☉湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 葉先玖
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“舊瓶新裝”,一種可行的編題方式
☉湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)葉先玖
小專題教學(xué),通常以思想方法為魂、題組訓(xùn)練為媒、計(jì)算推理為線來串聯(lián)知識(shí)和方法,幫助學(xué)生獲取基本的解題策略.因而,選擇一些最有價(jià)值、最具代表性的、典范性習(xí)題,是習(xí)題課常用的教學(xué)套路.由于停留于表面認(rèn)識(shí),變式及生長不足,缺少系統(tǒng)歸納及共性提煉,看不透基本圖形及性質(zhì),導(dǎo)致重復(fù)機(jī)械演練過度,結(jié)果是講一題會(huì)一題,題目略微變式,學(xué)生仍覺困難.教學(xué)實(shí)踐表明,“舊瓶新裝”,是一種可行的借題生長方式,能有效提升學(xué)生的解題水平.本文以八年級(jí)下冊教學(xué)中的一道選擇題為例,從選擇經(jīng)典題、深度挖掘、繼承經(jīng)典、借題發(fā)揮等角度,呈現(xiàn)個(gè)人的一些做法及思考,拋磚引玉,探討如何借用經(jīng)典,催生出新題、新意、新機(jī),最大限度地發(fā)揮經(jīng)典習(xí)題的價(jià)值.
經(jīng)典范例(2012年江蘇省揚(yáng)州市)如圖1,線段AB的長為2,C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰Rt△ACD和Rt△BCE,那么DE長的最小值是_______.
選題說明:立意動(dòng)態(tài)幾何構(gòu)思矩形小專題習(xí)題課時(shí),筆者依托人教版八年級(jí)下冊第64頁的數(shù)學(xué)活動(dòng)為素材,思考對第68頁第13題進(jìn)行改編,在查閱資料時(shí),有幸選取到本題及2015年黑龍江省綏化市第9題,作為示例;精選2014年綏化市第11題、2015年綏化市第21題,2015年江蘇省泰州市第16題、常州市第8題,2015年湖北省襄陽市第12題等五道題,作為習(xí)題跟進(jìn)鞏固,著力滲透分類討論、翻折變化、方程思想、等積轉(zhuǎn)化等方法,力求掌握有關(guān)解答折疊與最值等問題的基本策略.
選題時(shí),因?yàn)榕鋫溆袇⒖即鸢?,筆者并沒有對上題作細(xì)致的解答,受參考答案先入為主的影響,備課時(shí)只預(yù)設(shè)了下面呈現(xiàn)的解法一.課堂中,在傾聽學(xué)生交流時(shí),學(xué)生卻給出了更優(yōu)化的解答.
1.審視解答
解法一:(函數(shù)求值法)如圖1,設(shè)AC=x,則BC=2-x,因?yàn)椤鰽CD和△BCE都是等腰直角三角形,所以∠DCA=45°,∠ECB=45°,可證得∠DCE=90°,從而得DE2=DC2+CE2=x2-2x+2.所以當(dāng)x=1時(shí),DE2取得最小值,DE也取得最小值,最小值為1.
解法二:(保角構(gòu)造法)通常解答含特殊度數(shù)的角的幾何題時(shí),習(xí)慣于保全這個(gè)特殊角進(jìn)行補(bǔ)形構(gòu)建,從而轉(zhuǎn)化成特殊圖形進(jìn)行解答.如圖2,由∠A=∠B=45°,如果延長AD、BE交于點(diǎn)F,可得△AFB是等腰直角三角形,易證得四邊形CDFE是矩形,則DE=CF,由垂線段最短可知,當(dāng)CF⊥AB時(shí),DE最小,結(jié)合三線合一及直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半,求得DE的最小值為1.
解法三:(特殊位置法)上述兩種解法嚴(yán)謹(jǐn),無可挑剔,但作為一道選擇題,費(fèi)時(shí)不合算.不難看出,圖中兩個(gè)三角形的形狀相同,而且隨著點(diǎn)C的移動(dòng),兩個(gè)三角形在AB上任何一點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,即兩個(gè)三角形的地位是相等,因而,可采用特殊位置法,找出臨界點(diǎn),定位分析解答,顯然就是AB的中點(diǎn).此時(shí)有CD=CE,從而直接得到DE的最小值為1.
課后反思解法,此題雖小,但關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)、基本圖形、數(shù)學(xué)方法較多,理應(yīng)算是一道經(jīng)典習(xí)題.
