張同剛，岑敏儀，任自珍，金國(guó)清

(1. 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 610031； 2. 西南交通大學(xué)高速鐵路運(yùn)營(yíng)安全空間信息技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031； 3. 中鐵第五勘測(cè)設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，北京 100000)

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M-LZD算法中表面變形的可探測(cè)性分析

張同剛1，2，岑敏儀1，2，任自珍1，2，金國(guó)清3

(1. 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 610031； 2. 西南交通大學(xué)高速鐵路運(yùn)營(yíng)安全空間信息技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031； 3. 中鐵第五勘測(cè)設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，北京 100000)

摘要：現(xiàn)有的基于LZD方法的DEM變形探測(cè)方法都是將表面變形作為粗差，采用不同的穩(wěn)健估計(jì)方法來(lái)探測(cè)。粗差具有發(fā)現(xiàn)和定位能力是粗差探測(cè)的前提，而現(xiàn)有方法均沒(méi)有進(jìn)行粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力分析。本文首先采用判斷矩陣對(duì)其進(jìn)行了理論分析，然后對(duì)結(jié)果在不同類型地面的DEM進(jìn)行了試驗(yàn)。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，任意2個(gè)判斷向量線性無(wú)關(guān)，判斷矩陣中沒(méi)有零元素，相關(guān)數(shù)等于多余觀測(cè)個(gè)數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果表明，DEM表面上無(wú)論多少粗差均具有發(fā)現(xiàn)和定位能力；基于LZD方法的DEM表面變形探測(cè)方法在理論上是完備的，可以正確地發(fā)現(xiàn)和定位粗差。

關(guān)鍵詞：粗差發(fā)現(xiàn)；粗差定位；判斷矩陣；相關(guān)數(shù)；LZD；DEM

無(wú)控制點(diǎn)DEM匹配差異探測(cè)是當(dāng)前地學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。隨著地面和機(jī)載激光掃描技術(shù)的發(fā)展，可以定期或根據(jù)需要對(duì)興趣地點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)掃描，獲取高分辨率的地面三維模型[1]。提取的多時(shí)相的DEM包含了豐富的地面變化信息，這是將其應(yīng)用于滑坡等固體地球自然災(zāi)害監(jiān)測(cè)、防治的關(guān)鍵問(wèn)題[2-3]。不借助地面控制點(diǎn)完成不同時(shí)期DEM的配準(zhǔn)來(lái)探測(cè)地面變形的技術(shù)為該問(wèn)題提供了自動(dòng)化的解決途徑。

當(dāng)前領(lǐng)域內(nèi)最有代表性的DEM配準(zhǔn)算法是最小高差算法(least Z-difference，LZD)，該方法采用最小二乘技術(shù)，能夠在不借助控制點(diǎn)的情況下完成2期DEM的配準(zhǔn)。在此方法的基礎(chǔ)上，為了在有變形的情況下精確完成配準(zhǔn)并確定地面變形的范圍和幅度，Pilgrim利用穩(wěn)健估計(jì)中的M估計(jì)來(lái)替代最小二乘，提出M-LZD算法，能夠在不超過(guò)16%的情況下完成匹配[4]。更復(fù)雜的LMS估計(jì)和LTS估計(jì)也被引入到該領(lǐng)域，如LMS-LZD[5]和LTS-LZD[6]算法；為了進(jìn)一步提升算法性能，表面局部不變特征[7]和變形量的空間關(guān)系[8]也被引入到該領(lǐng)域。隨著算法性能的提升，算法也越來(lái)越復(fù)雜。

利用穩(wěn)健估計(jì)替代最小二乘算法，在匹配過(guò)程

中將表面變形作為粗差來(lái)對(duì)待，是這類方法共同的基本思想。從這個(gè)角度來(lái)看，探測(cè)表面變形的過(guò)程實(shí)際上就是匹配過(guò)程中觀測(cè)量粗差的探測(cè)過(guò)程。根據(jù)測(cè)量誤差處理理論，觀測(cè)量是否具備粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力是任何粗差探測(cè)方法的前提[9-12]，對(duì)于不具備粗差定位能力的情況，任何方法準(zhǔn)確定位其位置的概率不會(huì)超過(guò)50%[9]。這是關(guān)系到這一類基于穩(wěn)健估計(jì)的LZD算法探測(cè)到的表面變形可靠性的基礎(chǔ)性問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]采用判斷矩陣對(duì)DEM中任意一個(gè)粗差能否發(fā)現(xiàn)和定位問(wèn)題進(jìn)行了一些探索，但DEM變形是一個(gè)區(qū)域，與之對(duì)應(yīng)的粗差肯定不止一個(gè)。

考慮到LMS估計(jì)和LTS估計(jì)算法模型非常復(fù)雜，本文采用判斷矩陣中的相關(guān)數(shù)[14]，以這類算法中具有代表性的M-LZD算法為依托，對(duì)多個(gè)粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力進(jìn)行理論分析和模擬試驗(yàn)研究。

