李宏坤， 何德魯， 張志新，任遠杰，叢　明

(1.大連新宇理工科技開發(fā)中心有限公司,大連　116024;2.大連理工大學 機械工程學院,大連　116024; 3.大連大學 機械學院,大連　116622)

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基于狀態(tài)空間模型的可靠性評估方法

李宏坤1,2， 何德魯1,2， 張志新3，任遠杰1,2，叢明1,2

(1.大連新宇理工科技開發(fā)中心有限公司,大連116024;2.大連理工大學 機械工程學院,大連116024; 3.大連大學 機械學院,大連116622)

摘要：基于設備性能退化特征的可靠性分析是可靠性技術研究重要方向之一，當前許多研究是基于多樣本進行分析。針對單個設備的可靠性預測問題非常有限，提出基于狀態(tài)空間模型的可靠性方法進行小樣本預測。首先通過在線監(jiān)測技術獲得反映設備狀態(tài)的信號，運用小波分析方法提取監(jiān)測信號的小波包能量，選取趨勢明顯符合設備狀態(tài)變化的相關頻帶能量作為設備退化指標。然后對這些特征指標進行滑動平均濾波處理，提高退化特征的信噪比，將其作為狀態(tài)空間模型的輸入對模型參數進行估計，從而建立退化指標的狀態(tài)空間預測模型，最后預測退化指標的概率分布并計算可靠度。結合滾動軸承試驗數據和銑刀磨損數據驗證方法的準確性和有效性，為小樣本事件的可靠性預測提供一個有效方法。

關鍵詞：可靠性預測；狀態(tài)空間模型；特征提??；小波分析；滑動平均

對運行的設備進行可靠性預測，能夠讓操作者實時、準確、直觀的把握設備狀態(tài)，對提高生產效率和保障生產安全有著重要意義。隨著工業(yè)技術的高速發(fā)展，機械設備除了更新換代速度明顯加快之外，其質量和壽命也不斷提高，因此傳統(tǒng)的基于大樣本實驗和統(tǒng)計方法的可靠性分析方法耗時費力且對單個運行設備無法應用，越發(fā)顯得不合時宜。

設備的狀態(tài)監(jiān)測數據是設備內在狀態(tài)的外在表現，反映了設備的健康程度，為設備可靠性評估與預測提供了重要信息。丁鋒等[1]從監(jiān)測的軸承振動信號中提取的退化特征，結合軸承的狀態(tài)信息建立了兩參數威布爾比例故障率模型，評估了鐵路機車軸承的可靠性。陳保家等[2]通過從刀具切削過程中的振動信號中提取相關特征參數，結合刀具狀態(tài)，使用Logistic回歸模型評估刀具可靠性并預測刀具剩余壽命。這兩種方法都需要一定的歷史失效數據，但對于一些大型設備這樣的歷史失效數據往往不易獲得。何正嘉等[3]提出了多種基于機械設備狀態(tài)信息的運行可靠性評估方法，以信號處理、故障特征提取等為基礎對軸承的運行可靠性評估和壽命預測。張星輝等[4]提出了基于混合高斯輸出貝葉斯信念網絡模型的設備退化狀態(tài)識別與剩余使用壽命預測新方法。上述研究均表明從設備監(jiān)測監(jiān)測信號中提取的退化特征能夠較準確反映設備性能退化的動態(tài)特性，將其用于可靠性評估合理有效，彌補了傳統(tǒng)可靠性評估方法的不足。

狀態(tài)空間模型是隱馬爾可夫模型的一種特殊形式，用于描述隨時間變化的動態(tài)過程，近些年學者們將其用于機械設備故障診斷和預測。Orchard等[5]將狀態(tài)空間模型用于設備的在線診斷和預測，結合粒子濾波技術對行星齒輪板故障實例進行剩余使用壽命分布的預測，驗證了模型的合理性。Gasperin等[6]提取了齒輪箱性能退化特征，建立退化特征的狀態(tài)空間模型，結合蒙特卡洛仿真方法預測齒輪箱剩余使用壽命情況。狀態(tài)空間模型能夠用現在和過去的最小信息形式描述系統(tǒng)的狀態(tài)，不需要大量歷史數據。針對單臺設備可靠性難以用傳統(tǒng)可靠性方法評估的問題，本文提出了一種基于狀態(tài)空間模型的可靠性預測方法。并結合軸承與銑刀的加速壽命試驗數據驗證了方法的有效性。

