李　晶， 曹登慶， 劉紹奎， 余天虎， 王慶洋

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱　150001； 2.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京　100094)

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基于解析模態(tài)分解和希爾伯特變換的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)新方法

李晶1， 曹登慶1， 劉紹奎2， 余天虎1， 王慶洋1

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱150001； 2.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京100094)

摘要：針對(duì)航天器結(jié)構(gòu)低頻、密頻的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)問題，提出一種將解析模態(tài)分解(AMD)與希爾伯特變換(HT)相結(jié)合的模態(tài)辨識(shí)方法(AMD+HT)，根據(jù)結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)的脈沖響應(yīng)信號(hào)，對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的頻率和模態(tài)阻尼比進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。以箱型衛(wèi)星模型為例，分別對(duì)固定狀態(tài)下衛(wèi)星帆板和衛(wèi)星整體結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)進(jìn)行模態(tài)辨識(shí)，并與LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)分析結(jié)果和ANSYS有限元仿真結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該方法對(duì)低頻、密頻結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識(shí)的正確性和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：解析模態(tài)分解(AMD)；希爾伯特變換(HT)；低頻；密頻；模態(tài)阻尼比

隨著航天科學(xué)技術(shù)研究的深入，航天器體積和結(jié)構(gòu)則趨于大型化和復(fù)雜化[1]，并且為了追求較大的運(yùn)載能力，航天器的制作材料大多采用輕質(zhì)、超薄的材料，這就造成了航天器結(jié)構(gòu)往往呈現(xiàn)密頻、低頻及小阻尼等特性[2], 這些特征給航天器結(jié)構(gòu)模態(tài)特征的準(zhǔn)確辨識(shí)帶來了較大的困難。因此，有必要發(fā)展一種針對(duì)上述情況的新的參數(shù)辨識(shí)技術(shù)，為現(xiàn)代航天器結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供相關(guān)的技術(shù)支持和理論依據(jù)。

不考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性、材料非線性等因素，我們可以把結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)，便可以利用模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。至于線性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法，主要可以分為時(shí)域法和頻域法，二者分別從時(shí)域和頻域的角度入手，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)[3]。隨著模態(tài)辨識(shí)技術(shù)的不斷發(fā)展，又興起了一種時(shí)頻聯(lián)合分析的模態(tài)辨識(shí)技術(shù)，這種辨識(shí)方法綜合了頻域法和時(shí)域法的優(yōu)點(diǎn)，逐漸地成為現(xiàn)代模態(tài)實(shí)驗(yàn)中廣泛采用的辨識(shí)方法[4-5]。希爾伯特-黃變換(HHT)是由Huang等[6]提出的一種分析非線性非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合分析方法，HHT由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)和希爾伯特變換(HT)組成。將HHT應(yīng)用于線性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)也已經(jīng)開展了較多的工作。Yang等[7]利用HHT對(duì)多自由度系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，通過辨識(shí)給出了系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣等信息。Chen等[8]利用HHT方法對(duì)于在臺(tái)風(fēng)作用下的香港青馬大橋進(jìn)行了實(shí)時(shí)的模態(tài)實(shí)驗(yàn)，獲得了結(jié)構(gòu)的各階固有頻率以及模態(tài)阻尼比，取得了較好的效果，從實(shí)驗(yàn)的角度再次驗(yàn)證了HHT對(duì)于線性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的有效性。陳雋等[9]針對(duì)具有密集模態(tài)的系統(tǒng)，探討了HHT的辨識(shí)效果，得到了HHT對(duì)于在一定程度模態(tài)密集的系統(tǒng)具有良好的辨識(shí)效果的結(jié)論。HHT雖然是一種高效、準(zhǔn)確的辨識(shí)方法，但是EMD分解也存在一定的問題，比如難于處理密集模態(tài)所產(chǎn)生的頻率混疊效應(yīng)，以及難以處理窄帶信號(hào)和區(qū)分間歇性波動(dòng)等問題。針對(duì)EMD方法存在的問題，Chen等[10]提出了一種解析模態(tài)分解(AMD)方法，此種方法與EMD具有相似的功能，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)于多組份信號(hào)進(jìn)行分解，并且在一定程度上能夠?qū)︻l率混疊、窄帶信號(hào)以及信號(hào)間歇性波動(dòng)進(jìn)行較好的處理。

