李俊磊　滕少華

摘要：相似度是描述兩個(gè)對象之間相似程度的一種度量，依據(jù)對象不同，相似度計(jì)算方法亦不同。相似度計(jì)算被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘算法中，它是對象分類的基礎(chǔ)。該文將數(shù)據(jù)對象劃分為數(shù)值型、非數(shù)值型和混合型三種，并根據(jù)數(shù)據(jù)對象的類型，探討了相應(yīng)的相似度計(jì)算方法，最后，通過實(shí)例描述了相似度計(jì)算在數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：對象；相似度計(jì)算；數(shù)據(jù)挖掘；數(shù)據(jù)類型

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）13-0014-04

Abstract： The Similarity is a measure of similarity between two objects， according to different objects， similarity calculation method is also different. Similarity calculation is widely used in data classification， is the basis for object classification. In this paper， the data objects were divided into three kinds： numeric type， non-numeric type and mixed type. And the similarity calculation methods of different types are discussed. Finally， we illustrated the application of similarity in the data mining.

Key words： object； similarity calculation； data mining； data type

伴隨數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)展，對象之間的相似性計(jì)算已成為一個(gè)非常重要的研究課題。相似度度量是衡量對象間相互關(guān)系強(qiáng)弱、聯(lián)系緊密程度的重要手段。

在數(shù)據(jù)挖掘的方法中，諸如數(shù)據(jù)分類和預(yù)測[1-2]、數(shù)據(jù)聚類[1-2]、關(guān)聯(lián)分析[1-2]、序列模式[1-2]、依賴關(guān)系與依賴模型[1-2]、異常檢測和趨勢分析[1-2]等都離不開對象之間的相似度分析。尤其是在考察對象間同異度關(guān)系時(shí)，相似度度量和計(jì)算方法將直接影響最終的數(shù)據(jù)挖掘結(jié)果，相似度計(jì)算又是衡量對象間差異的基礎(chǔ)，在分類應(yīng)用中，相似度計(jì)算是分類的依據(jù)。因而，依據(jù)不同的實(shí)際應(yīng)用和數(shù)據(jù)對象，研究相似度計(jì)算方法，對數(shù)據(jù)分類有重要意義。

首先描述了相似度概念，進(jìn)而將數(shù)據(jù)對象分為三種類型：數(shù)值型、非數(shù)值型和混合型，然后按不同數(shù)據(jù)對象分別給出了相應(yīng)的相似度計(jì)算公式，最后通過實(shí)例對相似度計(jì)算進(jìn)行了說明。

1 相似度概念

在數(shù)據(jù)挖掘、模式識別和機(jī)器學(xué)習(xí)等計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域中，兩個(gè)對象的相似度是描述這兩個(gè)對象之間相似程度的一種度量，兩者越相似，它們的相似度就越高，相似度是一個(gè)非負(fù)數(shù)值，其值介于0和1之間[2]。數(shù)據(jù)挖掘的很多算法都涉及計(jì)算對象間的相似度，相似度計(jì)算方法依賴于數(shù)據(jù)對象的類型，數(shù)據(jù)對象的類型不同其相似度計(jì)算方法不同。例如，數(shù)值型數(shù)據(jù)的相似度可用歐氏空間的距離來描述其鄰近程度；兩個(gè)標(biāo)稱型數(shù)據(jù)對象的相似度與用來計(jì)算相似度的屬性的值域有關(guān)。

依據(jù)參與相似度計(jì)算的數(shù)據(jù)類型，本文將數(shù)據(jù)對象分為數(shù)值型、非數(shù)值型和混合型[1-2]三種。

1.1 數(shù)值型

數(shù)值型數(shù)據(jù)被用來描述連續(xù)型或定量型數(shù)據(jù)，即兩個(gè)不同數(shù)值之間有無窮多個(gè)數(shù)值。使用實(shí)數(shù)或度量衡單位計(jì)量相似度值，如溫度、身高等。數(shù)值型量可分為區(qū)間標(biāo)度量和比例標(biāo)度量，其中區(qū)間標(biāo)度量是一個(gè)線性的標(biāo)度量，而比例標(biāo)度量一般是非線性的。

1.2 非數(shù)值型

其取值是定性的、而非定量的數(shù)據(jù)。如人的性別，成績優(yōu)良等級等。通常這類對象屬性的取值可通過有限個(gè)狀態(tài)（字母/序數(shù)）來描述。非數(shù)值型數(shù)據(jù)又可分為標(biāo)稱型、二元和序數(shù)型數(shù)據(jù)等。標(biāo)稱型數(shù)據(jù)之間是無序的，序數(shù)型是有序的。

