朱家明，高非含 ，陳嘯遠(yuǎn)，印芷水

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

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南極洲地表平均溫度的定量分析

朱家明，高非含 ，陳嘯遠(yuǎn)，印芷水

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

摘要：針對(duì)如何定義并評(píng)估區(qū)域平均地表溫度的問(wèn)題，使用了MATLAB、EXCEL等軟件，分別建立極限區(qū)域平均地表溫度模型、三維插值模型和多項(xiàng)式擬合模型，從而得出了南極洲從2001—2015年平均地表溫度值以及其與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式。緊接著根據(jù)得出的溫度與時(shí)間的關(guān)系對(duì)未來(lái)近5年進(jìn)行了預(yù)測(cè)，以便更好地掌控未來(lái)溫度信息，做出及時(shí)的應(yīng)對(duì)措施。

關(guān)鍵詞：南極洲；地表平均溫度；氣候變暖

0引言

有專(zhuān)家測(cè)算南極洲近15年的平均地表溫度有下降趨勢(shì)的結(jié)論[1]。緊接著還對(duì)南極洲未來(lái)近5年的平均地表溫度進(jìn)行簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)，以便更好地掌控未來(lái)溫度信息，本文旨在尋找南極洲地表平均溫度的趨勢(shì)來(lái)估計(jì)全球是否變暖并建立了區(qū)域極限平均地表溫度模型(詳見(jiàn)2015年小美賽數(shù)學(xué)建模B題)。

1地表溫度的評(píng)價(jià)結(jié)果

1.1研究思路

我們建立了三維插值模型對(duì)新定義的平均地表溫度進(jìn)行求解，得出了南極洲從2001—2015年間的平均地表溫度值定義并評(píng)估平均地表溫度。依據(jù)理想平均地表溫度計(jì)算公式，并結(jié)合極限思想建立了連續(xù)離散化地表溫度模型，對(duì)平均地表溫度進(jìn)行了新的定義。緊接著，我們建立了三維插值模型對(duì)新定義的平均地表溫度進(jìn)行求解，得出了南極洲從2001—2015年間的平均地表溫度值，建模流程如圖1。

圖1　求解平均地表溫度思路流程圖

1.2數(shù)據(jù)處理

據(jù)英國(guó)南極調(diào)查網(wǎng)站整理的數(shù)據(jù)，理想化的情況下可將區(qū)域地表平均溫度積分并與面積作比，而在實(shí)際計(jì)算中,一定區(qū)域內(nèi)的溫度一般由若干個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)得到的離散數(shù)據(jù)，不是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 所以我們建立連續(xù)離散化模型，通過(guò)三維插值進(jìn)行求解。

為更好地對(duì)南極洲所在區(qū)域有限的考察站的溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行樣條插值，需要對(duì)南極洲進(jìn)行直角坐標(biāo)系的建立，并對(duì)各南極考察站進(jìn)行坐標(biāo)表示。在此過(guò)程中我們打算將球面上的南極洲視為平面。通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜集南極洲的平面地圖，建立平面直角坐標(biāo)系，見(jiàn)下圖2所示。

圖2　南極洲考察站示意圖

利用軟件電子尺對(duì)圖2中的各個(gè)考察站在平面直角坐標(biāo)系的位置進(jìn)行測(cè)量得到它們的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并結(jié)合圖中所給的比例尺進(jìn)行實(shí)際距離的換算，測(cè)量結(jié)果和換算結(jié)果見(jiàn)下表1所示。

表1　考察站位置坐標(biāo)數(shù)據(jù)

結(jié)合表1中的實(shí)際坐標(biāo)數(shù)據(jù)，運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的各個(gè)考察站進(jìn)行標(biāo)示，標(biāo)示結(jié)果見(jiàn)下圖3所示。

圖3　各個(gè)考察站坐標(biāo)標(biāo)示

2極限區(qū)域地表平均溫度模型

2.1研究思路

據(jù)英國(guó)南極調(diào)查網(wǎng)站整理的數(shù)據(jù)，理想化的情況下可將區(qū)域地表平均溫度積分并與面積作比，而在實(shí)際計(jì)算中，一定區(qū)域內(nèi)的溫度一般是由若干個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)得到的離散數(shù)據(jù)，不是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 所以我們建立極限區(qū)域平均溫度模型，通過(guò)三維插值進(jìn)行求解。

2.2模型建立

(1)

