廖中平 劉科 向雨 蔡晨光

摘要：針對基于切片技術(shù)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)重建算法需要提取切片內(nèi)點(diǎn)云邊界點(diǎn)，及現(xiàn)有算法效率低、提取效果不好等問題，提出一種多閾值提取平面點(diǎn)云邊界點(diǎn)的算法。通過選取判斷點(diǎn)的k個(gè)近鄰點(diǎn)，計(jì)算相鄰兩點(diǎn)與判斷點(diǎn)連線間夾角，由于邊界點(diǎn)必存在最大夾角，通過判斷最大夾角是否超過設(shè)定閾值，從而快速提取邊界點(diǎn)。通過對閾值設(shè)值分析，不同點(diǎn)云數(shù)據(jù)的邊界提取實(shí)驗(yàn)及幾種方法間比較，該方法不受點(diǎn)云形狀影響，均能較好提取邊界點(diǎn)，且優(yōu)于其他3種算法。結(jié)果表明該方法在保證原始點(diǎn)云特征信息的前提下，可較好提取邊界點(diǎn)，提高后續(xù)點(diǎn)云重建速度與效率。

關(guān)鍵詞：

點(diǎn)云；邊界點(diǎn)；閾值；效率；點(diǎn)云形狀

中圖分類號(hào)： P232； TP391.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

三維激光掃描技術(shù)能快速獲取掃描對象表面的大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)，基于點(diǎn)云數(shù)據(jù)對物體進(jìn)行三維重建，已成為當(dāng)前逆向工程三維重構(gòu)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)[1-2]。采用切片技術(shù)的點(diǎn)云重建方法可將原始無序的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為具有層次結(jié)構(gòu)、有序組織形式的數(shù)據(jù)，使得對物體的重建更加有效。切片技術(shù)就是用一組平行平面沿著某一給定方向、給定間隔對三維點(diǎn)云進(jìn)行劃分，再將平面兩側(cè)的點(diǎn)云投影到平面上，從而將三維點(diǎn)云轉(zhuǎn)換為二維點(diǎn)集，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行物體表面重建[3-4]，因此，如何提取投影在平面上點(diǎn)云的邊界點(diǎn)，成為后續(xù)物體表面三維重構(gòu)的重要一步。

文獻(xiàn)[5]中，在提取平面邊界點(diǎn)時(shí)提出以判斷點(diǎn)為中心，將其鄰域采用不同的分割方法分成若干區(qū)域，再根據(jù)某一區(qū)域內(nèi)是否有散亂點(diǎn)作為判斷準(zhǔn)則來提取邊界點(diǎn)。由于每進(jìn)行一次判斷，需要將其他散亂點(diǎn)遍歷一次，導(dǎo)致運(yùn)算速度慢，效率低。文獻(xiàn)[6]中，將判斷點(diǎn)的鄰域從4個(gè)均勻區(qū)域增至8個(gè)均勻的區(qū)域，提取效果有所改善，仍不能較好提取凹陷區(qū)域邊界點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]在提取三維邊界散亂點(diǎn)云時(shí)，采用R*tree對點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)聚類劃分，依據(jù)k近鄰點(diǎn)以最小二乘法擬合該點(diǎn)集的切平面，將k個(gè)點(diǎn)投影在切平面上，再以點(diǎn)云中最大夾角與設(shè)定的閾值為依據(jù)來提取邊界點(diǎn)；但文中未對閾值大小的設(shè)置進(jìn)行分析，也未考慮平面上點(diǎn)云形狀對提取效果的影響。文獻(xiàn)[8]中，通過計(jì)算判斷點(diǎn)周邊點(diǎn)之間的夾角，采用角度標(biāo)準(zhǔn)差作為邊界點(diǎn)判斷依據(jù)來提取三維點(diǎn)云邊界點(diǎn)；但該方法對離散、分布不均勻的點(diǎn)云提取效果不理想。文獻(xiàn)[9]中，在提取保留三維邊界點(diǎn)時(shí)，將近鄰點(diǎn)投影到某一平面上，然后選取若干參考面，統(tǒng)計(jì)位于參考面兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)，以兩側(cè)點(diǎn)數(shù)之差作為判斷的標(biāo)準(zhǔn)；但該方法不適合平面點(diǎn)云邊界點(diǎn)的提取。文獻(xiàn)[10]中，采用矢量合成的思想，將判斷點(diǎn)周圍點(diǎn)構(gòu)成矢量并單位化后進(jìn)行疊加，依據(jù)疊加后的矢量的模與矢量數(shù)量的比值作為判斷準(zhǔn)則；但該算法對非均勻分布的點(diǎn)云及凹陷處的邊界點(diǎn)提取效果不理想。