1.3 混合型

由數(shù)值型數(shù)據(jù)和非數(shù)值型數(shù)據(jù)混合組成。

2 相似度計(jì)算

2.1 數(shù)值型數(shù)據(jù)

數(shù)值型數(shù)據(jù)可分為區(qū)間標(biāo)度型和比例數(shù)值型數(shù)據(jù)。

2.1.1 區(qū)間標(biāo)度型數(shù)據(jù)

區(qū)間標(biāo)度型：是一個(gè)粗略線性標(biāo)度的連續(xù)量，這種量的值是有序的，可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。典型的例子有重量、高度、大氣溫度等。具體計(jì)算時(shí)，區(qū)間型數(shù)據(jù)的相似度通常轉(zhuǎn)換成相異度計(jì)算。常用的計(jì)算方法是先將這種量標(biāo)準(zhǔn)化，消除度量單位對分析結(jié)果的影響，然后，采用距離來計(jì)算對象間的相異度。距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，距離的大小代表著2個(gè)對象之間的差異程度，距離越大，2個(gè)對象相異度就越大，距離越小，2個(gè)對象之間的相似度越高。這里給出常見的相異度計(jì)算方法[3]。

設(shè) p=（p1， p2， …， pn）T， q=（q1， q2， …， qn）T 為N維空間中的兩個(gè)對象，pi是對象p對應(yīng)的第i個(gè)屬性所取的值，是對象P的所有屬性值的平均值。qi是對象q對應(yīng)的第i個(gè)屬性所取的值，是對象q的所有屬性值的平均值。

曼哈頓、歐氏和閔可夫斯基距離等計(jì)算公式分別如下：

1）曼哈頓距離

曼哈頓距離又稱為城市街區(qū)距離，是使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以表明2個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和[4]，對n維空間的曼哈頓距離表示如下：

2個(gè)n維向量p（p1， p2， …， pn）與q（q1， q2， …， qn）間的曼哈頓距離：

2）歐氏距離

歐式距離也稱為歐幾里得距離，是通常采用的距離，它是在n維空間中2個(gè)點(diǎn)之間的真實(shí)距離，用來表示各個(gè)數(shù)據(jù)對象之間的距離。歐式距離與對象的量綱有關(guān)，從統(tǒng)計(jì)的角度看，使用歐氏距離要求各個(gè)坐標(biāo)對歐式距離的貢獻(xiàn)是同等的且變差大小也是相同的[5]。

2個(gè)n維向量p（p1， p2， …， pn）與q（q1， q2， …， qn）間的歐氏距離：

（2）

3）切比雪夫距離

切比雪夫距離是一種最大距離。在向量空間中，2個(gè)向量間的切比雪夫距離，就是將其沿著任意坐標(biāo)尺寸的最大值[6]。二維和n維空間的切比雪夫距離如下：

2個(gè)n維向量空間向量p（p1， p2， …， pn）與q（q1， q2， …， qn）間的切比雪夫距離：

4）閔可夫斯基距離

閔科夫斯基距離是歐氏距離和曼哈頓距離的推廣[7]，定義如下：

當(dāng)x=1時(shí)，為曼哈頓距離，當(dāng)x=2時(shí)為歐氏距離。

5）馬氏距離

馬氏距離 [3]是一種常用的距離度量方式，能夠充分考慮模式特征參數(shù)的大小以及特征間的相關(guān)性，在模式識別中其性能通常比歐式距離好。馬氏距離是歐式距離的改進(jìn)，是歐式空間中非均勻分布的歸一化距離，它對于一切線性變換是不變的[8]。

6）Canberra距離

Canberra距離是一種相對馬氏距離，不受量綱的影響，同樣沒有考慮多重相關(guān)性，Canberra距離對微小變化很敏感[9]。

7）相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)是對向量做標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)化后的夾角余弦，表示兩個(gè)向量的線性相關(guān)程度[10]。當(dāng)兩個(gè)向量方向相近時(shí)，夾角余弦值越大，反之越小。特別地，當(dāng)兩個(gè)向量平行時(shí)，夾角余弦值為1，而正交時(shí)余弦值為0。

2.1.2 比例型數(shù)據(jù)

比例型數(shù)據(jù)一般是通過非線性尺度取得的測量值。計(jì)算這類對象的相似度有三種方法：轉(zhuǎn)換為區(qū)間標(biāo)度型數(shù)據(jù)、轉(zhuǎn)換為連續(xù)的序數(shù)數(shù)據(jù)、取對數(shù)。