本文將解析模態(tài)分解(AMD)方法與HT方法結(jié)合，提出了基于解析模態(tài)分解和希爾伯特變換(AMD+HT)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)新方法，利用脈沖響應(yīng)信號(hào)對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的頻率和模態(tài)阻尼比進(jìn)行模態(tài)識(shí)別。設(shè)計(jì)并制作了箱型衛(wèi)星模型，將AMD+HT法分別應(yīng)用于的部件和整體的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，并與LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)分析結(jié)果和ANSYS有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)低頻，密頻的準(zhǔn)確辨識(shí)，驗(yàn)證了AMD+HT參數(shù)辨識(shí)方法的有效性。

1基本理論

1.1解析模態(tài)分解(AMD)

設(shè)某個(gè)信號(hào)x(t)包含n個(gè)單頻組份，且每個(gè)單組份對(duì)應(yīng)的固有頻率為ωi，則有二分頻率ωbi∈(ωi,ωi+1)(i=1,2,3,…,n-1)。每個(gè)二分頻率ωbi可以將信號(hào)分為兩部分，如圖1。則信號(hào)可以表示成：

圖1　二分頻率示意圖Fig.1 The diagram of frequency decomposition

(1)

其中：

si(t)=sin(ωbit)H[x(t)cos(ωbit)]-

cos(ωbit)H[x(t)sin(ωbit)]

(i=1,2,…,n-1)

(2)

因此信號(hào)x(t)可以寫成由n個(gè)單組份組成的形式：

(3)

且有以下表達(dá)式：

(4)

式中：s0(t)=0。

1.2利用脈沖響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)識(shí)別

根據(jù)模態(tài)疊加法，離散多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)均可以通過解耦，得到解耦的動(dòng)力學(xué)方程：

(5)

式中:ζj為第j階模態(tài)阻尼比，mj為第j階主質(zhì)量，Φj為第j階模態(tài)矢量，Qj(t)=F0δ(t)φj(x0)為作用在x=x0處的單位脈沖力矢量。

以連續(xù)系統(tǒng)為例，根據(jù)杜哈梅積分求解方程零初始條件的穩(wěn)態(tài)解，即第j階模態(tài)坐標(biāo)的位移響應(yīng)為：

(6)

(7)

式中：φj為在第j階模態(tài)中任意一點(diǎn)x=x0處的相位差，且有：

φj(x)/φj(x0)>0當(dāng)φ=±2mπ

φj(x)/φj(x0)<0當(dāng)φ=±2(m+1)π

從式(7)可以看出，位移信號(hào)是由單頻調(diào)幅簡(jiǎn)諧波組成的，通過AMD可以對(duì)其進(jìn)行分解，獲得單組份信號(hào)，以及瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，然后再進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。

可將式(7)的單組份信號(hào)寫成：

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行Hilbert變換得到:

(9)

并構(gòu)造解析函數(shù)：

(10)

得到瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)相位角：

(11)

則有：

(12)

利用式(12)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，分別得到相應(yīng)的斜率值k1j、k2j。注意到：

(13)

由此可計(jì)算出系統(tǒng)的各階固有頻率和相應(yīng)的模態(tài)阻尼比：

(14)

因此由AMD+HT參數(shù)辨識(shí)方法，僅根據(jù)結(jié)構(gòu)一點(diǎn)的位移響應(yīng)就可以計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的各階固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)阻尼比。

至此，我們可以總結(jié)使用AMD+HT方法辨識(shí)系統(tǒng)前r階頻率與模態(tài)阻尼比的步驟主要為：

(1) 采集系統(tǒng)上任意一點(diǎn)的脈沖響應(yīng)信號(hào)；

(2) 對(duì)采集的信號(hào)做頻譜分析，提取出需要分析的前r階頻率；

(3) 對(duì)采集的信號(hào)做低通濾波，獲得一組新的信號(hào)；

(4) 取二分頻率，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行AMD分解；

(5) 將低通濾波后得到的新的信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換，得到各階單模態(tài)的瞬時(shí)幅值；

(6) 對(duì)經(jīng)過變換得到的各階單模態(tài)瞬時(shí)幅值做線性最小二乘擬合，得到該線性擬合函數(shù)的斜率，通過式(14)即能得出各階頻率及相應(yīng)的模態(tài)阻尼比。

