趙　亮， 胡振東

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

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軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度懸臂梁動(dòng)力學(xué)分析

趙亮， 胡振東

(同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

摘要：針對軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁振動(dòng)會(huì)影響系統(tǒng)的安全性、穩(wěn)定性問題，對功能梯度懸臂梁振動(dòng)特性進(jìn)行分析，利用廣義哈密爾頓原理及假設(shè)模態(tài)法導(dǎo)出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。結(jié)果表明，功能梯度懸臂梁的橫向位移與軸向位移耦合，功能梯度材料在厚度方向按體積分?jǐn)?shù)函數(shù)呈指數(shù)變化，且梁自由端有集中質(zhì)量塊。并討論材料指數(shù)及末端集中質(zhì)量大小對振動(dòng)影響，分析梁在伸展、收縮時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性。所得結(jié)論可為類似結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析、設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：功能梯度懸臂梁；軸向運(yùn)動(dòng)；振動(dòng)分析；耦合的方程

軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁在工程中被廣泛應(yīng)用，如伸縮式機(jī)械手臂及衛(wèi)星天線等。懸臂梁伸展過程中的振動(dòng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性、安全性影響較大。因此頗受關(guān)注。如Wang等[1]利用牛頓力學(xué)方法建立軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的控制方程，并用Galerkin法近似求解。Stylianou等[2]利用有限元法求解該問題時(shí)固定單元數(shù)目而單元長度隨時(shí)間變化。Al-Bedoor 等[3]用有限元法分析在剛性旋轉(zhuǎn)支座中作軸向運(yùn)動(dòng)的彈性機(jī)械手臂振動(dòng)。Zhu 等[4]從能量角度分析軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁振動(dòng)穩(wěn)定性。Chang等[5]用有限元法分析軸向運(yùn)動(dòng)瑞利梁振動(dòng)及穩(wěn)定性。Wang等[6-7]利用廣義哈密爾頓原理分析彈性及黏彈性梁的軸向運(yùn)動(dòng)特性。李山虎等[8]對伸展懸臂梁的獨(dú)立模態(tài)振動(dòng)控制進(jìn)行理論近似解推導(dǎo)，并用多尺度方法進(jìn)行求解。羅炳華等[9]建立軸向運(yùn)動(dòng)梁受移動(dòng)載荷作用的有限元模型，提出描述運(yùn)動(dòng)梁節(jié)點(diǎn)約束狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)生死方法。劉寧等[10]推導(dǎo)移動(dòng)質(zhì)量作用的軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁振動(dòng)方程，并用修正的Galerkin法對振動(dòng)方程離散求解。陳紅永等[11]針對Galerkin截?cái)喾ㄓ?jì)算軸向受載運(yùn)動(dòng)梁固有特性時(shí)低階頻率誤差較大問題，引入軸向力對試函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，分析兩端固支、固支-自由邊界下Timoshenko梁的振動(dòng)特性。

功能梯度材料(Functionally Gradient Materials, FGM)廣泛用于機(jī)械制造、航空航天及土木工程。FGM為復(fù)合材料，上下表面各由一種材料制成，材料屬性連續(xù)由一個(gè)表面變化到另一表面，故使其具有兩種材料特性。關(guān)于FGM梁動(dòng)力學(xué)分析文獻(xiàn)較多[12-15]，而關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)FGM懸臂梁的文獻(xiàn)較少。其利用有限元法分析軸向運(yùn)動(dòng)FGM懸臂梁振動(dòng)時(shí)只考慮梁的橫向振動(dòng)位移。

本文利用廣義哈密爾頓原理與假設(shè)模態(tài)法建立軸向運(yùn)動(dòng)FGM懸臂梁的動(dòng)力學(xué)方程?？紤]橫向與軸向變形的耦合，分析該懸臂梁的運(yùn)動(dòng)特性。

1動(dòng)力學(xué)方程建立

1.1功能梯度材料

本文研究的FGM由陶瓷與金屬制成，其有效材料屬性P(P代表彈性模量E，泊松比υ及密度ρ)在材料厚度方向按各組分體積分?jǐn)?shù)函數(shù)連續(xù)變化，表示為

P=PTVT+PBVB

(1)

式中：PT，PB為梁上、下表面材料屬性；VT，VB為上、下表面材料體積分?jǐn)?shù)，即

VT+VB=1

(2)

FGM的有效材料屬性用冪函數(shù)定義。梁上部組分體積分?jǐn)?shù)為

(3)

式中：k為非負(fù)參數(shù)(冪函數(shù)指數(shù))，控制材料屬性沿梁厚度方向變化趨勢。

由式(1)～式(3)可得FGM梁的有效材料屬性為

(4)