1狀態(tài)空間模型可靠性預測方法

1.1瞬時可靠度

可靠性是機械設備一個重要質量指標，可靠度又是最重要的可靠性評價指標之一。定義在規(guī)定條件下與規(guī)定期限內，設備不失效地完成要求的功能的概率為可靠度，然而在實際生產中，這種基于概率統(tǒng)計求解的可靠度并不能給出實質意義上的幫助。為了分析和評價個體設備動態(tài)性能，LU等[7]最早提出通過預測設備性能退化指標的概率分布，由失效閾值和指標觀測值所界定的區(qū)間積分來計算設備的可靠度的方法。XU等[8-9]使用相似概念的可靠性預測和評估的方法，并應用于實例。

若設備t時刻的瞬時可靠度為設備性能特征指標yt小于失效閾值yc的概率：

(1)

式中：ft(yt)為狀態(tài)特征yt的概率密度函數。如圖1所示，虛線為設置的失效閾值，狀態(tài)特征處于失效閾值之上的概率即圖中陰影部分為失效概率，狀態(tài)特征處在失效閾值之下的概率為瞬時可靠度。

圖1　瞬時可靠度Fig.1 Instantaneous reliability

1.2滑動平均濾波

滑動平均方法[9]是一種具有平滑和濾波作用的數據處理方法，可以濾掉數據頻繁隨機起伏的，顯示出平滑的變化趨勢，同時還可得出隨機誤差的變化過程，從而可以估計出其統(tǒng)計特征量。如圖2所示，將長度為L的滑動窗在序列{y(t)，t=1,2,…,N}上移動，對窗內所有元素求算數平均后作為新序列的一個元素，所得新序列即為y(t)的滑動平均。數學表達式如下：

(2)

圖2　滑動平均方法Fig.2 Moving averaging method

滑動平均方法的特點是其簡捷性、計算量小并節(jié)省存儲單元，因此便于快速、實時的處理非平穩(wěn)數據，在不影響原數據的情況下有效抑制噪聲，降低噪聲對信號波形的影響，提高信噪比。需要指出的是滑動平均具有端部效應，只能得到大部分取值，而缺少端部的趨勢，即t<澆L的部分無法得到，是否設法補入，依據實際需要而定。

1.3小波包能量

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

歸一化小波包能量為：

(9)

1.4狀態(tài)空間模型

設備的退化過程具有一階馬爾可夫性質，即下一時刻設備狀態(tài)只與當前時刻設備狀態(tài)相關，將不同時刻的設備狀態(tài)用xt表示。將從監(jiān)測數據中提取的狀態(tài)特征視為觀測值，用yt表示。建立設備退化的狀態(tài)空間模型如下：

xt=A·xt-1+wt

(10a)

yt=C·xt+et

(10b)

式(10a)為狀態(tài)方程，A是作用在設備狀態(tài)xt上的變換矩陣，xt的將來值只與現在有關，而與過去的狀態(tài)相獨立。式(10b)為觀測方程，建立了系統(tǒng)狀態(tài)與觀測值之間的映射關系， C是變換矩陣。wt是過程噪聲，假定其符合均值為零，協(xié)方差為Q的多元正態(tài)分布即wt～N(0,Q)，et是觀測噪聲，且et～N(0,R)。系統(tǒng)狀態(tài)能體現系統(tǒng)特征、特點和狀況的變量，但是狀態(tài)向量有時有實際物理含義，有時只是出于建模需要而引入，沒有特定的物理意義。

顯然在模型參數θ={A,C,Q,R}和設備狀態(tài)xt0的均值和方差已知的情況下，直接就能由式(10)對t>t0時刻的觀測值yt的均值和方差進行推算，設定設備失效閾值yc，由式(1)即可預測設備的可靠性。

1.5狀態(tài)空間模型求解

狀態(tài)空間模型求解方法[6,10]為Expectation Maximization(EM)算法，其核心是Kalman Filter，Kalman Filter是一個遞歸的估計，即只要獲知上一時刻的狀態(tài)估計和當前狀態(tài)的觀測就可以計算出當前狀態(tài)的估計。若系統(tǒng)的狀態(tài)向量X已知，通過極大似然估計(Maximum Likelihood Estimation)方法可獲得參數θ={A,C,Q,R,μ0,ε0}的最優(yōu)值。通過最大化似然函數式(11)，據對數函數性質可知，當P(Y|X,θ)取得最大值時函數L(θ)同樣取得最大值，然而實際上狀態(tài)向量X未知，參數估計條件不足。

