李綺文 丁婷 丁圣果

摘要：應(yīng)用奇異函數(shù)能量法或靜力法可較方便計(jì)算壓桿的臨界失穩(wěn)荷載P_cr，包括在各種邊界約束條件下的連續(xù)多跨壓桿，對(duì)于變截面壓桿，無(wú)論是分段凸變截面還是連續(xù)變截面，采用基于奇異函數(shù)的能量法計(jì)算臨界力較靜力法更為簡(jiǎn)便，采用不同振型函數(shù)所得算計(jì)算結(jié)果相差在±5%范圍，用以估計(jì)臨界力的上限值是工程上可接受的。

關(guān)鍵詞：奇異函數(shù)；能量法；靜力法；臨界荷載

中圖分類(lèi)號(hào)：TU311

1.引言

不同邊界約束條件下連續(xù)壓桿的臨界荷載是工程上廣泛關(guān)注的問(wèn)題，對(duì)壓桿臨界荷載分析計(jì)算的經(jīng)典方法是靜力法，但因邊界支承條件的復(fù)雜而難于建立相應(yīng)的超越方程。基于臨界失穩(wěn)狀態(tài)的能量特征的能量法近年來(lái)得到較廣泛應(yīng)用，但對(duì)于復(fù)雜體系而言以能量原理建立數(shù)力模型仍十分冗繁。借助計(jì)算機(jī)高速數(shù)值分析能力的有限單元法是工程上分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)臨界失穩(wěn)力的有效方法，但因編程與結(jié)構(gòu)體系物理特性相關(guān)，（如一階線性分析或帶初始缺陷的非線性分析），計(jì)算程序的編制仍難于為工程技術(shù)人員接受。對(duì)基于變分或差分原理對(duì)復(fù)雜穩(wěn)定問(wèn)題建立起的基本方程組，一些研究人員采用漸近法求解，其中文獻(xiàn)采用了拓?fù)湎嗨评碚摫平鼜?fù)雜體系臨界荷載的方法上較為新穎。

將奇異函數(shù)用于連續(xù)變截面壓桿穩(wěn)定問(wèn)題的研究目前尚不多見(jiàn)，奇異函數(shù)因其所具有的表征非連續(xù)量的強(qiáng)大功能，在結(jié)構(gòu)分析的許多領(lǐng)域已得到成功應(yīng)用。由于變截面壓桿和有中間支承的連續(xù)壓桿，其截面特性及受力特性的間斷行為易于用奇異函數(shù)表征，基于此，我們提出應(yīng)用基于奇異函數(shù)的靜力法和能量法分析變截面連續(xù)壓桿的一階臨界荷載的方法，不同算例的計(jì)算結(jié)果表明這方法用于連續(xù)壓桿臨界荷載的分析計(jì)算是便捷可靠的。

2.計(jì)算等截面連續(xù)壓桿臨界荷載的靜力法

壓彎桿（圖1）的壓曲微分方程生的彎矩，（1）式的解函數(shù)y（x）即為不同支座形式的連續(xù)壓桿（圖1）在軸向壓力P作用下的壓曲方程：

（2）式右邊前兩項(xiàng)為撓曲微分方程（1）的齊次通解，其中y₀，y^'₀為左端0支座處的桿端初撓度和初轉(zhuǎn)角，（2）式后兩項(xiàng)為撓曲微分方程（1）的非齊次特解，m₀為左端嵌固或定向滑動(dòng)時(shí)該端的彎矩。y（x0為中間支座j反力引起的撓曲函數(shù)項(xiàng)，當(dāng)中間支座為支桿時(shí)，支反力R_j產(chǎn)生的y_j（x）可用奇跡異函數(shù)表示成：

在（2）式中，y₀，y^'₀，m₀，R_j，m_j（j=1，2，…n-1）均為表征壓桿位移和力邊界條件的待定常數(shù)，但在穩(wěn)定問(wèn)題分析中，這些常數(shù)并不必求出。根據(jù)壓桿端部及中間支座處隱含的邊界條件，可由（2）式建立使屈曲函數(shù)恒不為零的齊次線性方程組y（x_j）；0（j=1，2…），方程個(gè)數(shù)與待定常數(shù)個(gè)數(shù)相同，根據(jù)齊次線性方程組非零解條件，令方程組中待定常數(shù)的系數(shù)行列式|D|=0為零，即得求k的方程，臨界荷載含在k中。一般情況下，未知量k的方程均為超越方程。

以圖2a所示壓桿（EI=常數(shù)）為例，桿左端嵌固，因此有y₀=0，y^'₀=0，按（2）式桿的壓曲方程為：

穩(wěn)定問(wèn)題的超越方程可用漸近法求解，編程十分簡(jiǎn)單，在我們的編程計(jì)算中，變量x的漸變步長(zhǎng)取10^-5，控制精度<10^-3。由（f）式解得：

其中Y（x）為桿的壓曲試函數(shù)。

I（x）表明截面慣性矩可隨位置x變化，無(wú)論桿段上I（x）分段突變還是連續(xù)變化，采用奇異函數(shù)方法表示I（x）均十分方便，因此對(duì)于變截面壓桿，采用能量法計(jì)算P^cr是適合的。例如對(duì)于圖4的變截面桿，其慣矩I（x）可表示為：

4.結(jié)論

4.1奇異函數(shù)因具備表達(dá)非連續(xù)物理量的強(qiáng)勁功能在經(jīng)典力學(xué)中已得到廣泛應(yīng)用，采用奇異函數(shù)靜力法或能量法，均能較便捷地計(jì)算連續(xù)壓桿的臨界失穩(wěn)荷載P^cr。

4.2對(duì)于變截面梁，無(wú)論其慣性矩I隨截面位置x連續(xù)變化還是分段突變，用能量法求解十分方便。所涉及的屈曲函數(shù)只須滿足梁端邊界條件，表一給出不同邊界條件的各種梁的壓屈函數(shù)可供計(jì)算P^cr時(shí)使用，采用不同壓屈函數(shù)Y（x）所得結(jié)果相差在±3%范圍。

4.3基于臨界失穩(wěn)狀態(tài)的勢(shì)能泛函極值原理，采用能量法所得結(jié)果為臨界力P^cr的上限解，與精確解的誤差一般不大干5%。