時統(tǒng)業(yè)，韋曉萍，王　斌

(1.海軍指揮學院 信息系，江蘇 南京 211800；2.海軍蚌埠士官學校 航海系，安徽 蚌埠 233012)

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與HA-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式相關(guān)的兩個函數(shù)

時統(tǒng)業(yè)1，韋曉萍1，王斌2

(1.海軍指揮學院 信息系，江蘇 南京 211800；2.海軍蚌埠士官學校 航海系，安徽 蚌埠 233012)

摘要：構(gòu)造了一個積分形式的單調(diào)增加的凸函數(shù)，利用它得到HA-凸函數(shù)Hermite-Hadamard型不等式的加細，并由此生成兩個具有單調(diào)性的二元函數(shù)．從而又獲得了關(guān)于HA-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式的新的加細．

關(guān)鍵詞：HA-凸函數(shù);凸函數(shù)；準線性；單調(diào)性；Hermite-Hadamard型不等式

1背景知識

在文獻[1-3]中，王良成利用凸函數(shù)的單側(cè)導數(shù)的性質(zhì)證明與凸函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性和準線性．受此啟發(fā)，文獻[4]利用GA-凸函數(shù)單側(cè)導數(shù)的性質(zhì)研究了與GA-凸函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性和準線性.文獻[5-6]引入HA-凸函數(shù)的概念，文獻[7]研究了HA-凸函數(shù)的單側(cè)導數(shù)的存在性和單調(diào)性，本文仍然利用單側(cè)導數(shù)研究與HA-凸函數(shù)有關(guān)的函數(shù)．

定義1[5-6]設f(x)是定義在區(qū)間I?(0，+∞)上的正值函數(shù)，若對任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，f(x)滿足

(1)

則稱f(x)為區(qū)間I上的HA-凸函數(shù)．若不等式(1)中的不等式反向，則稱f(x)為區(qū)間I上的HA-凹函數(shù)．

為證明主要結(jié)論，需要下面關(guān)于HA-凸函數(shù)單側(cè)導數(shù)的性質(zhì)，還要利用單側(cè)導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，以及HA-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式．

引理1[7]設f：[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)為HA-凸(凹)函數(shù)，x，y∈(a，b)，則

1)f在(a，b)內(nèi)任意點處的單側(cè)導數(shù)存在，且f在(a，b)上除至多只有可數(shù)個點外，處處可導；

引理3設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是連續(xù)的HA-凸函數(shù)，則

2主要結(jié)果及其證明

定理1設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是連續(xù)的HA-凸函數(shù)，則對任意x，y∈[a，b]，x

那么

1)H(a，b；t)是[-1，1]上的下凸函數(shù)；

(2)

3)H(a，b；t)是[-1，1]上的單調(diào)增加函數(shù)．

1)設α，β∈[0，1]，α+β=1，t1，t2∈[-1，1]，由HA-凸函數(shù)的定義得

同理可得

于是

因此H(a，b；t)是[-1，1]上的下凸函數(shù)．

2) 對任意s∈[a，b]，因為f(x)是定義在[a，b]?(0，∞)上的HA-凸函數(shù)，所以有

對s在[a，b]上積分,則式(2)的左邊不等式得證．再證(2)式的右端不等式．由HA-凸函數(shù)的定義和引理3得

3) 設-1≤t1

于是H(a，b；t2)≥H(a，b；t1)，即H(a，b；t)是[-1，1]上的單調(diào)增加函數(shù)．

定義2設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是HA-凸函數(shù)，對任意x，y∈[a，b]，x≤y，定義二元函數(shù)

由定理1可知，

定理2設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是連續(xù)的HA-凸函數(shù)，對任意x，y，z∈[a，b]，x≤y≤z，有

證明 利用引理1得

推論1設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是連續(xù)的HA-凸函數(shù)，則F(x，b)在[a，b]上關(guān)于x單調(diào)減少，F(xiàn)(a，y)在[a，b]上關(guān)于y單調(diào)增加．

推論2設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是連續(xù)的HA-凸函數(shù)，則對任意α，β∈[0，1]，α+β=1，任意t∈[-1，1]，任意x，y∈[a，b]，有

證明與文獻[4]推論2的證明同理，這里略去．

定義3設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是HA-凸函數(shù)，對任意x，y∈[a，b]，x≤y，定義二元函數(shù)

由定理1知E(x，y)≥0．

定理3設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是連續(xù)的HA-凸函數(shù)，則E(a，y)在[a，b]上關(guān)于y非負單調(diào)增加，E(x，b)在[a，b]上關(guān)于x非負單調(diào)減少．

證明利用引理1得

推論3 設f：[a，b]?(0，∞)→(0，∞)是連續(xù)的HA-凸函數(shù)，則對任意α，β∈[0，1]，α+β=1，任意t∈[-1，1]，任意x，y∈[a，b]，有

證明與文獻[4]推論2的證明同理，這里略去．

參考文獻

[1]WANG LIANGCHENG．On extensions of two mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities for convex functions[J]．Publikacije Elektrotehnickog Fakulteta-Serija： Matematika，2006(17)：8-17．

[2]WANG LIANGCHENG．Some refinements of Hermite-Hadamard inequalities for convex functions[J]．Publikacije Elektrotehnickog Fakulteta-Serija: Matematika，2004(15)：39-44．

[3]王良成，張強．與Hermite-Hadamard不等式相關(guān)的2個映射[J]．重慶理工大學學報(自然科學版)，2011，25(4)：102-105．

[4]時統(tǒng)業(yè)，吳涵，焦寨軍．與GA凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式相關(guān)的兩個函數(shù)[J]．貴州師范大學學報(自然科學版)，2013，31(3)：59-63．

[5]宋振云．HA-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J]．德州學院學報，2014，30(4)：16-21．

[6]陳少元．HA-凸函數(shù)及其判定與應用[J]．湖北職業(yè)技術(shù)學院學報，2014，17(2)：99-102．

[7]時統(tǒng)業(yè)，王斌．與HA-凸函數(shù)有關(guān)的若干不等式[J]．湖南理工學院學報(自然科學版)，2015，28(4)：1-5．

[8]楊軍．用單側(cè)導數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性[J]．四川師范學院學報(自然科學版)，2000，21(1)：108-109．

[9]時統(tǒng)業(yè)，尹亞蘭，鄧捷坤．(φ，ψ)凸函數(shù)及其性質(zhì)[J]．高等數(shù)學研究，2013，16(4)：13-16．

Two Functions Related to Hermite-Hadamard Type Inequality for HA-Convex Functions

SHI Tongye1， WEI Xiaoping1， WANG Bin2

(1.Department of Information， PLA Naval Command College， Nanjing 211800， China；2.DepartmentofNavigation，PLABengbuNavalPettyOfficerAcademy，Bengbu233012，China)

Abstract:A monotonically increasing convex function possessing integral form is constructed, refinements of Hermite-Hadamard type inequality for HA-convex functions are obtained, and two binary functions are generated from it. By studying their quasilinear characteristics and monotonicity, new refinements of Hermite-Hadamard type inequality for HA-convex functions are obtained.

Key words:HA-convex function; convex function; quasilinear； monotonicity; Hermite-Hadamard type inequality

收稿日期：2015-12-23

作者簡介：時統(tǒng)業(yè)(1963—)，男，河北張家口人，海軍指揮學院信息系副教授，主要研究方向：基礎數(shù)學．

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.002

中圖分類號：O178

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)02-0006-04