以上一些算法在提取三維邊界點(diǎn)時(shí)，效果較好；但經(jīng)實(shí)驗(yàn)將其計(jì)算思想應(yīng)用在提取二維平面散亂點(diǎn)的邊界點(diǎn)時(shí)，則提取效果不理想，尤其是有凹陷的點(diǎn)云形狀邊界的提取。同時(shí)計(jì)算過程復(fù)雜、繁瑣，如文獻(xiàn)[5]需要進(jìn)行區(qū)域劃分。本文在文獻(xiàn)[7]基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于多閾值的提取平面點(diǎn)云邊界點(diǎn)算法，不需對近鄰點(diǎn)進(jìn)行區(qū)域劃分。同時(shí)對本方法中閾值的設(shè)定進(jìn)行了分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，依據(jù)本文的閾值設(shè)置原則，使用本文方法能夠較好地提取邊界點(diǎn)。

1多閾值提取平面點(diǎn)云邊界點(diǎn)的方法

1.1近鄰點(diǎn)的檢索

二維平面散亂點(diǎn)云沒有明顯的幾何分布特征，點(diǎn)與點(diǎn)之間也沒有拓?fù)潢P(guān)系，因此當(dāng)點(diǎn)云數(shù)量巨大，尋找k近鄰點(diǎn)時(shí)，有必要建立點(diǎn)云間的拓?fù)潢P(guān)系，提高搜索速度。常用方法有柵格法、八叉樹法、空間單元格法和KDtree法等[11]。由于切片面上點(diǎn)云數(shù)據(jù)量較小，且為二維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，因此采用簡單的柵格法建立點(diǎn)間的拓?fù)潢P(guān)系，提高k近鄰點(diǎn)搜索速度。柵格大小的設(shè)置與點(diǎn)云密度有關(guān)，如果設(shè)置不當(dāng)，會(huì)影響計(jì)算效率[11]。

點(diǎn)云密度ρ的估算方法如下所示。

在點(diǎn)云中隨機(jī)抽取n個(gè)點(diǎn)，對每個(gè)點(diǎn)gi（i=1，2，…，n）在點(diǎn)云中搜索距其距離最近的m個(gè)點(diǎn)，并計(jì)算每點(diǎn)到其距離Di，求其平均值即為點(diǎn)云密度估計(jì)值：

ρ=（∑ni=1∑mj=1Dji）/（n×m）（1）

依此密度值設(shè)置柵格尺寸，在獲取得到近鄰點(diǎn)后，可依據(jù)距離對近鄰點(diǎn)排序，獲得最近的k個(gè)近鄰點(diǎn)[12]。

1.2點(diǎn)集的幾何特性分析

判斷點(diǎn)P的近鄰點(diǎn)分布，若近鄰點(diǎn)偏向一側(cè)，則認(rèn)為P點(diǎn)為邊界點(diǎn)；反之若近鄰點(diǎn)均勻分布在其四周，該點(diǎn)則為內(nèi)部點(diǎn)。P點(diǎn)為內(nèi)部點(diǎn)和外部點(diǎn)的點(diǎn)集分布如圖1所示。

邊界點(diǎn)具有不確定性，即邊界點(diǎn)是否處在邊界線上，是不確定的，如圖2所示，因此，不能提取出完全與邊界一致的點(diǎn)，而只能提取出其近似邊界點(diǎn)，但要在最大限度上保留其邊界特征[5]。

1.3判斷過程

依據(jù)預(yù)測點(diǎn)云密度ρ設(shè)置柵格尺寸，獲取k個(gè)近鄰點(diǎn)。以當(dāng)前判斷點(diǎn)P為中心，分別連接各個(gè)近鄰點(diǎn)，以選定的某一方向?yàn)槠鹗挤较颍槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)到近鄰點(diǎn)所在的線上，得到k個(gè)與之對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角，如圖3所示。

2實(shí)驗(yàn)及分析

2.1實(shí)驗(yàn)說明

本文使用Leica C10三維激光掃描儀采集數(shù)據(jù)，選取5類點(diǎn)云數(shù)據(jù)，分布情況如圖5所示。其中：圖5（a）對應(yīng)具有一定弧度、近似圓形的點(diǎn)云數(shù)據(jù)；圖5（b）中則將矩形與圓形進(jìn)行組合；圖5（c）為任意多邊形點(diǎn)云數(shù)據(jù)；圖5（d）為線狀點(diǎn)與面狀點(diǎn)組合；圖5（e）中則是更加復(fù)雜的組合。其中各點(diǎn)云的點(diǎn)數(shù)及密度情況如表1所示。同時(shí)增加了文獻(xiàn)[6]、[8]、[10]對應(yīng)方法與本文方法的比較。由于各算法效率與獲得鄰近點(diǎn)方法及鄰近點(diǎn)數(shù)量有關(guān)，因此采用兩套標(biāo)準(zhǔn)比較：第1套標(biāo)準(zhǔn)中，各方法獲取鄰近點(diǎn)方法與數(shù)量相同的前提下比較，不考慮最終提取效果；第2套是在最大限度提取邊界點(diǎn)前提下比較，統(tǒng)計(jì)各種算法耗時(shí)。