2箱型衛(wèi)星AMD+HT參數(shù)辨識(shí)實(shí)例

為驗(yàn)證本文提出的參數(shù)辨識(shí)方法的有效性，設(shè)計(jì)并制作了帶兩個(gè)柔性太陽翼的箱型衛(wèi)星模型，模型尺寸和實(shí)物圖見圖2。衛(wèi)星結(jié)構(gòu)全部采用5026鋁合金板材制成，材料的彈性模量E=6.89×1010Pa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2 680 kg/m3。

圖2　箱型衛(wèi)星模型的示意圖和實(shí)物圖Fig.2 Diagram and photo of the satellite model

利用激光位移傳感器采集結(jié)構(gòu)的位移信號(hào)，采樣頻率為500 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)為131 s。將所獲得的信號(hào)導(dǎo)入MATLAB中，將原始信號(hào)做低通濾波，再將濾波后的信號(hào)用AMD+HT方法處理，根據(jù)式(14)計(jì)算得出結(jié)構(gòu)的各階固有頻率與模態(tài)阻尼比，并將該結(jié)果與LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)分析的結(jié)果和有限元計(jì)算的結(jié)果分別進(jìn)行比較。

2.1衛(wèi)星帆板模態(tài)辨識(shí)

首先以衛(wèi)星帆板為例，將一側(cè)的衛(wèi)星帆板一端固定約束如圖3，利用激光位移傳感器對(duì)板上任意一點(diǎn)采集位移信號(hào)，所得到的時(shí)間歷程曲線以及頻譜曲線如圖4。圖5是經(jīng)過AMD+HT分解后懸臂板的單模態(tài)信號(hào)以及頻譜圖，從分解后的單模態(tài)頻譜圖上，可以看到前三階頻率分別在0～5 Hz、10～15 Hz、15～20 Hz之間。圖6為對(duì)懸臂板各階單模態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值的最小二乘曲線擬合。根據(jù)式(14)計(jì)算可得出帆板前三階固有頻率與模態(tài)阻尼比。通過與LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的分析結(jié)果相比較(見表1)可以看出，AMD+HT辨識(shí)的固有頻率與LMS實(shí)驗(yàn)值和ANSYS計(jì)算值對(duì)比，結(jié)果均較為理想，固有頻率的相對(duì)誤差都在2%以內(nèi)。AMD+HT辨識(shí)的模態(tài)阻尼比的結(jié)果與LMS實(shí)驗(yàn)值對(duì)比的相對(duì)誤差也都在3%以內(nèi)。綜上所述，AMD+HT方法可以有效辨識(shí)結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)阻尼比。

圖3　箱型衛(wèi)星帆板實(shí)驗(yàn)裝置Fig.3 Experiment device of a single panel

圖4　采樣點(diǎn)的時(shí)間歷程曲線和頻譜曲線Fig.4 Time history and frequency spectrum curves of sampling point

圖5　經(jīng)過AMD分解后的單模態(tài)信號(hào)和頻譜圖Fig.5 Single mode signal and frequency spectrum after AMD

圖6　單模態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)相位的曲線擬合Fig.6 Fitted curve of the transient amplitude and transient phase of single mode signal

階數(shù)固有頻率/HzAMD+HTLMS誤差/%ANSYS誤差/%模態(tài)阻尼比AMD+HTLMS誤差/%11.6841.6870.181.6840.000.002300.002300.00211.56511.5850.1711.4161.290.001800.001821.10317.91517.9920.4318.2171.690.000920.000902.22

2.2衛(wèi)星整體的密頻模態(tài)辨識(shí)

以衛(wèi)星整體為例，如圖7所示，將衛(wèi)星中心箱體置于EPE珍珠棉的彈性支撐上。使用ANSYS 計(jì)算得到結(jié)構(gòu)前三階頻率分別為1.582 5 Hz、1.655 0 Hz和6.669 7 Hz，根據(jù)陳德成等[11]提出的頻率密集組定義，可計(jì)算出前兩階頻率組的分散度為μ=0.029，可以看成一個(gè)密頻組。