2.審視變式
課堂中學(xué)生的表現(xiàn),引起了筆者對此題改編的興趣.雖然本題只是一道3分的填空題,但從解法多樣化角度看,本題可以說是思維含量較高的一道試題,有值得進(jìn)一步研究并拓展的必要.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),本題最大的特點(diǎn),就是從“共點(diǎn)等邊”圖形為背景求線段值,考查的核心知識(shí)點(diǎn)是特殊圖形的性質(zhì)及勾股定理,由于解答思路不同,可以滲透不同的基本思想和方法,可以多角度進(jìn)行改編.
外部基本圖形變式:不難發(fā)現(xiàn),在不改變題目條件下,單純地更換圖形形狀,如圖3,可以把兩個(gè)等腰三角形換成兩個(gè)等邊三角形,從而得到最為經(jīng)典也是常見的圖形,通過作AF⊥CD,可以求出AD的最小值;如圖4,更換為兩個(gè)正方形,同樣也能求出AF的最小值;類似地,還可以簡單地更換“外衣”,用不同特殊圖形去替換原題中的兩個(gè)等腰三角形,得到不同的新題,其實(shí)本質(zhì)及解答方法并沒有變,從而讓學(xué)生收獲“對一題”而“會(huì)一片”的訓(xùn)練效果.
圖4
內(nèi)部基本知識(shí)變式:如果從圖形旋轉(zhuǎn)角度改編,如圖5,線段AB的長為2,C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以C點(diǎn)為頂點(diǎn),在AB的同側(cè)作頂角為45°的等腰△ACD和△BCE.
(1)連接DE并求DE長的最小值.
(2)如圖6,當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí),將△BCE繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β(0°﹤β﹤135°),連接AE與BD交于點(diǎn)F.
①求證:AE=DB;
②當(dāng)β=45°時(shí),求DF的長.
圖5
圖6
解析:(1)由上述解法一可求得DE的最小值為1.(過程略)
(2)①C為AB的中點(diǎn),可得AC=CD=CE=CB=1,∠ACD=∠ECB=45°,所以△ACD≌△ECB.由于△ECB是繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的,始終有AC=CE,CD= CB,∠ACD=∠ECB,又因?yàn)椤螦CD+∠DCE=∠BCE+ ∠ECD,即∠ACE=∠DCB,由“邊角邊”可得△ACE≌△DCB,所以AE=BD.
②當(dāng)β=45°時(shí),證得四邊形ACBF為菱形,BC=AC=1,△DCB為等腰直角三角形,所以得DF=BD-
適當(dāng)更換條件,關(guān)聯(lián)更多的知識(shí)點(diǎn)和方法,也可以進(jìn)行如下深層次思想方法方面的融合,進(jìn)行質(zhì)的變式嘗試,以期進(jìn)一步提升思維含量.
1.著眼背景動(dòng)態(tài)性
在組織正方形小專題時(shí),著眼動(dòng)態(tài)幾何,復(fù)習(xí)最值問題,筆者重溫上述經(jīng)典范例,開發(fā)成通過定量計(jì)算,從而推理在正方形運(yùn)動(dòng)過程中,某一三角形成為等邊三角形開放性說理題,以最大限度發(fā)揮上述經(jīng)典題的價(jià)值.
改編題1:在直線BC上,線段BQ=12cm,C和D分別為直線BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接A D.
(1)如圖7,分別以BC和CQ為斜邊在同側(cè)作兩個(gè)等腰直角△BAC和△CMQ,連接AM,求出AM的最小值.
圖7
(2)當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到BQ的中點(diǎn)處時(shí),作等腰直角△BAC,D從C出發(fā),在射線CB上運(yùn)動(dòng),連接AD,以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
①如圖8,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí),探究BD與CF的關(guān)系并加以證明,指出點(diǎn)D在何處時(shí),正方形面積最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值.
圖8
圖9
②如圖9,當(dāng)點(diǎn)D在CB延長線上時(shí),在BC下方作正方形ADEF,連正方形對角線交于O點(diǎn),判斷△AOC的形狀,指出當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△AOC是等邊三角形.
解析:(1)由上述三種解法可知AM最小值為6cm(過程略).
(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到BQ的中點(diǎn)處時(shí),可得BC=6.由∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAF=90°,得到∠BAD= ∠CAF.又AB=AC,AF=AD,從而可證△BAD≌△CAF.所以BD=CF,∠FCA=∠ABD.而∠BAD+∠ACB=90°,所以∠ACB+∠ACF=90°,即∠BCF=90°,得BD⊥CF.由垂線段最短可知,當(dāng)AD⊥BC時(shí),正方形面積最小,由三線合一可知,此時(shí)D為BC的中點(diǎn),可求得正方形的最小面積為9cm2.