L(θ)=lnP(Y|X,θ)

(11)

給出1～n時刻的觀測值序列y1:n，EM算法通過E步和M步的迭代估計系統(tǒng)參數，可表示為：

(12)

1.5.1E步計算

給出初始參數θ0和y1:n={y1,y2,…，yn}，Rauch-Tung-Striebel (RTS) smoother估計出狀態(tài)向量xt的最優(yōu)值P(xt|y1:n)。RTS平滑器的步驟如下：

初始狀態(tài)：x0～N(μ0,P0)，使用Kalman濾波器對觀測序列y1:n={y1,y2,…，yn}進行正方向濾波：Fort=1,2,…,n-1

xt+1|t=Axt|t

(13)

Pt+1|t=APt|tAT+Q

(14)

Kt=Pt+1|tCT(CPt+1|tCT+R)-1

(15)

更新：

xt+1|t+1=xt+1|t+Kt(yt+1-Cxt+1|t)

(16)

Pt+1|t+1=Pt+1|t-KtCPt+1|t

(17)

從之前Kalman濾波器估計的狀態(tài)xn開始，遞歸平滑：ForT=n,n-1,…,1

(18)

xt|T=xt|t-Jt(xt+1|T-Cxt+1|t)

(19)

(20)

1.5.2M步計算

若狀態(tài)已知，有貝葉斯準則系統(tǒng)輸出的似然函數可寫成：

P(Y|θ)=P(Y|X,θ)P(X|θ)

(21)

模型(10)的過程噪聲和觀測噪聲均為高斯分布，則有多元正態(tài)分布：xt～N(Axt-1,Q)，yt～N(Cxt,R)。由多元正態(tài)分布密度函數、式(11)和式(21)，忽略其中常數項，完整的似然函數可寫成：

(22)

給出當前的參數θk和完整的觀測數據Y，式(22)的期望值表示為：

l(θ|θk)=E{-2lnL(θ|Y,θk)}

(23)

此時，E步中的RTS平滑結果可用于求下列期望值：

(24a)

(24b)

(24c)

EX|Y,θk(xt)=xt|n

(24d)

將式(24)代入式(22)可得如下結果：

(x0|n-μ0)(x0|n-μ0)′]}+

(25)

其中：

(26a)

(26b)

(26c)

(26d)

(26e)

對式(25)求偏導，即：

(27)

可得：

(28)

同理，可以求得：

(29)

(30)

(31)

μ0new=x0|n

(32)

ε0new=P0|n

(33)

2滾動軸承可靠性評估

任何與旋轉有關的機械都離不開軸承，其重要性不言而喻，軸承的壽命及其可靠性預測具有一定的實際意義。軸承健康狀態(tài)信息大量體現在其振動信號中，所以從軸承振動信號中提取相關特征量，進行可靠性評估具有理論依據。軸承加速壽命試驗數據來自IEEE PHM 2012 Prognostic challenge[11-12]，PRONOSTIA試驗臺概況如圖3所示。PRONOSTIA由FEMTO-ST研究所設計和制造，主要用于軸承的加速壽命試驗，軸承退化速度快，壽命較短。試驗共有三種不同工況，其中工況1為轉速1 800 r/min，載荷4 000 N，共進行了7個軸承的全壽命試驗。振動信號采樣頻率為25.6 kHz，采樣長度2 560點，試驗設定失效判定為加速度信號幅值超過20 g，軸承3由正常運行至失效共采集了2 375個振動信號樣本。圖4為壽命試驗前后軸承照片。

圖5分別給出了軸承正常和失效狀態(tài)下的振動信號時域圖和頻譜圖，最明顯的區(qū)別就是信號幅值，軸承發(fā)生故障后振動加劇，在圖中反映為振動能量較大，幅值較高。從頻譜圖中可以看出軸承狀態(tài)變化之后，能量分布發(fā)生變化，正常軸承能量分布相對分散，分布域為：0～6 000 Hz，而故障軸承能量分布相對集中，主要分布在0～3 000 Hz頻率范圍內。由于此實驗是加速壽命試驗，軸承壽命也會因此而嚴重縮短。

圖3　試驗臺概況Fig.3 Testing rig

圖4　正常和失效軸承Fig.4 Normal and failure bearing

圖5　不同狀態(tài)軸承時域信號和頻譜Fig.5 Time wave and frequency spectrum for different bearing conditions

