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數(shù)學(xué)教學(xué)中一題多解的本質(zhì)

2016-07-18 08:54:52搖楊剛
試題與研究·教學(xué)論壇 2016年23期
關(guān)鍵詞:模式識別直角一題

搖楊剛

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展智力,全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑。因此,中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)該注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。

數(shù)學(xué)是思維的體現(xiàn),解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的,因而如何通過解題活動來培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力,應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題。但過多過密盲目的解題,不僅不會促進(jìn)思維能力的發(fā)展、技能的形成,反而易使學(xué)生疲勞,興趣降低,窒息學(xué)生的智慧,只有“聞一以知十”題解,才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)他們思維品質(zhì)的發(fā)展,而一題多解無疑是激發(fā)學(xué)生興趣,開拓思路,培養(yǎng)思維品質(zhì)和應(yīng)變能力的一種十分有效的方法。下面就本人在教學(xué)中的體會談?wù)劇耙活}多解”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

在初三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,我們常常采用一題多解來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新能力,構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò),整合知識。

建構(gòu)主義認(rèn)為,知識是學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的建構(gòu)。每個人的知識基礎(chǔ)是不一樣的,建構(gòu)的方法可能就不一樣,從而為一題多解提供了可能性。

初三的學(xué)生經(jīng)過三年的學(xué)習(xí),初中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容已基本掌握了,知識內(nèi)容豐富,也為一題多解提供了可能性。

在復(fù)習(xí)相似三角形一節(jié)中,有這樣一道題:如圖,有一塊直角三角形的鐵皮余料,它的直角邊BC為4cm,AC為3cm,若利用余料中現(xiàn)成的直角,從中裁出一個面積盡可能大的正方形來,則這個正方形的邊長為多少?

由于教師在上課時已復(fù)習(xí)過相似三角形的知識,學(xué)生受思維定式的影響,多數(shù)采用相似三角形來解。即可證:△BEF∽△FDA,得,設(shè)正方形邊長為x,則有BE=4-x,AD=3-x,即,解之得x=。

認(rèn)知心理學(xué)家將問題解決過程看作是對問題空間(problem space)的搜索過程。問題空間是問題解決者對一個問題所達(dá)到的全部認(rèn)識狀態(tài)。人在解題過程中,要利用各種算子改變問題的起始狀態(tài),經(jīng)過各種中間狀態(tài),逐步達(dá)到目標(biāo)狀態(tài),從而解決問題。問題解決的本質(zhì)是對問題空間的搜索,以找到一條從問題的起始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的通路。其認(rèn)知過程分別為:問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控。問題表征指形成問題空間,包括明確問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)及允許的操作。模式識別是指當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)問題之后,能將該問題歸類,使得與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某種數(shù)學(xué)模式相匹配的過程。先前的解題學(xué)習(xí)對后繼的解題學(xué)習(xí)的影響,即為解題遷移。解題監(jiān)控指解題者為了達(dá)到解題目標(biāo),在解題過程中對解題活動作為意識對象,對其進(jìn)行積極主動的計(jì)劃、監(jiān)視、調(diào)節(jié)和監(jiān)控的過程。學(xué)生的認(rèn)知不同,模式識別也就可能不同。

由于學(xué)生的個人差異性,注意的選擇性,有的學(xué)生注意到題目中的平行線,將其識別為利用平行線的性質(zhì),進(jìn)行解題遷移。于是有第二種方法:注意到整個三角形被分為三個規(guī)則的圖形,學(xué)生可能將其識別為面積的不變性,將其遷移到利用面積來解決。S△ADF+S?荀DCEF+S△BEF=S△ABC

注意到直角,有的學(xué)生會識別為直角坐標(biāo)系,從而建立如圖所示坐標(biāo)系:

AB的直線方程為:y=x+4

CF的直線方程為:y=-x

可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為所以正方形的邊長為。

同樣是注意到直角,也有的學(xué)生識別為三角函數(shù),可采用:在Rt△BEF中和Rt△BCA中,

tanB=即:得x=。

從以上可以看出,由于學(xué)生問題表征、模式識別的不同,解題遷移的方向不一樣,形成了多種不同的思路。最后能否成功解決問題,還需要個人進(jìn)行解題監(jiān)控。

數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué),“數(shù)學(xué)的命題、概念和理論并不是互不相關(guān)的,而是表現(xiàn)出了重要的相互聯(lián)系,或者說,即是構(gòu)成了整體性的“概念網(wǎng)絡(luò)”。正是這樣一種相互聯(lián)系,使我們條條道路通羅馬,同時激活了多種概念,這正是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)所需要達(dá)到的效果。

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