(3)同(2)的方法可證得△BAD≌△CAF,得BD=CF,∠FCA=∠DBA.因?yàn)椤螦BC=∠ACB=45°,得∠ABD= 135°,得∠FCD=∠FCA-∠ACB=90°.而由正方形的性質(zhì)可知DO=OF=AO=OE,在Rt△DCF中,由∠FCD=90°及DO=OF可得OC=OF,從而可得OA=OC.由于點(diǎn)D在CB延長線上向左運(yùn)動(dòng)時(shí),而點(diǎn)F是在垂直于BC的直線上運(yùn)動(dòng),隨DA長度不斷增大,所以O(shè)A也隨著增大,而AC長度不變,所以得△AOC是等腰三角形.當(dāng)△AOC是等邊三角形時(shí),必有∠AOC=60°,得∠COF=30°,∠OCF=∠CFO= 75°,可得∠FDC=15°,從而得∠ADB=30°.過點(diǎn)A作AG⊥ BC于點(diǎn)G,由BC=6可求得,在△AGD和△AGB中,由∠ADB=30°,∠ABC=45°,可求得,得即D運(yùn)動(dòng)到距離B點(diǎn)時(shí),有△AOC是等邊三角形.
2.著眼問題的存在性
上述經(jīng)典素材,從圖形的對稱性視角出發(fā),著眼問題存在性的探究,可以再深度挖掘,以二次函數(shù)綜合題與正方形為背景,立意三角形全等與相似、正方形性質(zhì)、函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn),滲透分類討論、待定系數(shù)法、運(yùn)動(dòng)與變化、數(shù)形結(jié)合、方程思想與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法的綜合題,基于此,筆者就上題與2015年湖北省襄陽市第26題進(jìn)行融會(huì),改編成如下試題,作為九年級(jí)學(xué)生周測試題.
改編題2:如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(-2,0),Q是線段OA上一動(dòng)點(diǎn),D為OA的中點(diǎn).分別以AQ、OQ為斜邊作兩個(gè)等腰Rt△AKQ和Rt△QHO,作直線KH交y軸于點(diǎn)G.
(1)當(dāng)KH最小時(shí),如圖11,以O(shè)A長為邊在第二象限作正方形ABCO,連接DC,將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DE,以直線AB為對稱軸的拋物線過C、E兩點(diǎn).求直線GD的解析式及拋物線的解析式.
(2)如圖11,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CB每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F.試問:當(dāng)t為何值時(shí),以P、F、D為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似?
(3)在(1)的條件下,M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)M、N,使得以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
圖10
圖11
解析:(1)由前面解法易得M(0,1),又D(-1,0),可得直線GD的解析式為y=x+1;過點(diǎn)E作EL⊥x軸于L點(diǎn),根據(jù)正方形的性質(zhì),可得OA=OC,∠AOC=∠DLE,根據(jù)余角的性質(zhì),可得∠OCD=∠LDE,可得△ODC≌△LED (AAS),所以EL=OD=1,DL=OC=2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-3,1).因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線AB即直線x=-2,所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2+k,將C、E點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得拋物線的解析式為
(3)分類討論:可分?MDNE、?MNDE、?NDME三種情況,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊,設(shè)M(-2,k)后,利用平移規(guī)律及拋物線解析式可求得對應(yīng)的M、N的坐標(biāo).當(dāng)四邊形MDEN是平行四邊形時(shí),有MN∥DE,MN=DE,因此,當(dāng)把D(-1,0)先向左平移兩個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位可得到點(diǎn)E(-3,1),由這個(gè)平移規(guī)律可把M(-2,k)平移后得到點(diǎn)N(-4,k+1),再將N點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,求得k=1,從而得M1(-2,1),N1(-4,2);同理,當(dāng)四邊形MNDE是平行四邊形時(shí),得M2(-2,3),N2(0,2);當(dāng)四邊形NDME是平行四邊形時(shí),得
