景小榮，劉雪峰

(重慶郵電大學 移動通信技術(shù)重點實驗室 重慶 400065)

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L型陣列的二維DOA估計方法

景小榮，劉雪峰

(重慶郵電大學 移動通信技術(shù)重點實驗室 重慶 400065)

摘要：低信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)或小接收快拍數(shù)條件下，經(jīng)典的二維(two-dimensional，2D)波達方向(direction of arrival, DOA)算法存在估計精度低的缺點。針對該問題，充分利用L型陣列接收數(shù)據(jù)的自、互相關(guān)信息，提出一種適用于低SNR及小接收快拍數(shù)環(huán)境下的2D DOA估計新方法。該方法首先通過解析優(yōu)化2D譜峰搜索問題，獲得方位角與仰角之間的特定約束關(guān)系，進而將包含2D角度參量的目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為只包含一維(one-dimensional, 1D)角度參量，即可通過1D譜峰搜索獲得方位角(或仰角)估計值，最后再次利用該約束關(guān)系求得與之對應(yīng)的仰角(或方位角)估計值。該方法只需1D譜峰搜索，而且所得2D角度估計參數(shù)可自動實現(xiàn)配對。計算機仿真驗證了該方法在低SNR及小接收快拍數(shù)情況下的有效性。

關(guān)鍵詞：波達方向(DOA)估計；低信噪比(SNR)；小快拍數(shù)；信源個數(shù)

0引言

波達方向(direction of arrival, DOA)估計作為陣列信號處理的重要研究內(nèi)容之一，在雷達、聲吶、地質(zhì)勘探以及射電天文等領(lǐng)域均具有十分廣泛的應(yīng)用。目前，一維(two-dimensional，1D)DOA估計理論發(fā)展已經(jīng)相對成熟，其中以多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[1]和旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimating signal parameters via rotational in variance techniques, ESPRIT)算法[2]最為經(jīng)典。然而在實際中，比如雷達目標定位與跟蹤等應(yīng)用，通常需要獲得入射信號的二維(two-dimensional，2D) DOA信息。較之1D DOA信息，2D DOA信息能更加精確地描述入射信號空間位置特征，因而，2D DOA估計研究更具實際應(yīng)用價值。

與1D DOA估計不同，在2D DOA估計中，天線陣列結(jié)構(gòu)對DOA估計結(jié)果具有重要影響。其中，L型陣列由于具有結(jié)構(gòu)簡單、易于傳統(tǒng)算法移植[3]以及更高DOA估計精度以及更小克拉美羅界(cramer-rao bound, CRB)等優(yōu)點[4-5]，使得基于L型陣列的測向研究越來越受到重視。在L型陣列研究方面，Tayem等采用修正傳播方法(modified propagate method, MPM)實現(xiàn)2D DOA估計[6]，該方法盡管克服了相位模糊問題，但參數(shù)匹配有效性差，使得該方法僅在高信噪比環(huán)境下才具有較好的性能。文獻[7]利用L型陣列x軸與z軸子陣接收數(shù)據(jù)背景噪聲的獨立性，提出了聯(lián)合奇異值分解(joint singular value decomposition, JSVD)算法，該算法利用接收快拍數(shù)據(jù)的互相關(guān)信息，實現(xiàn)了背景噪聲抑制，使DOA估計性能得到明顯提升，但其性能依賴于大接收快拍數(shù)。文獻[8]基于無需特征值分解的子空間類方法(subspace-based method without eigen-decompositon，SUMWE), 提出了一種經(jīng)典的基于互協(xié)方差的2D DOA估計(cross-correlation based 2D DOA estimation, CODE)算法[9]，該算法繼承了SUMWE方法計算復(fù)雜度低的優(yōu)點，同時，通過引入共軛重排思想，使算法魯棒性得到明顯提高；但是，CODE算法在小接收快拍數(shù)和低信噪比情況下，DOA估計性能相對較差。

上述幾種基于L型陣列的2D DOA估計算法還存在一共同問題：角度配對，即需要額外操作對DOA估計結(jié)果進行角度配對處理。如果配對失敗，算法性能將受到極大影響。為此，孫心宇等[10]針對該問題，基于雙L型陣列提出了一種更為精確的角度配對方法，但仍無法避免角度配對失敗發(fā)生。文獻[11]則利用DOA矩陣法[12-13]，基于L型陣列提出了一種適用于多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達的DOA估計方法，該方法繼承了DOA矩陣法無需角度配對的優(yōu)點，但是，該方法僅在低信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)相對較高的環(huán)境中，才具有優(yōu)良的測向性能。然而，在實際應(yīng)用場合，由于自然噪聲及大量人為干擾的存在，陣列入射信號的等效SNR相對較低；文獻[14] 基于MIMO雷達信號模型，綜合發(fā)射角、到達角及多普勒頻率等參量，通過構(gòu)造一空時矩陣，得到多個參數(shù)估計的閉式解。