2.2 非數(shù)值型數(shù)據(jù)

許多數(shù)據(jù)挖掘方法只能處理數(shù)值型數(shù)據(jù)，因此需要將非數(shù)值型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為數(shù)值型數(shù)據(jù)。可建立非數(shù)值型量的不同狀態(tài)值或利用離散數(shù)據(jù)建立其與對象之間的對照表。非數(shù)值型數(shù)據(jù)又可細(xì)分為標(biāo)稱數(shù)據(jù)、二元數(shù)據(jù)和序數(shù)型數(shù)據(jù)等。

2.2.1 標(biāo)稱數(shù)據(jù)

標(biāo)稱數(shù)據(jù)又稱為類別數(shù)據(jù)，標(biāo)稱型屬性的值可以是一些符號或事物的名稱。每個(gè)值代表某種類別、編碼或狀態(tài)等。標(biāo)稱型屬性的值之間沒有順序關(guān)系。例如：設(shè)hair_color（頭發(fā)顏色）是一個(gè)描述實(shí)體人的屬性。它取值可以為黑色、棕色、淡黃色、紅色、赤褐色、灰色和白色等。因此，hair_color是標(biāo)稱屬性。

通常，可以用數(shù)字表示這些符號或名稱，例如對于hair_color，可以指定數(shù)字0表示黑色，1表示棕色，2表示淡黃色等。

兩個(gè)標(biāo)稱型對象i和j之間的相異度可以用簡單匹配方法來計(jì)算：

其中p為對象的屬性的個(gè)數(shù)，m為對象i和j取值相同的屬性個(gè)數(shù)，我們可以通過賦權(quán)重來增加m的影響，或者賦給有較多狀態(tài)的變量匹配以更大的權(quán)重。

對于標(biāo)稱數(shù)據(jù)，歐氏距離等不能直接應(yīng)用于其數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，Ralambondramy提出了一種該類型轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制屬性的方法，用0和1表示一個(gè)屬性是否存在，并把這些二進(jìn)制屬性當(dāng)做數(shù)值來處理[11]。

通過這種方法也很容易描述分類屬性的海明距離公式：

2.2.2 二元型數(shù)據(jù)

二元數(shù)據(jù)是一種特殊的標(biāo)稱數(shù)據(jù)，只有二個(gè)類別或狀態(tài)（0和1）構(gòu)成，0表示該屬性不出現(xiàn)，1表示出現(xiàn)。

設(shè)x = （x1， x2， …， xn）， y = （y1， y2， …， yn） 為二元數(shù)據(jù)，常用0-0、0-1、1-0、1-1匹配表示xi及yi相應(yīng)的取值。其中fij表示集合{（xk， yk）| xk = i且yk = j， k = 1， 2， …， n}的基數(shù)，[12]。計(jì)算二元型數(shù)據(jù)相似度的方法比較多，由于篇幅原因，只列如下幾種：

1.簡單匹配系數(shù)（對象的變量是對稱時(shí)）

2.Jaccard系數(shù)

（11）

3.Rogers-Tanimoto

4.Srensen

2.3 序數(shù)型數(shù)據(jù)

序數(shù)型屬性變量分為分類和連續(xù)兩種。分類序數(shù)屬性與標(biāo)稱屬性類似，不同的是，分類序數(shù)值表示不同的狀態(tài)，將其狀態(tài)可按一定的次序排列。例如，職稱就是一個(gè)分類序數(shù)，按照助教、講師、副教授、教授的順序排列的；人的年齡段可按兒童、少年、青年、中年、老年順序排列。一個(gè)連續(xù)序數(shù)型數(shù)據(jù)看上去就像一組未知范圍的連續(xù)數(shù)據(jù)，值之間的相對順序是重要的，而其實(shí)際的大小則不重要。在計(jì)算對象的相異度時(shí)，對序數(shù)型數(shù)據(jù)的處理方式與區(qū)間標(biāo)度數(shù)據(jù)非常類似。

假設(shè)f是用于描述n個(gè)對象的一組序數(shù)型屬性之一，若序數(shù)屬性f有mf個(gè)狀態(tài)，關(guān)于f的相異度計(jì)算包括如下步驟：

1）屬性f有mf個(gè)有序狀態(tài)，第i個(gè)對象的屬性f的取值為xf，將屬性值xf替換為相應(yīng)的等級rf，rf{1，2，3，....，mf}。