一、M-LZD算法模型

LZD算法采用剛體轉(zhuǎn)換模型，采用七參數(shù)來(lái)描述表面間的轉(zhuǎn)換關(guān)系[15]，即表面轉(zhuǎn)換關(guān)系由3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)(θx,θy,θz)、3個(gè)平移參數(shù)(Δx，Δy，Δz)和縮放系數(shù)組成，其算法模型可以表示如下

V=AX+dzw

(1)

(2)

式中，A為系數(shù)陣，并且列滿秩；V是改正數(shù)向量；X為待求轉(zhuǎn)換參數(shù)；dz為Z坐標(biāo)差；Fxi,Fyi表示第i點(diǎn)的X和Y方向的坡度，xi,yi表示i點(diǎn)的平面坐標(biāo)；w為對(duì)應(yīng)觀測(cè)量的權(quán)，由M估計(jì)確定。

為方便描述起見(jiàn)，采用單變量來(lái)代替A中的元素，這樣A可以簡(jiǎn)寫(xiě)成

(3)

二、判斷矩陣和相關(guān)數(shù)

根據(jù)LZD算法的系數(shù)陣A，通過(guò)簡(jiǎn)單的矩陣行變換可以得到判斷矩陣J[10]

(4)

(5)

判斷矩陣中6個(gè)判斷向量(J1-J6)可以求得6個(gè)粗差發(fā)現(xiàn)和定位相關(guān)數(shù)(以下簡(jiǎn)稱“相關(guān)數(shù)”)(η1～η6)。根據(jù)文獻(xiàn)[9]

1. 判斷向量的線性相關(guān)性分析

判斷矩陣可以表達(dá)成判斷向量的形式

(6)

再令

(7)

將式(5)中各項(xiàng)代入J1—J7，并合并同類項(xiàng)系數(shù)，得

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

從式(8)—式(13)可以看出，判斷向量J1—J6的形式非常類似，因此討論6個(gè)判斷向量?jī)蓛芍g的線性相關(guān)性只需要討論任意2個(gè)判斷向量之間的線性相關(guān)性即可。以J1、J2為例進(jìn)行討論。

假設(shè)

sJ1+tJ2=0(s、t為常數(shù))

(14)

將式(8)、式(9)代入式(14)，并簡(jiǎn)化系數(shù)得

(15)

根據(jù)式(6)和式(7)將上式展開(kāi)，得

(16)

兩兩作差，并代入各單變量的具體形式，得

(17)

式(17)成立的條件可以根據(jù)系數(shù)全部為0或不全部為0分成2種情況來(lái)分析。顯然當(dāng)系數(shù)全部為0時(shí)，判斷向量J1、J2線性無(wú)關(guān)；其他情況下，J1、J2線性相關(guān)。下面著重討論系數(shù)不全為0的情況，由于式(17)是和的形式，其成立的條件非常復(fù)雜，很難進(jìn)行系統(tǒng)完善的分析。但顯然式(18)是式(17)成立的條件中的一個(gè)。

(18)

根據(jù)式中符號(hào)的物理含義，F(xiàn)x和Fy是DEM表面上X、Y方向上的坡度。式(18)中前2條比較簡(jiǎn)單，物理意義很明確，分別是DEM表面為X、Y方向的坡度分別相等，從DEM表面特征來(lái)看，也就是該表面在X、Y方向上是規(guī)則曲面。如果DEM確實(shí)為規(guī)則曲面，那么LZD數(shù)學(xué)模型中系數(shù)陣A(式(2))列秩虧，式(1)沒(méi)有唯一解，這種情況與LZD方法的要求矛盾。式(18)中的其他3個(gè)條件的物理含義不太明確，不便于分析，但是前2個(gè)條件不成立，式(18)肯定不成立。

對(duì)于式(17)中在系數(shù)不全為0時(shí)，其他成立條件很難通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)公式來(lái)進(jìn)行分析。結(jié)合實(shí)際DEM特點(diǎn)對(duì)此進(jìn)行討論。式(17)中包括DEM的平面坐標(biāo)和表面坡度。對(duì)于實(shí)際的規(guī)則格網(wǎng)DEM而言，一方面DEM表面坡度與地形相關(guān)，沒(méi)有固定的變化規(guī)律；另一方面，平面坐標(biāo)X、Y具有很強(qiáng)的規(guī)律。再考慮到式(17)中各個(gè)條件相互獨(dú)立，這樣式(17)在系數(shù)不全為零時(shí)通常不成立。