此外，L型陣列下的2D MUSIC[4，15]算法由于充分利用了接收數(shù)據(jù)自協(xié)方差矩陣及互協(xié)方差矩陣所蘊含的方位信息，其DOA估計精度較高，并且無需角度配對處理；但是，2D MUSIC算法依賴于2D譜峰搜索，因此，巨量的計算開銷限制了其在實際工程中的應(yīng)用。

為此，基于上述分析，本文提出了一種僅需1D譜峰搜索的2D DOA估計方法。該方法結(jié)合L型陣列結(jié)構(gòu)的特殊性，首先通過理論優(yōu)化獲得方位角和仰角之間的約束關(guān)系，進而將2D目標函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓瑔我环轿唤?或仰角)參數(shù)的目標函數(shù)，從而可通過1D譜峰搜索得到方位角(或仰角)的估計值，最后利用方位角和仰角之間的特定約束關(guān)系直接得到對應(yīng)仰角(或方位角)估計值。該方法無需角度配對，同時，與經(jīng)典的CODE算法以及分維MUSIC算法相比，無論在低SNR還是小接收快拍數(shù)情形，性能優(yōu)勢均十分明顯。與2D MUSIC算法相比，盡管性能有一定差距，但所提方法僅需1D譜峰搜索，其計算復(fù)雜度與傳統(tǒng)的1D MUSIC算法相當。

1陣列信號模型

采用如圖1所示的L型陣列，其由x-z平面上兩個分別沿x軸和z軸的M元均勻線陣組成，以坐標原點處的陣元z0作為參考點，各陣元各向同性，等間距放置，間距為d。假設(shè)空間存在K個來自不同方向的遠場窄帶信號以波長λ入射到此L型陣列上，其中第k個入射波的方位信息(即仰角和方位角)用(θk,φk)表示；進一步假設(shè)文中K個入射波的仰角和方位角均不含重復(fù)角度，即不考慮角度兼并情況。

圖1　L型陣列天線幾何構(gòu)型Fig.1　Geometrical configuration of L-shape array

(1)

令x(n)=[x1(n),x2(n),…,xM(n)]T和z(n)=[z0(n),z1(n),…,zM-1(n)]T，分別表示L型陣中沿x軸與z軸方向的均勻線陣接收數(shù)據(jù)矢量，則有

(2)

(3)

(2)式和(3)式中：wx(n)=[wx1(n),wx2(n),…,wxM(n)]T，wz(n)=[wz0(n),wz1(n),…,wzM-1(n)]T，分別表示對應(yīng)陣列附加噪聲矢量；s(n)，A(φ)和A(θ)分別表示入射信號矢量，沿x軸的均勻線陣的流形矩陣及沿與z軸的均勻線陣的流形矩陣，具體為

a(φk)=[e-jαk,e-j2αk,…,e-jMαk]T， a(θk)=[1,e-jβk,…,e-j(M-1)βk]T，分別表示對應(yīng)均勻線陣的導向矢量。αk=2πdcosφk/λ和βk=2πdcosθk/λ，表示空間相位因子，k=1,2,…,K。

為便于隨后分析，對上述陣列信號模型作進一步假設(shè)。

3)附加噪聲矢量wx(n),wz(n)與入射信號矢量s(n)3者之間互相統(tǒng)計獨立，即滿足

4)信源個數(shù)K已知或精確估計，同時，信源個數(shù)K小于單個陣列的陣元個數(shù)，即K

22D DOA 估計方法

2.1基于2D搜索的DOA估計方法

合并(2)式和(3)式，同時令

y(n)=[xT(n) zT(n)]T，則有

(4)

(4)式中：B(φ,θ)=[A(φ)TA(θ)T]T； wxz(n)=[wx(n)Twz(n)T]T。

根據(jù)(4)式得到數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣

(5)

(5)式中，Rs=E[s(n)sH(n)]表示入射信號的協(xié)方差矩陣。對(5)式進行特征值分解，有

(6)

(6)式中：Es和En分別表示信號子空間和噪聲子空間；Λs和Λn分別表示由與信號子空間和噪聲子空間各列矢量相對應(yīng)的特征值所構(gòu)造的對角矩陣。由信號子空間與噪聲子空間的正交特性可知：噪聲子空間與陣列導向矩陣B(φ,θ)中各個列矢量相互正交，令b(θ,φ)表示B(φ,θ)中某一列矢量，則有