圖7　箱型衛(wèi)星實(shí)驗(yàn)裝置Fig.7 Experiment device of the satellite model

利用激光位移傳感器采集板上任意一點(diǎn)的位移信號(hào)。如圖8，從位移時(shí)間歷程曲線中可以看出，衛(wèi)星整體的位移響應(yīng)呈現(xiàn)“拍”的現(xiàn)象，由位移頻譜曲線可知結(jié)構(gòu)1、2階頻率較為密集。圖9是經(jīng)過AMD+HT分解后的單模態(tài)信號(hào)以及頻譜圖，可以看到這兩個(gè)頻率均位于1.5～1.7 Hz之間。圖10是對(duì)各階單模態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值的最小二乘曲線擬合。根據(jù)式(14)計(jì)算得出帆板前兩階固有頻率與模態(tài)阻尼比。結(jié)果對(duì)比見表2，可以看出，AMD+HT辨識(shí)方法可以準(zhǔn)確的辨識(shí)出衛(wèi)星整體低階頻率的一個(gè)密頻組，與LMS實(shí)驗(yàn)值和ANSYS計(jì)算結(jié)果對(duì)比均較為理想，相對(duì)誤差都在1%以內(nèi)，模態(tài)阻尼比的辨識(shí)結(jié)果與LMS實(shí)驗(yàn)值對(duì)比的相對(duì)誤差也都在1%以內(nèi)。說明AMD+HT方法可以有效辨識(shí)密頻結(jié)構(gòu)的模態(tài)值。

表2　衛(wèi)星整體固有頻率及模態(tài)阻尼比的識(shí)別結(jié)果比較

圖8　采樣點(diǎn)的時(shí)間歷程曲線和頻譜曲線Fig.8 Time history and frequency spectrum curves of sampling point

圖9　經(jīng)過AMD分解后的單模態(tài)信號(hào)和頻譜圖Fig.9 Single mode signal and frequency spectrum after AMD

圖10　單模態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)相位的曲線擬合Fig.10 Fitted curve of the transient amplitude and transient phase of single mode signal

3結(jié)論

HT變換是研究線性及非線性動(dòng)力系統(tǒng)特性的一種實(shí)用方法，適用于處理非線性及非平穩(wěn)信號(hào)，但只能應(yīng)用于單一成分的信號(hào)，而AMD可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多組份信號(hào)的分解，并且在一定程度上能夠避免出現(xiàn)EMD方法存在的問題。因此本文提出了解析模態(tài)分解(AMD)和希爾伯特變換(HT)相結(jié)合的模態(tài)參數(shù)識(shí)別新方法(AMD+HT)?？蓱?yīng)用于頻率成分復(fù)雜的線性及非線性離散多自由度系統(tǒng)或連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。

本文以箱型衛(wèi)星為例，采用該方法分別對(duì)衛(wèi)星帆板和衛(wèi)星整體的固有頻率和模態(tài)阻尼比進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，并與LMS數(shù)據(jù)采集分析結(jié)果和ANSYS有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明：AMD+HT方法識(shí)別的系統(tǒng)固有頻率以及模態(tài)阻尼比具有較高的精度，可以有效地處理低頻和密頻的問題，是一種很有潛力的時(shí)頻域模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(91216106)

收稿日期：2014-10-13修改稿收到日期：2014-12-30

通信作者曹登慶 男，博士，教授，1958年5月生

中圖分類號(hào):V41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.007

A new method for modal parameter identification based on analytical modal decomposition and Hilbert transformation

LI Jing1, CAO Deng-qing1, LIU Shao-kui2, YU Tian-hu1, WANG Qing-yang1

(1. The School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2. China Academy of Space Technology, Beijing 100094, China)

Abstract:In order to identify modal parameters of spacecraft structures with low frequencies and closely spaced modes, a new identification method based on analytical modal decomposition (AMD) and Hilbert transformation (HT) was proposed. The modal frequencies and modal damping ratios of a structure were obtained with its impulse responses at any point. A satellite model composed of a central rigid body and two panels was taken as a typical example of spacecraft structures. The low-order modal parameters of a single panel and the satellite model under fixed boundary conditions were identified using this method. The comparison between the results obtained with this method and those obtained with tests and other simulation methods showed that the new proposed method is valid, especially, for spaceraft structures with low frequencies and closely spaced modes.

Key words:analytical modal decomposition (AMD); Hilbert transformation (HT); low frequency; closely spaced modes; modal damping ratio

第一作者 李晶 女，碩士，1990年1月生