2.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果

算法是在PC機(jī)配置為AMD E350 Processor 1.60GHz，內(nèi)存為3.0GB，Windows 7 32位系統(tǒng)上運(yùn)行，使用Matlab 7.0進(jìn)行編程，冒泡法進(jìn)行排序，使用本文方法分別對圖5中的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行邊界點(diǎn)的提取，均采用k=15、α0=120°的閾值，其提取的邊界點(diǎn)效果如圖6所示。表2為4種算法在第1兩套標(biāo)準(zhǔn)下耗時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，圖7中的（a）～（d）則為4種算法在第2套標(biāo)準(zhǔn)下的提取結(jié)果。其中：圖7（a）為文獻(xiàn)[6]算法提取結(jié)果，圖7（b）為文獻(xiàn)[8]算法提取結(jié)果，圖7（c）為文獻(xiàn)[10]算法提取結(jié)果，圖7（d）為本文的提取結(jié)果。

2.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由表2中的4種算法耗時(shí)可知，由于第1套標(biāo)準(zhǔn)未考慮提取效果，因此4種算法在第1種標(biāo)準(zhǔn)下耗時(shí)均少于在第2套標(biāo)準(zhǔn)下的耗時(shí)。由圖7（a）～（d）可知，本文算法與文獻(xiàn)[6]對應(yīng)的算法提取效果最好；但本文算法在提取內(nèi)部邊界點(diǎn)上要優(yōu)于文獻(xiàn)[6]算法。

在第1套標(biāo)準(zhǔn)下，4種算法均需計(jì)算獲取鄰近點(diǎn)。但文獻(xiàn)[10]矢量合成算法，只需計(jì)算矢量并求和，計(jì)算過程相比其余3種算法計(jì)算相鄰點(diǎn)間夾角要簡單；同時(shí)也少了計(jì)算鄰點(diǎn)與指定方向的夾角這一步驟，因此在不考慮提取效果的前提下效率最高；同時(shí)計(jì)算過程所占存儲(chǔ)空間最小。而文獻(xiàn)[8]角度方差法由于計(jì)算角度方差相對于夾角計(jì)算要復(fù)雜，因此效率最低。而文獻(xiàn)[6]區(qū)域劃分法由于增加對點(diǎn)距離限制條件，因此效率次于本文算法，運(yùn)行內(nèi)存也高于本文算法。而在第2套標(biāo)準(zhǔn)下，由于各算法中參數(shù)大小的改變，導(dǎo)致最后提取耗時(shí)相差較大；但本文算法效率依舊高于其余3種。

由圖6可知，在使用相同的閾值k、α0進(jìn)行邊界點(diǎn)提取，均能提取點(diǎn)云邊界點(diǎn)。其中圖6（a）～（d）提取效果相對于圖6（e）較好，圖6（e）中內(nèi)部邊界點(diǎn)遺漏較多。結(jié)果表明在點(diǎn)云密度ρ、閾值k、α0大致相同的情況下，提取效果與點(diǎn)云形狀有關(guān)。

平面多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，對于帶有弧段的多邊形，可以認(rèn)為其是無窮多邊形。對于凸多邊形，其定義為：設(shè)pi=（xi，yi）（（xi，yi）∈R2（i=1，2，…，n，且pn+1=p1））是構(gòu)成多邊形的n個(gè)頂點(diǎn)，若線段pi-1pi與pipi+1所形成的內(nèi)角（即該多邊形圍成的有界區(qū)域內(nèi)所形成的角）不大于180°，則稱點(diǎn)pi為凸點(diǎn)，否則稱為凹點(diǎn)；若n個(gè)頂點(diǎn)都是凸點(diǎn)，則稱該多邊形為凸多邊形（n≥4），用O表示[14]。其具有所有內(nèi)角均是劣角、外角均是優(yōu)角的性質(zhì)，因此對于凸多邊形的點(diǎn)云提取邊界點(diǎn)時(shí)，由于內(nèi)部點(diǎn)四周較均勻分布著離散點(diǎn)，因此設(shè)置夾角閾值α0要接近但要小于180°，則可較好保留邊界點(diǎn)。如果大于或非常接近180°，則會(huì)將位于直線上的邊界點(diǎn)忽略掉，只能提取出拐點(diǎn)處的邊界點(diǎn)，效果不好。