1.精細(xì)識(shí)別,精心提煉經(jīng)典
數(shù)學(xué)思想方法、能力的提升,正如張奠宙院士所言:需要每節(jié)課“細(xì)水滴灌”,每道題浸潤,更得有專題式“大水漫灌”的滲透.而習(xí)題課,正是承擔(dān)小專題教學(xué)的最好載體,是提升學(xué)生解題能力最有效的途徑.通常,好題放在合適位置,才能發(fā)揮其價(jià)值,識(shí)別經(jīng)典,選題編題是小專題教學(xué)必要的一步.選題編題要以學(xué)生學(xué)習(xí)可接受能力為本,守住教學(xué)要求的底線,積累題組,力求通法,少玩技巧,[1]以最大限度使用題目的訓(xùn)練功效.選擇經(jīng)典題進(jìn)行小專題教學(xué),可以分解大目標(biāo),分散難點(diǎn),強(qiáng)化模式,落實(shí)小目標(biāo)而實(shí)現(xiàn)總目標(biāo),提高解決問題的能力.一般而言,公認(rèn)的經(jīng)典題,在探討多種策略求解時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)題目無論是從知識(shí)深度、廣度和完整度,還是基本思想方法,一定會(huì)多角度關(guān)聯(lián),[2]或關(guān)聯(lián)多個(gè)核心知識(shí)點(diǎn),或蘊(yùn)含著多種基本思想方法,或有基本圖形等,因而才會(huì)沉淀并流傳下來.如本文中的范例,雖然題小,如果從探究解法、圖形變式入手,會(huì)收獲化動(dòng)為靜、數(shù)形結(jié)合等轉(zhuǎn)化策略;積累從局部到整體,通過補(bǔ)形構(gòu)造,利用矩形性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn);甚至于通過圖形位置相同的特性,采用特殊點(diǎn)位置這一特殊方法,到用函數(shù)思想最值一般性的解法,養(yǎng)成多視角自由切換的思考意識(shí).在完成解答過程中,探究熟悉特殊圖形性質(zhì),緊扣變與不變關(guān)系和數(shù)量,在溫故的同時(shí),吸取解題營養(yǎng),提升分析和解決問題的能力.扣住經(jīng)典范例中共點(diǎn)等邊兩個(gè)等腰直角三角形放縮的特性,可以進(jìn)行外觀簡單的圖形變式,實(shí)現(xiàn)“做一題,會(huì)多題,會(huì)一法,得多法”的目的.
2.精致拓展,精彩生長經(jīng)典
課本習(xí)題及中考題,猶如“金礦”,是專家及命題人精心編制,是命題人智慧和心血的結(jié)晶.一些好題,堪稱經(jīng)典,是習(xí)題課范例的首選素材,能有效地開發(fā)成題組.能被師生多年認(rèn)可的經(jīng)典,絕不是僅僅可以“舊瓶簡裝”,局限于從外觀上進(jìn)行圖形變式,而是可以“舊瓶新裝”,能多角度變式拓展或生長.經(jīng)典題如同題根,“抓住一個(gè)題根,就等于抓住了這個(gè)題族、這個(gè)題群、這個(gè)題系”.抓根挖掘進(jìn)行改編,可以追求大道至簡,[3]顯然,能成為經(jīng)典,自身具有生長性、滲透性和實(shí)用性,可以“舊瓶新裝”.如同本文的范例那樣,在立足原題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的前提下,尊重原創(chuàng)命制意圖,遵從命題嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的原則,力求簡約而不失本質(zhì),[4]可以從換裝內(nèi)部基本數(shù)學(xué)知識(shí),或有意增設(shè)更多的基本思想方法進(jìn)行質(zhì)的變式.
精選、提煉、拓展經(jīng)典,找到生長點(diǎn),借題再生,“舊瓶新裝”,讓老題生根發(fā)芽,煥發(fā)新機(jī),是一種可行的編題方式.“舊瓶新裝”式的改編,可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、提升經(jīng)典,讓經(jīng)典更出彩;可以把握研究的方向,提升研究水平,助力專業(yè)成長;可以更好地關(guān)愛學(xué)生,為他們提供更優(yōu)化的高質(zhì)量的習(xí)題,幫助學(xué)生走出“題?!?,提升他們的分析和解決問題的能力.
參考文獻(xiàn):
1.韓新正.中考?jí)狠S題的一種價(jià)值取向:平實(shí)、簡約[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(8).
2.劉東升.關(guān)聯(lián)性:一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(12).
3.劉永東.簡化·簡至——數(shù)學(xué)小專題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(4).
4.萬廣磊.刪繁就簡三秋樹,領(lǐng)異標(biāo)新二月花——一道壓軸題的命制歷程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2016 (1-2).H