對(duì)于實(shí)際DEM而言，其包含的數(shù)據(jù)量一般非常大，這樣式(17)中包括的條件就非常多，由于這些條件相互獨(dú)立，因此要使得它們同時(shí)成立的情況非常罕見(jiàn)。因此，對(duì)于實(shí)際DEM匹配而言，其判斷向量J1、J2線性無(wú)關(guān)。類似的，可以證明J2和J3，J3和J4，J4和J5，J5和J6，J1和J6也線性無(wú)關(guān)。

2. 粗差發(fā)現(xiàn)和定位相關(guān)數(shù)分析

根據(jù)式(8)—式(13)，判斷矩陣的6個(gè)判斷向量(J1-J6)形式一致，對(duì)于其對(duì)應(yīng)的6個(gè)相關(guān)數(shù)(η1-η6)分析可以任取其中的一個(gè)來(lái)進(jìn)行分析。

(18)

三、試驗(yàn)

為了對(duì)以上理論進(jìn)行驗(yàn)證，并兼顧試驗(yàn)的代表性，選擇各種類型地形的DEM來(lái)進(jìn)行模擬試驗(yàn)(如圖1所示)。這些DEM是實(shí)際地形數(shù)據(jù)，為規(guī)則格網(wǎng)數(shù)據(jù)。格網(wǎng)間距為10m，大小為120×100像素，在試驗(yàn)中作為基準(zhǔn)DEM。待匹配DEM通過(guò)對(duì)基準(zhǔn)DEM旋轉(zhuǎn)和平移后，并添加隨機(jī)誤差和變形得到。根據(jù)M-LZD算法的探測(cè)能力，添加變形為15%。試驗(yàn)中添加的隨機(jī)誤差和粗差均服從正態(tài)分布N(0,σ)。

圖1　試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

試驗(yàn)中在DEM上均勻選取6個(gè)點(diǎn)作為必要觀測(cè)量，分別進(jìn)行計(jì)算相應(yīng)的判斷矩陣和相關(guān)數(shù)。限于篇幅，表1僅給出了其中一個(gè)判斷矩陣及其相關(guān)數(shù)。所有的試驗(yàn)結(jié)果中，任意2個(gè)判斷向量均線性無(wú)關(guān)，這表明DEM表面存在任意一個(gè)粗差都具備發(fā)現(xiàn)和定位能力；在判斷矩陣中沒(méi)有出現(xiàn)零元素的情況，相關(guān)數(shù)均等于多余觀測(cè)量的個(gè)數(shù)，這表明最多可以發(fā)現(xiàn)粗差的個(gè)數(shù)為多余觀測(cè)數(shù)的一半，可以定位的粗差比可以發(fā)現(xiàn)粗差個(gè)數(shù)少一個(gè)。

表1　判斷矩陣和相關(guān)數(shù)

根據(jù)上面的試驗(yàn)結(jié)果，在實(shí)際應(yīng)用中只要DEM表面變形的比例不超過(guò)50%，均可以發(fā)現(xiàn)和定位。本文6組數(shù)據(jù)的測(cè)試結(jié)果也表明，添加的15%的變形均被準(zhǔn)確定位，因此M-LZD算法中DEM表面變形具備可探測(cè)性，算法確定的變形是可靠的。

四、結(jié)論

采用判斷矩陣對(duì)基于LZD算法的DEM表面粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力進(jìn)行理論分析，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明DEM表面具有粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力，因此基于LZD方法將表面變形作為粗差來(lái)處理的方法在理論上是完備的，可以正確地發(fā)現(xiàn)和定位粗差。

采用各種類型的DEM進(jìn)行了一系列的模擬試驗(yàn)，不同DEM上的試驗(yàn)結(jié)果一致，并與理論分析相符。試驗(yàn)結(jié)果表明任意2個(gè)判斷向量之間均是線性無(wú)關(guān)的；判斷矩陣中沒(méi)有出現(xiàn)零元素，相關(guān)數(shù)與多余觀測(cè)數(shù)相等。

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Analysis of Surface Deformation Detectability Based on M-LZD Algorithm

ZHANG Tonggang，CEN Minyi，REN Zizhen，JIN Guoqing

收稿日期：2015-06-23； 修回日期： 2016-01-04

基金項(xiàng)目：中國(guó)鐵路總公司重大科研項(xiàng)目(2014G004-B)；中國(guó)鐵路總公司科研試驗(yàn)任務(wù)(Z2013-038-5)；長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃(IRT13092)

作者簡(jiǎn)介：張同剛(1977—)，男，博士，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)字?jǐn)z影測(cè)量與模式識(shí)別。E-mail：swjtuztg@gmail.com

中圖分類號(hào)：P237

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：0494-0911(2016)06-0010-04

引文格式: 張同剛，岑敏儀，任自珍，等． M-LZD 算法中表面變形的可探測(cè)性分析[J]． 測(cè)繪通報(bào)，2016 ( 6) : 10-13． DOI: 10． 13474 /j． cnki． 11-2246． 2016． 0179．