量，同時(shí)還要知道未知量和已知量的相等關(guān)系。像這種數(shù)量之間相等的關(guān)系在數(shù)學(xué)上稱為“等量關(guān)系”。

評(píng)析：本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了“創(chuàng)造等量關(guān)系”的活動(dòng)，在創(chuàng)造活動(dòng)中學(xué)生自然而然地將已知量與未知量放在一個(gè)相等的關(guān)系中。尤為可貴的是生3創(chuàng)造的等量關(guān)系，將未知量與已知量同時(shí)放在左邊，這已然是代數(shù)思維了。通過(guò)自由創(chuàng)造活動(dòng)，學(xué)生對(duì)等量關(guān)系的本質(zhì)意義有了較為深刻的理解。

四、自主嘗試，表示“等量關(guān)系”

師：既然等量關(guān)系這么重要，那么，我們就要學(xué)會(huì)在問(wèn)題解決中找出等量關(guān)系。請(qǐng)同學(xué)們找一找，哪一句話反映出了數(shù)量間相等的關(guān)系。

（課件出示下面3道題）

（1）媽媽的體重是50千克，爸爸的體重是媽媽的2倍，求爸爸的體重。

（2）媽媽35歲，爸爸的年齡比媽媽大3歲，爸爸幾歲？

（3）爸爸的收入比媽媽的2倍多 500元，媽媽的收入是3000元，爸爸的收入是多少元？

生：第（1）題“爸爸的體重是媽媽的2倍”反映出數(shù)量間相等的關(guān)系。

生：第（2）題“爸爸的年齡比媽媽大3歲”反映出數(shù)量間相等的關(guān)系。

生：第（3）題的等量關(guān)系是“爸爸的收入比媽媽的2倍多500元”。

師：第（3）題的等量關(guān)系，你是怎么理解的？能不能把你對(duì)這個(gè)等量關(guān)系的理解用圖或者式子表示出來(lái)？

（學(xué)生自主嘗試后，展示交流）

生1：媽媽的收入×2+500=爸爸的收入。

生2：我是畫(huà)線段圖，如下圖。

生 3：我是用天平圖，天平一邊表示媽媽的收入×2+500，另一邊表示爸爸的收入。（圖略）

生4：爸爸的收入÷2－500=媽媽的收入。

生5：我覺(jué)得生4的說(shuō)法不對(duì)，從線段圖上可以看出，媽媽的收入應(yīng)該是（爸爸的收入-500）÷2。

（其他學(xué)生點(diǎn)頭表示同意）

師：比較一下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)線段圖能很清楚地反映出數(shù)量之間相等的關(guān)系，相比于式子，線段圖——

生：直觀。

師：說(shuō)得好！那么，直觀是什么意思呢？

生：直觀就是可以“直接地看出來(lái)”。

評(píng)析：在表示等量關(guān)系的探索中，學(xué)生自主嘗試，想出了用等式、線段圖、天平圖等多種方式進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。在不同的數(shù)學(xué)表達(dá)中，學(xué)生加深了對(duì)概念的理解，同時(shí)通過(guò)進(jìn)一步的對(duì)比體驗(yàn)了線段圖直觀的價(jià)值。

五、數(shù)形結(jié)合，感悟“等量關(guān)系”

