李　慶，周翠琴，陳含爽

(安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

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模塊網(wǎng)絡(luò)上伊辛模型成核的最優(yōu)外場分配

李慶，周翠琴，陳含爽

(安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

摘要：本文討論了伊辛模型在具有兩個模塊的網(wǎng)絡(luò)上的成核相變。對每個模塊施加不同的外場強度，在保證平均外場不變的前提下研究外場差異對成核速率的影響。通過平均場理論計算和傘形采樣模擬，發(fā)現(xiàn)存在一個最優(yōu)的外場差異對應(yīng)成核速率最大。

關(guān)鍵詞：成核；相變；模塊網(wǎng)絡(luò)；伊辛模型

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.02.006

相變和臨界現(xiàn)象是統(tǒng)計物理研究所關(guān)注的重要傳統(tǒng)課題[1-3]，其關(guān)鍵科學(xué)問題是要回答復(fù)雜的相互作用如何影響相變和臨界現(xiàn)象，如有序-無序相變、滲流、自組織臨界性、非平衡相變等。然而，先前的工作大多數(shù)都關(guān)注如何得到相變點和拓撲及其與尺度的關(guān)系，而關(guān)于相變發(fā)生的動力學(xué)過程卻鮮有報道。眾所周知，自然界大部分相變是通過成核過程所激發(fā)的，如雨的形成、結(jié)晶過程、玻璃材料形成、蛋白質(zhì)折疊等[4]。成核是漲落驅(qū)動的從亞穩(wěn)態(tài)到穩(wěn)態(tài)的弛豫過程，也就是新相的孕育過程。然而，幾乎所有工作都在關(guān)注歐氏空間成核問題，而許多實際體系可以通過形形色色的網(wǎng)絡(luò)來描述，一個自然的問題是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓撲如何影響相變動力學(xué)。在前期工作中，針對一些統(tǒng)計物理模型初步探討了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上成核相變問題[5-9]。本文將研究伊辛模型在模塊網(wǎng)絡(luò)上的成核問題，解決如何通過分配外場來達到成核速率最優(yōu)化的問題。

1模型建立

伊辛模型是描述相變的基本模型，由物理學(xué)家Wilhelm Lenz在1920年提出，并以他的學(xué)生Ernst Ising命名。自然界的許多現(xiàn)象可以通過伊辛模型來理解，如合金中的有序-無序轉(zhuǎn)變、液氦到超流態(tài)的轉(zhuǎn)變、液體的凍結(jié)和蒸發(fā)、晶格氣體、玻璃物質(zhì)的性質(zhì)、森林火災(zāi)、城市交通、蛋白質(zhì)分子折疊等。伊辛模型的哈密頓量

(1)

式中Jij>0是節(jié)點i和節(jié)點j之間的耦合強度，取Jij=J=1,?i,j；si是節(jié)點i的自旋變量，可以取自旋向上si=+1或自旋向下si=-1；hi是施加在節(jié)點i上的外場強度；aij是網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣元，當節(jié)點i和節(jié)點j存在一條邊相連時，aij=1，否則aij=0。

如圖1所示，考慮由兩個模塊組成的網(wǎng)絡(luò)，為簡單起見，每個模塊的節(jié)點數(shù)目相同，即NⅠ=NⅡ=N/2，N為網(wǎng)絡(luò)大小。每條邊以1-p的概率隨機地連接同一模塊的兩個節(jié)點，以p的概率隨機地連接不同模塊的兩個節(jié)點。因此，參數(shù)p可以控制網(wǎng)絡(luò)模塊性的好壞：p越小，網(wǎng)絡(luò)模塊性越好。對屬于同一個模塊的節(jié)點，施加相同的外場，而對屬于不同模塊的節(jié)點，外場可以是不同的。為了保證總外場強度不變，假設(shè)第1個模塊的外場hⅠ=h-δ，第2個模塊的外場hⅡ=h+δ，其中h>0，δ∈[0,h]。為了研究成核問題，設(shè)定體系溫度T小于相變溫度，初始自旋構(gòu)型取大部分自旋取向朝下(亞穩(wěn)態(tài))。顯然，體系更加穩(wěn)定的狀態(tài)是大多數(shù)自旋取向朝上，漲落會驅(qū)動體系從亞穩(wěn)態(tài)成核相變到穩(wěn)態(tài)。我們感興趣的是外場差異對成核速率和成核路徑的影響。