對于凹多邊形，由于不具有凸多邊形的外角均為優(yōu)角的性質(zhì)，因此在設(shè)置閾值時(shí)，需要依據(jù)點(diǎn)云形狀來具體設(shè)置。凹、凸多邊形的點(diǎn)云形狀如圖8所示，黑色部分為散亂點(diǎn)云分布情況。在凹多邊形中，有兩個(gè)外角β1、 β2，均是劣角。如果仍是選擇角度閾值接近180°，當(dāng)取一定數(shù)量近鄰點(diǎn)時(shí)，相鄰點(diǎn)間夾角就會(huì)均會(huì)小于180°，則會(huì)將β1、 β2頂點(diǎn)處的邊界點(diǎn)給忽略掉，因此需重新設(shè)置角度閾值。針對此種情況，本文處理方法是統(tǒng)計(jì)多邊形中凹角中劣角的個(gè)數(shù)，然后估計(jì)劣角的角度大小范圍，在此基礎(chǔ)上設(shè)置角度閾值，使其接近外角中最小的角度，該圖中β1較小，則設(shè)置的閾值應(yīng)接近β1。

2.3.1凹、凸多邊形點(diǎn)云提取實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)選取的數(shù)據(jù)是表1中（e）中所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，此點(diǎn)云形狀中，外輪廓邊界點(diǎn)云對應(yīng)凸多邊形，內(nèi)部輪廓對應(yīng)凹多邊形。根據(jù)點(diǎn)云所構(gòu)成的形狀來看，內(nèi)部輪廓中凹角中最小角度大致為45°，因此本次選取角度閾值α0=45°、60°、120°、150°、180°。同時(shí)為了研究k大小對角度設(shè)置的影響，選取了k=5，15，25進(jìn)行組合實(shí)驗(yàn)。其中在α0=45°時(shí)，在原有的k值基礎(chǔ)上，增加了k=30，35，40，50四組實(shí)驗(yàn)。其閾值與序號(hào)對應(yīng)關(guān)系如表3所示，表3與圖9存在重復(fù)表達(dá)的現(xiàn)象，故刪除表3。提取效果如圖9所示。

2.3.2結(jié)果分析

圖9中的19種提取結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了2.3節(jié)中閾值設(shè)置原則的可行性，對于該點(diǎn)云外輪廓的提取，由于外輪廓邊界點(diǎn)所構(gòu)成的形狀為凸多邊形，因此在k不斷變化時(shí)，只要α0值不是很接近或大于180°，則外輪廓邊界點(diǎn)就會(huì)較好地保留；而如果大于180°，則會(huì)將位于一條直線上的邊界點(diǎn)給忽略掉，而只保留凸角處的邊界點(diǎn)。圖9中的（d）、（i）、（n），拐角處邊界點(diǎn)保留較好，位于直線上的邊界點(diǎn)則遺漏較多。對于內(nèi)邊界點(diǎn)的提取，則角度閾值α0接近或等于45°時(shí)提取效果比較好。α0為120°、150°和180°的內(nèi)部邊界點(diǎn)遺漏嚴(yán)重，甚至沒有達(dá)到提取效果。如需兩者兼顧，同時(shí)提取外輪廓與內(nèi)邊界點(diǎn)，則需將k值增大，α0接近凹角最小角范圍，圖9（g）與圖9（l）提取效果的差別在于前者k值小于后者。同時(shí)在提取實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，α0越接近凹角最小值，則k值需相應(yīng)增加，才能提取出理想的邊界效果。由圖4的本文算法計(jì)算流程可知，k值的大小直接決定著程序的運(yùn)算量，因此在提取過程中，在保證邊界信息準(zhǔn)確的前提下，避免設(shè)置α0過小，k值過大組合的情況。如圖9（k）、（p）要達(dá)到圖9（q）的提取效果，k值由25，30增加到35，無形中增加計(jì)算量。圖9（i）相對圖9（q），較好地保留了邊界點(diǎn)；但計(jì)算量相對于圖9（k）沒有增加。同時(shí)并非k值越大，提取的效果會(huì)越好；相反有時(shí)會(huì)降低效率。圖9（r）、（s）相對圖9（q）雖k值增加，提取效果并沒提高；但計(jì)算量卻增加不少。

3結(jié)語

本文提出的基于多閾值提取二維平面點(diǎn)云邊界點(diǎn)的算法，依據(jù)最近鄰點(diǎn)閾值k與相鄰點(diǎn)夾角閾值α0對平面點(diǎn)云進(jìn)行邊界點(diǎn)提取，并對兩個(gè)閾值的設(shè)置進(jìn)行分析，也給出了凹凸多邊形的閾值設(shè)置原則。這可應(yīng)用于以后對不同情況提取邊界點(diǎn)和后續(xù)基于切片技術(shù)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)重建。由于本文未對不同點(diǎn)云密度的情況進(jìn)行研究，而點(diǎn)云密度可能影響到本文算法閾值的設(shè)置，因此在接下來的工作中會(huì)研究點(diǎn)云密度對閾值的影響，使該算法適用性更廣。

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