圖6給出了軸承由正常運行至失效的振動信號RMS值序列和峭度序列，從圖中可以看出兩個特征值總體都是上升趨勢。RMS值上升比較平滑，但是中間有一些幅值比較異常，相對比較直觀的反映軸承退化過程的全貌。軸承峭度值變化規(guī)律不明顯，在1800#～2300#樣本之前峭度值比較大，最后隨著軸承退化加劇，峭度值略有下降，可以看出峭度指標不能有效反映軸承的退化形式。

軸承退化過程應該是一個單調不減的過程，隨著軸承的劣化，其退化特征值理論上應該是不斷的增加。軸承振動信號時域波形如圖7，軸承失效時(2375#)振動幅值遠高于正常時(2#)。用1.3節(jié)方法，使用db1小波對軸承振動信號進行4層小波包分解，計算16個頻帶小波包能量。圖8為軸承在不同時期各個頻帶歸一化小波包能量對比，可以發(fā)現第2頻帶能量E2隨軸承的劣化程度增加數值越來越大，其趨勢如圖9所示，上下有所起伏，但總體趨勢明顯，客觀上反映了軸承性能退化情況。

圖6　軸承振動信號的有效值和峭度趨勢Fig.6 Trend for RMS and Kurtosis for bearing

圖7　軸承2#和2375#樣本的時域信號Fig.7 Time domain wave for sample 2# and 2375#

圖8　軸承不同時刻歸一化小波包能量Fig.8 Normalization wavelet packet energy for different conditions

圖9　歸一化小波包能量及滑動平均Fig.9 Normalization wavelet packet energy and moving averaging

按1.2節(jié)方法對E2其進行一個滑動平均濾波，滑動窗長度L=200。由于端部效應，E2ma比E2少L-1數據點，考慮到軸承初期健康狀況良好，特征變化不大，無需補齊。E2ma趨勢如圖10所示。經濾波后新特征值序列變得純凈，且新序列和原特征序列在起伏上保持較高的一致性，完全呈現了原序列的變化特點，滑動平均濾波方法有效的降低了觀測值的噪聲成分。以滑動平均濾波后E2ma序列作為軸承運行可靠性預測的特征指標yt。隨著試驗的進行，取當前時刻及之前總共100個E2ma值用于狀態(tài)空間模型參數估計，再對之后的E2ma進行預測。

隨著新的觀測值獲得，及時更新退化特征預測的狀態(tài)空間模型，圖10(a)～10(c)為不同時刻對軸承退化特征的預測結果。

若不對軸承退化狀態(tài)特征進行平滑處理預測結果如圖11所示，2050時刻預測均值高于實際值較大，2150時刻由于噪聲項較大導致參數估計收斂出現問題，2250時刻預測則較好，對比之下不進行滑動平均處理的預測結果總體較差。設置軸承失效閾值為E2ma=0.42，由式(1)計算軸承運行可靠度。圖12為對應的瞬時可靠性預測結果，設軸承失效的可靠度閾值為0.5，則三次預測對應非致命失效時刻為：2834、2248和2369，可見隨著新的觀測值獲得，更新預測模型，預測結果與軸承真實失效時刻2373越來越近，為軸承的預知維修提供有效依據。

圖10　滑動平均處理特征的預測結果Fig.10 Prediction result after moving averaging

圖11　不平滑處理的預測結果Fig.11 Prediction result without moving averaging

圖12　不同時刻軸承可靠性預測結果Fig.12 Reliability prediction result for different time

3銑刀可靠性預測

銑削試驗在大連理工大學模具所東昱精機CMV-850A加工中心上進行，材料為FV520B，選擇國產的APOLL550便攜式工控機和PAC公司的AEwin數據采集軟件進行聲發(fā)射信號數據采集。刀具壽命試驗采用加速方式進行，主軸轉速為1 000 r/min，切削深度為0.4 mm，進給速度為400 mm/min。聲發(fā)射信號采樣長度：512 000點，采樣頻率：Fs=2 048 kHz。間隔10 s進行一次采樣，至刀具失效共采集240組聲發(fā)射信號。圖13為刀具兩種狀態(tài)照片，圖14為試驗布置圖。