在實(shí)際計(jì)算中區(qū)域Φ內(nèi)的溫度一般是由若干個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)得到的離散數(shù)據(jù)，不是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，區(qū)域Φ的溫度不能都由觀(guān)測(cè)點(diǎn)體現(xiàn)，因此區(qū)域Φ內(nèi)的理想平均溫度不可因此求得。

對(duì)于離散的觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，如果觀(guān)測(cè)點(diǎn)的數(shù)量很多，有i個(gè)。當(dāng)i趨于無(wú)窮大時(shí)，那么對(duì)Φ內(nèi)的i個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的溫度T(r，t)進(jìn)行加總并與區(qū)域Φ的面積S作比值，就得到了該區(qū)域Φ的平均溫度計(jì)算公式：

(2)

由于觀(guān)測(cè)點(diǎn)i是無(wú)窮大的，可理解成區(qū)域內(nèi)每個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)所占的面積是無(wú)窮小的。設(shè)△Ti(t) 為面積大小為△的第i個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的溫度，當(dāng)面積△趨于無(wú)窮小時(shí)，將區(qū)域Φ內(nèi)的i個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的溫度進(jìn)行加總并與區(qū)域Φ的面積作比值，就得到了該區(qū)域Φ的平均地表溫度計(jì)算公式：

(3)

3三維插值模型

3.1研究思路

針對(duì)上述區(qū)域Φ的平均溫度求解公式(3)，我們知道需要盡可能多的觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，這樣才能使每個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)所占的面積盡可能地小。在現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)某個(gè)區(qū)域各個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)采集量是有限的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)無(wú)法用于公式(3)來(lái)對(duì)該地區(qū)的平均溫度進(jìn)行計(jì)算?，F(xiàn)在需要通過(guò)區(qū)域內(nèi)有限個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)地表溫度數(shù)據(jù)得到區(qū)域內(nèi)盡可能多的地表溫度數(shù)據(jù)。我們可以利用軟件MATLAB對(duì)該區(qū)域已有的有限個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的的數(shù)據(jù)進(jìn)行三維插值[3]，建立三維插值模型，進(jìn)而得到該區(qū)域內(nèi)足夠多的數(shù)據(jù)。

3.2模型建立

通過(guò)使插值點(diǎn)間斷盡可能小的方法進(jìn)行插值，這樣就能得到該區(qū)域內(nèi)極小面積內(nèi)所對(duì)應(yīng)的地表溫度值。假設(shè)有N個(gè)極小區(qū)域面積所對(duì)應(yīng)的地表溫度數(shù)據(jù)，記作△Ti(t)。從而就可以對(duì)這N個(gè)極小區(qū)域面積所對(duì)應(yīng)的地表溫度數(shù)據(jù)△Ti(t)進(jìn)行加總并與區(qū)域面積作比值，這樣便得到了新的區(qū)域平均溫度估算公式：

(4)

公式(4)中的N是通過(guò)設(shè)置極小間斷進(jìn)行三維插值得到的區(qū)域觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)量，是個(gè)很大的數(shù)量。這樣在允許的誤差范圍內(nèi)，公式(4)就能對(duì)公式(3)進(jìn)行數(shù)值上的估算。

3.3模型求解結(jié)果

2001—2003年插值結(jié)果見(jiàn)下圖4所示。

圖4　2001-2003年地表平均溫度插值結(jié)果

在上述圖4中，左側(cè)的三維曲面表示區(qū)域溫度的起伏狀況，右側(cè)是三維地表溫度的俯視圖像，其中的‘*’表示南極洲上的各個(gè)考察站。在圖中，冷色區(qū)域代表的地表溫度要低于暖色區(qū)域所代表的地表溫度，從而可以看出南極洲的平均地表溫度有高有低，存在著較大的地理區(qū)域差異性。

同樣，做出2004—2015年南極洲平均地表溫度的三維插值圖，見(jiàn)下圖5～圖8所示。

圖7　2010—2012地表平均溫度插值結(jié)果　　圖8　2013—2015地表平均溫度插值結(jié)果

4多項(xiàng)式擬合模型

4.1研究思路

要描述南極地區(qū)地表溫度和時(shí)間之間的情況,首先需要對(duì)從2001—2015年南極地區(qū)的地表溫度進(jìn)行分析，找出地表溫度與年份之間的關(guān)系。