(7)

根據(jù) (7) 式，可得如下MUSIC空間譜

(8)

2D MUSIC算法就是在方位角φ和仰角θ的定義范圍內(nèi)，通過搜索空間譜P(θ,φ)的峰值點來獲得(φ,θ)的估計值；與 (8) 式相對應(yīng)，還可通過極小化(9)式來獲取(φ,θ)的估計值

(9)

盡管2D MUSIC算法通過遍歷搜索峰值可獲得DOA(φ,θ)的估計值，但是計算復(fù)雜度非常高，無法滿足實際的工程需要，為此，2.2節(jié)將給出一種高效的2D DOA估計新方法。

2.22D DOA估計新方法

實際上，(8)式和(9)式具有同等意義，因此，本小節(jié)將通過極小化(9)式來實現(xiàn)2DDOA估計。為降低2DDOA估計的計算復(fù)雜度，將通過優(yōu)化解析 (9) 式獲得方位角與仰角之間的約束關(guān)系，進而將(9)式轉(zhuǎn)化為只含仰角或者方位角參數(shù)的目標函數(shù)，從而只需1D搜索即可獲得2DDOA信息。下面給出具體分析過程。

對En進行分塊處理，令

(10)

(11)

對 (11) 式兩邊關(guān)于aH(θ)求偏導，得

(12)

(13)

在上述理論分析過程中，通過對 (11) 式兩邊關(guān)于aH(θ)求偏導，從而將a(θ)表示成關(guān)于a(φ)的解析式；同樣地也可以對 (11) 式關(guān)于aH(φ)求偏導，從而將a(φ)表示成關(guān)于a(θ)的解析式。

在實際工程應(yīng)用中，協(xié)方差矩陣Ry只能利用有限接收快拍數(shù)據(jù)去估計，即

(14)

(14) 式中，NS表示快拍數(shù)。

(15)

于是，(11)式可改寫成

(16)

(17)

(18)

(19)

2.3算法復(fù)雜度比較

2DMUSIC算法、分維MUSIC算法以及本文方法復(fù)雜度區(qū)別主要體現(xiàn)在空間譜計算、譜峰搜索和特征值分解3個方面，通過較為詳細的分析，2DMUSIC算法的復(fù)雜度約為O(8M2N2+8N2+8M3)，分維MUSIC算法的復(fù)雜度約為O(4M2N+4N+2M3)，而本文所提方法復(fù)雜度為O(3M2N+3N+8M3)，其中N=181/εθ表示譜峰搜索維度，其值取決于搜索步長εθ，通常情況下εθ取0.1，因此有NM。通過對比，本文所提方法復(fù)雜度略小于分維MUSIC算法，但遠遠小于2DMUSIC算法；COLD算法無需特征值分解和譜峰搜索，但需求根運算和角度配對，其計算復(fù)雜度約為O(40M3)，因此，當陣元數(shù)相對較小時，COLD算法復(fù)雜度最低。

3實驗仿真與性能分析

本小節(jié)將通過Matlab數(shù)值仿真來評估本文所提方法的性能。在仿真中，取M=8，即x軸和z軸各放置一8元均勻線陣，入射信號均為窄帶不相關(guān)遠場平面波。

采用均方根誤差(rootmeansquarederror,RMSE)作為DOA估計性能的衡量指標，定義為

(20)

(20)式中，Nm表示蒙特卡洛仿真實驗次數(shù)，實驗中取Nm=1 000。

在具體仿真中，本文同時還給出了分維MUSIC算法[1]、2DMUSIC算法[15]、CODE算法的角度估計RMSE性能以及克拉美羅限(cramer-raobound,CRB)[17-18]以作為對比。對于分維MUSIC算法和COLD算法，在計算RMSE時，假設(shè)DOA估計結(jié)果完全配對，即對仿真結(jié)果采取處理，讓仰角和對應(yīng)方位角實現(xiàn)配對。事實上，該處理在一定程度上人為抬高了這兩種算法的性能，因為對這兩種算法而言，角度匹配失敗是不可避免的。

在SNR=-8dB，快拍數(shù)NS=100，圖2給出RMSE隨仰角角度間隔變化曲線。仿真中，固定方位角φ1=45°，φ2=65°，仰角θ1=50°，令θ2=θ1+Δθ，Δθ以2°為步長在區(qū)間[2° 30°]內(nèi)取值。