圖13　不同狀態(tài)下刀具Fig.13 The cutter in different states

圖14　試驗布置圖Fig.14 The test-rig

刀具的磨損量在實際生產中難以直接獲得，只能通過間接方法去監(jiān)測刀具磨損過程。Zhong 等[13]將聲發(fā)射信號和力信號的相關特征與刀具磨損進行了相關分析，結果顯示聲發(fā)射特征同力信號特征一樣，與刀具磨損具有高度相關性，所以本文選擇銑削過程的聲發(fā)射信號作為刀具磨損監(jiān)測的方法。

對聲發(fā)射信號進行6層小波包分解，原信號被分解成64個頻帶，計算出64個頻帶的歸一化小波能量譜。圖15為銑削試驗初期和后期的前20個頻帶的歸一化小波能量譜對比。頻帶1和頻帶2的能量較大，無論在磨損初期還是嚴重磨損期，第2頻帶始終是能量最大的頻帶，所以選取第2頻帶小波包能量E2作為刀具退化特征量。滑動窗長L=50，對E2滑動平均濾波處理，得到新特征序列E2ma，如圖16所示，濾波處理后的特征趨勢平滑，且保留了原序列的時間動態(tài)特性，且有效的降低了觀測值的噪聲成分。

圖15　切削試驗前期和后期小波能量譜Fig.15 The earlier and later milling wavelet energy spectrum

圖16　刀具聲發(fā)射信號小波包能量及其滑動平均Fig.16 The wavelet energy of cutter acoustic emission signal and the moving average

可靠性預測過程方法及參數設置與軸承例子相同，用于狀態(tài)空間模型參數估計的為當前50個觀測值，預測之后E2ma的概率分布。

圖17為其中兩個時刻觀測值所建立的狀態(tài)空間模型預測結果。圖18為對應刀具可靠性預測結果。預測結果與實際情況基本相符。

圖17　不同時刻刀具退化特征趨勢預測結果Fig.17 The prediction results of cutter degradation characteristics trend at different time

圖18　不同時刻運行可靠性預測結果Fig.18 The reliability prediction results at different time

可以看出隨著新的觀測值獲得，更新預測模型，預測結果與刀具真實失效時刻越來越接近。驗證了此方法對實際問題分析的有效性。

4結論

本文從設備的狀態(tài)監(jiān)測數據出發(fā)，用小波包分析進行特征提取，選擇趨勢明顯的頻帶小波包能量作為設備狀態(tài)特征指標，再使用滑動平均濾波處理退化特征，結合狀態(tài)空間模型和瞬時可靠度計算方法，進行設備的可靠性預測方法研究。結合滾動軸承和銑刀破損兩個實例驗證了此方法的有效性，結果顯示滑動平均濾波能夠有效的提高退化特征的信噪比，提高預測準確性，符合設備性能退化的時間動態(tài)特性。此方法具有較好的實用性。

參 考 文 獻

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基金項目：國家數控機床重大專項(2013ZX04012071)

收稿日期：2014-08-20修改稿收到日期：2015-01-13

通信作者張志新 男，碩士，講師，1967年生

中圖分類號:TG156

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.020

Reliability prediction method based on a state space model

LI Hong-kun1,2, HE De-lu1,2, ZHANG Zhi-xin3, REN Yuan-jie1,2, CONG Ming1,2

(1. Dalian Xinyu Science and Technology Development Center CO., LTD, Dalian 116024, China;2. School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China;3. School of Mechanical Engineering, Dalian University, Dalian 116622, China)

Abstract:Reliability analysis based on equipment’s performance degradation characteristics is one of important study directions of reliability technology. At the present, many studies are based on multi-sample analysis, there are few studies for single equipment reliability prediction. Here, the method of reliability prediction based on a state space model was proposed for small sample prediction. Firstly, signals about machine working conditions were determined with the on-line monitoring technology for an equipment. Secondly, the wavelet packet energy was used for characteristic extraction of the monitored signals. The frequency band energy to reflect the trend of the equipment’s state changes was taken as the equipment’s degradation index. Then, the signal to noise ratio for degradation characteristic was improved with the moving average filtering processing. Finally, the state space model was established to predict the degradation index’s probability distribution, and the reliability level was calculated. Two real testing examples of bearing and milling cutter were used to demonstrate the correctness and effectiveness of this method. The results provided a useful method for reliability prediction of small-sample events.

Key words:reliability prediction; state space model; feature extraction; wavelet analysis; moving average

第一作者 李宏坤 男，教授，博士生導師，1974年生