圖1　具有兩個模塊的網(wǎng)絡(luò)示意圖，

2平均場理論

令mⅠ和mⅡ分別為模塊I和模塊II的平均磁矩，首先將體系的哈密頓量寫成3個部分

H=HⅠ,Ⅰ+HⅡ,Ⅱ+HⅠ,Ⅱ

(2)

其中HⅠ,Ⅰ和HⅡ,Ⅱ分別為模塊I和模塊II內(nèi)部的能量，HⅠ,Ⅱ是模塊I和模塊II之間的能量。根據(jù)平均場理論，這3個部分可以近似表達為

(3)

這里MⅠ,Ⅰ=MⅡ,Ⅱ=〈k〉N(1-p)/4是模塊I和模塊II內(nèi)部連邊的數(shù)目，MⅠ,Ⅱ=〈k〉Np/2是模塊I和模塊II之間連邊的數(shù)目，〈k〉是網(wǎng)絡(luò)平均度。體系的熵可以寫成S=NⅠSⅠ+NⅡSⅡ，其中SⅠ和SⅡ分別是模塊I和模塊II單個節(jié)點的熵，表達式：

(4)

(5)

其中，β=1/(kBT)是溫度的倒數(shù)，kB是玻爾茲曼常數(shù)。通過牛頓迭代法可以數(shù)值求解方程組(5)。圖2給出了在p=0.01，h=1.0，δ=0.5時單個節(jié)點的平均自由能F/N等高線。圖中用符號標記了自由能取極值時，方程組解的位置，其中方框標記4個穩(wěn)定的節(jié)點，圓圈標記4個鞍點，星形標記不穩(wěn)定節(jié)點。體系的最初狀態(tài)處于左下角穩(wěn)定節(jié)點的位置，而體系的最終狀態(tài)處于右上角穩(wěn)定節(jié)點的位置。另外，體系從一個穩(wěn)定節(jié)點過渡到另一個穩(wěn)定節(jié)點時必然要經(jīng)過一個鞍點?？梢钥闯?，從初態(tài)到末態(tài)有兩條可能的成核路徑，如圖中箭頭所示，每條路徑都需要經(jīng)歷一個中間亞穩(wěn)態(tài)的兩步成核過程，即其中一個模塊先成核相變，然后另一個模塊再成核相變。由于外場大的那個模塊一般先成核，所以其中一條路徑的概率幾乎為零。

圖2　單個節(jié)點的平均自由能等高線

圖3　第1步和第2步成核的自由能壘

3傘形采樣

圖4　傘形采樣結(jié)果。(a)自由能隨λ變化曲線，

4結(jié)論

通過平均場理論和傘形采樣，本文研究了伊辛模型在具有兩個模塊的網(wǎng)絡(luò)上的成核相變問題。在不改變平均外場的前提下通過改變兩個模塊上外場強度的差異，我們發(fā)現(xiàn)存在一個中等大小的差異值對應(yīng)的成核速率最大。從本文結(jié)果可以看出，外場的分配可以調(diào)控網(wǎng)絡(luò)體系的成核速率，適當?shù)姆峙湓瓌t可以使速率最大化。因此，如何分配外場對相變的發(fā)生至關(guān)重要。

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Optimal Allocation of External Fields for Nucleation of Ising Model on Modular Networks

LI Qing, ZHOU Cui-qin, CHEN Han-shuang

(School of Physics and Material Science, Anhui University, Hefei, Anhui 230601, China)

Abstract:This paper discusses the nucleation in a first-order phase transition on a network with two modules. By applying two distinct external fields to each module, the effect of the diversity in external fields on nucleation rate is investigated under the constraint that the average external field is unchanged. By mean-field theory and umbrella sampling, we find that there exists an optimal diversity for which the nucleation rate is maximal.

Key words:nucleation; phase transition; modular networks; Ising model

* 收稿日期：2015-09-08

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11205002)和大學(xué)生科研訓(xùn)練計劃項目(J18520121)。

作者簡介：陳含爽，男，安徽桐城人，博士，安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向為統(tǒng)計物理與復(fù)雜系統(tǒng)。 E-mail: chenhshf@mail.ustc.edu.cn

中圖分類號：O414；O415

文獻標識碼：A

文章編號：1007-4260(2016)02-0019-03

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-06-08 12:57網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160608.1257.006.html