運(yùn)用軟件MATLAB表1據(jù)進(jìn)行散點(diǎn)圖繪畫(huà)，年份與平均地表溫度間的散點(diǎn)關(guān)系見(jiàn)下圖9所示。

圖9　年份與平均地表溫度間的散點(diǎn)關(guān)系

通過(guò)上圖發(fā)現(xiàn)時(shí)間與地表溫度間大致呈現(xiàn)出多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系，所以可對(duì)散點(diǎn)之間進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。以(年份-2000)為自變量X，地表溫度為因變量Y分別進(jìn)行一至四次多項(xiàng)式擬合：

一次多項(xiàng)式擬合：Y1=ax+b

(5)

二次多項(xiàng)式擬合：Y2=a2x2+a1x+b

(6)

三次多項(xiàng)式擬合：Y3=a3x3+a2x2+a1x+b

(7)

四次多項(xiàng)式擬合：Y3=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+b

(8)

為了能夠更好地反映地表溫度與時(shí)間之間的關(guān)系，應(yīng)對(duì)上述多項(xiàng)式進(jìn)行誤差計(jì)算。設(shè)時(shí)間所對(duì)應(yīng)的真實(shí)地表溫度值為Y，根據(jù)擬合出來(lái)的多項(xiàng)式計(jì)算出來(lái)的地表溫度值為Yi(i=1，2，3，4)。計(jì)算真實(shí)值與計(jì)算值間的離差平方和，選取離差平方和最小所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式。其中，離差平方和計(jì)算公式為：

(9)

運(yùn)用軟件MATLAB對(duì)表1的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行一至四次多項(xiàng)式擬合，擬合結(jié)果和各自的離差平方和見(jiàn)下表2所示。

表2　擬合結(jié)果和各自的離差平方和

由上表可以看出三次多項(xiàng)式和四次多項(xiàng)式的離差平方和都比較小，下面運(yùn)用軟件MATLAB畫(huà)出二者和實(shí)際數(shù)據(jù)的圖像，見(jiàn)下圖10所示。

圖10　擬合圖

雖然四次多項(xiàng)式的離差平方和小于三次多項(xiàng)式離差平方和，但是從上述圖中可以看出，四次多項(xiàng)式的最終趨勢(shì)是上升的，在未來(lái)的近幾年會(huì)達(dá)到很高的溫度，這不符合南極地區(qū)未來(lái)的地表氣溫狀況，故舍去四次多項(xiàng)式，最終選擇三次多項(xiàng)式作為2001—2015年間南極地表溫度和時(shí)間之間關(guān)系表達(dá)式。

y3=-0.0038x3+0.830x2-0.4120x-26.2556

(10)

通過(guò)上述公式(10)，可以簡(jiǎn)單地對(duì)南極洲未來(lái)幾年的地表平均溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)。取P液，可以得到未來(lái)2016年、2017年、2018年、2019年和2020年南極洲的平均地表溫度。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表3所示。

表3　2016年～2020年預(yù)測(cè)溫度

表3的結(jié)果反映了南極洲未來(lái)5年的平均地表溫度呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，由此可以分析：全球變暖的現(xiàn)象日趨嚴(yán)重，該結(jié)論正與全球變暖引起極地冰雪融化并吸收熱量，從而導(dǎo)致地表平均溫度逐年下降的物理現(xiàn)象相吻合。

5結(jié)語(yǔ)

我們建立了三維插值模型，通過(guò)設(shè)置極小間斷進(jìn)行三維插值得到的區(qū)域觀(guān)測(cè)點(diǎn)數(shù)量，是個(gè)很大的數(shù)量。這樣在允許的誤差范圍內(nèi)，進(jìn)行數(shù)值上的估算。這近15年南極洲平均地表溫度大致在-25攝氏度～-27攝氏度范圍內(nèi)，且呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。最后建立了多項(xiàng)式擬合模型，對(duì)南極洲平均地表溫度和時(shí)間之間的關(guān)系進(jìn)行了分析，得出未來(lái)近5年南極平均地表溫度也有下降趨勢(shì)的結(jié)論。

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[責(zé)任編輯：崔海瑛]

作者簡(jiǎn)介：朱家明(1973-)，男，安徽泗縣人，副教授，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室主任，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目(201410378192)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301001)；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目(acjyzd201429)。

中圖分類(lèi)號(hào)：O119

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-0063(2016)03-0009-05

收稿日期：2015-12-24

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.03.003