師：同學(xué)們，請(qǐng)注意觀察，你能發(fā)現(xiàn)其中的等量關(guān)系嗎？

（課件動(dòng)態(tài)演示：兩條長(zhǎng)度相等的線段，一條圍成長(zhǎng)方形，一條圍成正方形。如下圖）

生：圍成長(zhǎng)方形線段的長(zhǎng)度=圍成正方形線段的長(zhǎng)度。

生：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=正方形的周長(zhǎng)。

生：（長(zhǎng)+寬）×2=長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

生：邊長(zhǎng)×4=正方形的周長(zhǎng)。

生：（長(zhǎng)+寬）×2=邊長(zhǎng)×4。

師：仔細(xì)觀察下圖，你能找出題中的等量關(guān)系嗎？能找出幾個(gè)？試著在本子上寫(xiě)一寫(xiě)。

（學(xué)生自主完成后匯報(bào)）

生：姐姐的身高+8=妹妹的身高+椅子的高度。

生：姐姐的身高-70=妹妹的身高-8。

評(píng)析：史寧中教授認(rèn)為：方程的本質(zhì)是“在講兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事在數(shù)量上相等”。等量關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)正在于此。本環(huán)節(jié)通過(guò)數(shù)形結(jié)合的例子讓學(xué)生形象地感悟等量關(guān)系的本質(zhì)含義，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度觀察、分析、把握數(shù)量間的相等關(guān)系，提升學(xué)生思維的靈活性和深刻性。

六、走進(jìn)生活，尋找“等量關(guān)系”

（1）廣告中的等量關(guān)系。（略）

（2）生活中的等量關(guān)系。（略）

【總評(píng)】

一、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不是孤立的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

將數(shù)學(xué)概念“嵌入”數(shù)學(xué)背景與結(jié)構(gòu)之中，讓學(xué)生感受所學(xué)的概念位于數(shù)學(xué)背景中的“哪個(gè)位置”，“鑲嵌”在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的“哪個(gè)地方”，這對(duì)于學(xué)生建立完整的知識(shí)系統(tǒng)是極其重要的。

就本課而言，等量關(guān)系的教學(xué)按照以下的邏輯順序展開(kāi)：等量關(guān)系是一種關(guān)系，是一種數(shù)量關(guān)系，是數(shù)量上的一種相等關(guān)系。這樣的順序與線索巧妙地將等量關(guān)系“鑲嵌”在數(shù)量關(guān)系中，讓學(xué)生對(duì)等量關(guān)系的理解建立在對(duì)數(shù)量關(guān)系的把握上，這對(duì)于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是很有幫助的。

二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是概念數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是概念數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，這有兩重含義：其一，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)；其二，活動(dòng)的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)指向?qū)?shù)學(xué)概念的理解。在本課的教學(xué)中，教師通過(guò)制造沖突的問(wèn)題情境，讓學(xué)生感知了等量關(guān)系就是數(shù)量間相等的關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題中尋找等量關(guān)系，用不同方式表達(dá)對(duì)等量關(guān)系的理解，而后借助數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生感悟等量關(guān)系的本質(zhì)是“在講兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事在數(shù)量上相等”，讓學(xué)生對(duì)等量關(guān)系有更進(jìn)一步的體悟與理解。

在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師始終圍繞“等量關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)”展開(kāi)教學(xué)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中涉及“怎么找等量關(guān)系”“怎么表示等量關(guān)系”等學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些學(xué)習(xí)內(nèi)容表面上看似是技能目標(biāo)的學(xué)習(xí)，實(shí)際上是借助尋找、表達(dá)等活動(dòng)深化對(duì)概念本質(zhì)意義的理解。顯然，只有聚焦目標(biāo)才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

三、數(shù)學(xué)概念的建立是個(gè)體自主建構(gòu)的過(guò)程

數(shù)學(xué)概念的建立離不開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷。縱觀本課的教學(xué)過(guò)程，教師從“無(wú)法解答的數(shù)學(xué)問(wèn)題”入手，讓學(xué)生分析其原因，以此引入數(shù)量關(guān)系；接著，教師設(shè)計(jì)了在“天平圖”上創(chuàng)造等量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在創(chuàng)造中初步感知等量關(guān)系的意義；而后通過(guò)尋找等量關(guān)系、表示等量關(guān)系等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生理解等量關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而完成數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程。

教師借助巧妙的數(shù)學(xué)活動(dòng)，將學(xué)生對(duì)等量關(guān)系的學(xué)習(xí)，順應(yīng)到數(shù)量關(guān)系這一上位的數(shù)學(xué)概念之中，這一順應(yīng)的過(guò)程使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與建構(gòu)達(dá)到了結(jié)構(gòu)化的水平。這對(duì)于概念的理解、鞏固與應(yīng)用是很有意義的。

（作者單位：福建廈門(mén)市華昌小學(xué)，福建惠安縣山霞中心小學(xué)）