2）將序數(shù)屬性等級做變換，映射到區(qū)間[0，1]上。

3）利用數(shù)值屬性的任一種距離計(jì)算公式來計(jì)算相異性。

2.4 字符串型數(shù)據(jù)

海明距離是專門針對字符串?dāng)?shù)據(jù)而設(shè)計(jì)，用來衡量兩個(gè)字符串之間的相似度，其計(jì)算公式如下所示：

其中，表示兩個(gè)字符串。而，，分別表示字符串中各個(gè)位置上的字符。count（ ）函數(shù)用于獲取兩個(gè)字符串中對應(yīng)字符值不同的個(gè)數(shù)，海明距離是分析文本等字符型數(shù)據(jù)之間相似度的常用方法，在文本分類等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

2.5 文檔向量型

通常，文檔用向量表示，向量的每個(gè)屬性代表一個(gè)特定的詞（關(guān)鍵詞）或短語的頻度。每個(gè)文檔都被一個(gè)所謂的詞頻向量來表示。詞頻向量通常很長，并且稀疏。使用這種結(jié)構(gòu)的應(yīng)用包括信息檢索、文本文檔聚類、生物學(xué)分類和基因特征映射。對于這類稀疏的數(shù)值數(shù)據(jù)，常采用余弦相似性來計(jì)算兩個(gè)文檔間的相似性。

2.6 其他非數(shù)值型數(shù)據(jù)

在實(shí)際的應(yīng)用中，對象的某些屬性數(shù)據(jù)值與我們研究的結(jié)果毫無關(guān)系，則可忽略，不需考慮在內(nèi)。

3 混合型數(shù)據(jù)

當(dāng)對象的屬性是由多種數(shù)據(jù)類型組成時(shí)，此時(shí)對象之間的相異度計(jì)算變得比較復(fù)雜了，目前有四種方法來處理：按單個(gè)屬性獨(dú)立計(jì)算、按類型分組獨(dú)立計(jì)算、通過相異度矩陣計(jì)算、采用摘要信息方式計(jì)算等，由于篇幅有限，摘要信息方式計(jì)算在文中就不具體列舉了。

3.1 按單個(gè)屬性計(jì)算

將對象的每個(gè)屬性單獨(dú)進(jìn)行考慮，按照一般正規(guī)相似度的定義方式進(jìn)行計(jì)算，也就是先度量單個(gè)屬性之間的相似度，然后利用綜合函數(shù)得出整體相似性。但是一般在計(jì)算數(shù)據(jù)相似度時(shí)會(huì)歸約到同一形式上[12]。

3.2 按類型分組計(jì)算

將屬性按數(shù)據(jù)類型分組，將每種數(shù)據(jù)類型的屬性分成一組，利用相應(yīng)的相似度計(jì)算公式來計(jì)算不同類型屬性的相似度，之后利用綜合函數(shù)得到整體相似度，這種方法將同種類型的屬性看成整體進(jìn)行考慮。如果這些分析得到兼容結(jié)果，則這種方法可行，但在實(shí)際的數(shù)據(jù)應(yīng)用中，每種屬性類型分別分析得到兼容結(jié)果的可能性不大，所以這種方法的可行性不大。

3.3 通過相異度矩陣計(jì)算

將所有的數(shù)據(jù)一起處理，只進(jìn)行一次分析。將不同類型的數(shù)據(jù)組合在單個(gè)相異度矩陣中，所有有意義的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到共同的值域區(qū)間[0， l]上[13]。

假設(shè)數(shù)據(jù)集中包含p個(gè)不同的類型的屬性，對象i和j之間的相異度定義為：

其中，如果或缺失（即對象i或?qū)ο骿沒有屬性f的度量值），或者，且屬性f是不對稱的二元型數(shù)據(jù)，則指示項(xiàng)；否則，指示項(xiàng)。