圖2　RMSE隨仰角角度間隔變化的曲線圖Fig.2　RMSE versus angular separation

從圖2看出，在該條件下，本文方法性能遠優(yōu)于分維MUSIC算法和CODE算法，幾乎和2DMUSIC算法一致。這主要是由于本文所提方法優(yōu)先估計方位角，然后再根據(jù)約束關(guān)系估計仰角。一旦方位角確定，仰角則隨之確定，基本不受仰角角度間隔的影響?；诖丝紤]，如果預(yù)先知道哪一維角度間隔較大，在算法設(shè)計時可通過先估計該維角度來提升DOA估計的精度。

在信源數(shù)K=3，入射信號的仰角和方位角分別為(θ1,φ1)=(45°,50°)，(θ2,φ2)=(65°,70°)，(θ3,φ3)=(85°,90°)時，圖3給出RMSE隨SNR變化的曲線。仿真中，NS=100。

由圖3中看出，盡管在較高SNR時，本文方法與其他3種算法性能十分接近，但在SNR<-4dB時，COLD算法性能開始出現(xiàn)劇烈下降，SNR小于-8dB時，本文方法接近于2DMUSIC性能，但遠優(yōu)于COLD和分維MUSIC算法，但其復(fù)雜度卻遠低于2DMUSIC算法。為了公平起見，在該實驗中我們假設(shè)方位角和仰角角度間隔均為20°；實際上，由圖1可知，當仰角角度間隔較小時，本文方法優(yōu)勢更明顯。

圖3　RMSE隨SNR變化的曲線圖Fig.3　RMSE versus SNR

令SNR以步長2dB在區(qū)間[-10 10]dB內(nèi)取值。進一步，入射信源與圖3仿真條件相同，令SNR=-8dB，圖4給出RMSE隨NS變化的關(guān)系曲線。

圖4　RMSE隨NS變化的曲線圖Fig.4　RMSE versus NS

從圖4可知，在NS較小時，本文方法的性能明顯優(yōu)于COLD和分維MUSIC算法，甚至NS=50時，本文方法性能接近于2DMUSIC算法，這說明本文方法在小接收快拍條件下更具魯棒性。

4結(jié)論

針對L型陣列中2D DOA估計問題，本文首先通過解析優(yōu)化2D譜峰搜索目標函數(shù)，獲得方位角與仰角之間的特定約束關(guān)系，進而給出了一種無需2D譜峰搜索和角度配對的2D DOA估計方法，相比2D MUSIC算法，其計算復(fù)雜度得到顯著下降。同時，由于該方法充分利用了接收數(shù)據(jù)自協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣所包含的信息，使得該方法在低SNR及小接收快拍數(shù)條件下均呈現(xiàn)出較強的魯棒性和穩(wěn)健性。

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Method of two-dimensional DOA estimation for L-shaped array

JING Xiaorong, LIU Xuefeng

( Key lab of Mobile Communication technology, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, P.R.China)

Abstract:Under low SNR region or with the small number of the snapshots, the classic two-dimensional (2D) direction-of-arrival (DOA) algorithms have the drawback of low estimation accuracy. To resolve the problem, the paper presents a new method of 2D DOA estimation suitable for low signal-to-noise (SNR) region and small number of the snapshots by fully taking advantage of the autocorrelation and cross-correlation information of the received snapshots of L-shape sensor arrays. Analytically optimizing the problem of 2D spectrum peak search, we obtain the specific constraint relationship between the azimuth and elevation. On the basis of it, the method firstly converts the objective function with 2D angle parameter into the one with one-dimensional (1D) angle parameter. Then the azimuth (or elevation) is obtained by 1D searching. Finally, the elevation (or azimuth) can be estimated according to the specific constraint relationship between the azimuth and elevation. The method only needs 1D spectrum peak searching, and the estimated azimuth and elevation can be automatically matched. The computer simulations verify the effectiveness of the proposed method under low SNR region and with the small number of the snapshots.

Keywords：direction-of-arrival (DOA) estimation; low signal-to-noise (SNR); small snapshots; the number of sources

DOI：10.3979/j.issn.1673-825X.2016.01.004

收稿日期：2014-12-22

修訂日期：2015-07-15通訊作者：劉雪峰blossomchina@sina.com

基金項目：國家科技重大專項(2014ZX03001009-003)

Foundation Item：The National Science and Technology Major Project (2014ZX03001009-003)

中圖分類號：TN911.7

文獻標志碼：A

文章編號：1673-825X(2016)01-0024-06

作者簡介：

景小榮(1974-)，男，甘肅平?jīng)鋈?，副教授，博士，主要研究方向為多天線(包括智能天線)系統(tǒng)中的信號處理。E-mail：jingxr@cqupt.edu.cn。

劉雪峰(1988-)，男，安徽阜陽人，主要研究方向包括智能天線系統(tǒng)中的DOA估計及波束成形。E-mail: blossomchina@sina.com。

(編輯：田海江)