對象i和j之間相異度的計(jì)算方式與屬性f的具體數(shù)據(jù)類型有關(guān)：

如果f是二元型數(shù)據(jù)或標(biāo)稱型數(shù)據(jù)：如果，則；否則。

如果f是標(biāo)度型數(shù)據(jù)：這里的取值是屬性的所有非空缺對象。

如果是序數(shù)型或者比例標(biāo)度型數(shù)據(jù)，計(jì)算排序位和，并將作為區(qū)間標(biāo)度型數(shù)據(jù)對待。

4 相似度計(jì)算的應(yīng)用

4.1應(yīng)用

對象間的相似度計(jì)算在數(shù)據(jù)挖掘中涉及面很廣，如K最近鄰分類（KNN）、聚類和異常檢測等技術(shù)。

K最近鄰（KNN）分類算法通過計(jì)算給定的檢驗(yàn)對象與訓(xùn)練對象之間的相似度，找出檢驗(yàn)對象的K個(gè)“最近鄰”[27]?！班徑浴庇孟嗨贫葋矶攘?。因此，如何選擇相似度計(jì)算方法在KNN最鄰近算法中對分類效果有著直接影響。若對象的屬性是數(shù)值型數(shù)據(jù)，則直接用對象間的距離來度量，對每個(gè)屬性的值進(jìn)行規(guī)范化，變換到[0，1]區(qū)間，防止較大初始域的屬性權(quán)重過大而影響結(jié)果。若屬性是標(biāo)稱型數(shù)據(jù)，常比較對象x1和x2中對應(yīng)屬性的值，若兩者相同者取0，反之則取1。

聚類，也稱作無監(jiān)督分類。聚類分析的目的是把數(shù)據(jù)對象劃分成多個(gè)組或簇（即不同的類），來發(fā)現(xiàn)隱藏的、潛在于數(shù)據(jù)中的有用信息。其目標(biāo)是使得同一簇內(nèi)的對象具有較高的相似性，而簇間的對象盡可能相異。眾多聚類算法都是建立在事先假定某種相似度度量方式基礎(chǔ)上，因此聚類算法的基本出發(fā)點(diǎn)都是根據(jù)對象間相似度將對象劃分為不同的簇。

在實(shí)際的數(shù)據(jù)挖掘應(yīng)用中，如果涉及相似性度量，首先應(yīng)分析對象的數(shù)據(jù)類型是否是單一，是數(shù)值型的數(shù)據(jù)還是是非數(shù)值型的或者是混合型的數(shù)據(jù)類型。然后根據(jù)相應(yīng)類型的相似度的計(jì)算公式進(jìn)行處理。

4.2 計(jì)算實(shí)例

下面用KNN算法和k-summary算法應(yīng)用的兩個(gè)實(shí)例來介紹相似度的計(jì)算。

實(shí)例1.數(shù)據(jù)集weather如下表所示，測試樣本X=（rain，hot，normal，weak，？）， k取3，下面根據(jù)KNN最鄰近方法預(yù)測該樣本的類符號。

由于outlook的值有三個(gè)，屬于標(biāo)稱型數(shù)據(jù)類型，為了便于區(qū)別它們之間的差異性，在此將其值對應(yīng)轉(zhuǎn)化為序數(shù)型數(shù)據(jù)。sunny=1，overcast=2，rain=3；同理temperature的hot=1，mild=2，cool=3。

首先計(jì)算樣本X到14個(gè)記錄的距離（取曼哈頓距離）分別為：

Distance（X，p1）=3，Distance（X，p2）=3，Distance（X，p3）=2，Distance（X，p4）=1.5，Distance（X，p5）=1，Distance（X，p6）=2，Distance（X，p7）=2.5，Distance（X，p8）=2.5，Distance（X，p9）=2，Distance（X，p10）=0.5，Distance（X，p11）=2.5，Distance（X，p12）=3，Distance（X，p13）=0.5，Distance（X，p14）=2.5；

根據(jù)KNN的概念可知，K=3，在這里取3個(gè)距離最小的值，分別為Distance（X，p10）=0.5，Distance（X，p13）=0.5，Distance（X，p5）=1。所以取離樣本X最近的3個(gè)近鄰為p5，p10，p13。而這3個(gè)最鄰近對應(yīng)的類標(biāo)號都為yes，因此樣本X的類標(biāo)號被預(yù)測為yes。

5 結(jié)論

論文對相似性的概念進(jìn)行了介紹，然后對數(shù)據(jù)類型進(jìn)行了分類，并對不同數(shù)據(jù)類型對象的相似度的衡量方式進(jìn)行了分析。不同的數(shù)據(jù)類型具有不同的相似性處理方式，相似性的計(jì)算方法有很多，有的適用于專門的領(lǐng)域，同時(shí)也有適用于特定類型數(shù)據(jù)的限制，選擇相似性的一個(gè)重要的因素就是屬性的類型。在進(jìn)行非數(shù)值型數(shù)據(jù)時(shí)，有時(shí)會(huì)因?yàn)閷⑵浠癁闃?biāo)稱類型，但是這樣的轉(zhuǎn)換并不能很好地了解屬性間的差異性，而將其進(jìn)行序數(shù)化，再進(jìn)行相似度計(jì)算，更能體現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的差異性。

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