由式(4)知，z=-h/2時(shí)P=PB，z=h/2時(shí)P=PT。

1.2控制方程建立

軸向運(yùn)動(dòng)FGM懸臂梁見圖1。梁初始長度為L0，長度L(t)隨時(shí)間變化。軸向運(yùn)動(dòng)速度v的正負(fù)表示梁處于伸展或收縮狀態(tài)。分析中加速度恒定，集中質(zhì)量塊mtip位于梁末端。梁任意點(diǎn)x處軸向、橫向振動(dòng)位移分別用w(x,t)、u(x,t)表示。梁剛性支撐部分無彈性變形。梁厚度、寬度分別用h、b表示。

圖1　軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度懸臂梁Fig.1 An axially translating FG cantilevered beam

基于伯努利-歐拉薄梁理論及小撓度假設(shè), 梁的軸向正應(yīng)力、應(yīng)變分別為

(5)

式中：E為梁的彈性模量。

系統(tǒng)動(dòng)能可表示為

(6)

系統(tǒng)勢能為

(7)

式中：P為梁的軸向張力，可表示為

(8)

將式(5)代入(6)、(7)，得

(9)

(10)

式中：

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程通過廣義哈密爾頓原理與假設(shè)模態(tài)法獲得。廣義哈密爾頓原理表示為

(11)

對自由振動(dòng)問題δW=0。運(yùn)動(dòng)過程中梁長隨時(shí)間變化。為便于分析，用參數(shù)ξ=x/L(t)將空間區(qū)域[0,L(t)]投影到單位區(qū)間[0,1]上。梁的橫向振動(dòng)位移可用廣義坐標(biāo)及模態(tài)函數(shù)表示，即

(12)

式中：[φ]=[φ1(ξ),…,φn(ξ)]；{q}=[q1(t),…,qn(t)]。

懸臂梁橫向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)為

φi(ξ)=[cosh(λiξ)-cos(λiξ)]-

(i=1,2,…,n)

(13)

式中：λi為參數(shù)，由特征方程獲得，即

1+cosh(λi)cos(λi)=0,(i=1,2,…,n)

(14)

類似，軸向振動(dòng)位移可表示為

(15)

式中：[ψ]=[ψ1(ξ),…,ψn(ξ)]；{r}=[r1(t),…,rn(t)]。

對懸臂梁

(16)

將式(12)、(15) 分別代入式(9)、(10)，系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢能U可表示成關(guān)于廣義坐標(biāo)及模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式。再將T、U代入式(11),對變量r、q進(jìn)行變分運(yùn)算，所得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(17)

式中：

以上各矩陣表達(dá)式較復(fù)雜，見附錄。求解式(17)可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。

2數(shù)值算例分析

為驗(yàn)證所建動(dòng)力學(xué)方程的正確性，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3]進(jìn)行對比。所用參數(shù)為：彎曲剛度EI=756.65 Nm2，單位長度質(zhì)量ρA=4.015 kg/m,軸向運(yùn)動(dòng)速度v=0.3 m/s，梁初始長度L0=1.8 m，自由端初始撓度w(L0,0)=-0.005 m。計(jì)算結(jié)果見圖2?？梢姳疚慕Y(jié)果與文獻(xiàn)[3]結(jié)果一致，從而驗(yàn)證本文動(dòng)力學(xué)方程的正確性。

利用算例分析FGM懸臂梁的軸向運(yùn)動(dòng)特性。FGM

梁上部材料為鋁，E=70 GPa，ρ=2 700 kg/m3,υ=0.23；下部材料為氧化鋁，E=380 GPa,ρ=3 800 kg/m3,υ=0.23。梁寬b=0.2 m, 高h(yuǎn)=0.01 m。運(yùn)動(dòng)方程用Newmark法求解。

圖2　L(t)=1.8+0.3t時(shí)軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁自由端撓度Fig.2 Tip deflection of the axially translating beam when L(t)=1.8+0.3t

分析材料指數(shù)k及末端質(zhì)量對FGM梁軸向運(yùn)動(dòng)影響。FGM梁上部材料體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向變化曲線見圖3。由圖3看出，k越大梁的材料屬性由上部向下部過渡越快，梁的剛度越大，梁振動(dòng)頻率越大變形越小。

不同指數(shù)k時(shí)梁自由端撓度曲線見圖4。給定軸向運(yùn)動(dòng)速度1 m/s, 末端質(zhì)量1 kg, 梁初始長度1 m，自由端橫向初速度0.001 m/s。由圖4看出，k越大梁振動(dòng)頻率越大，振幅越小。

不同末端質(zhì)量梁自由端撓度曲線見圖5。給定k=0.1，末端質(zhì)量分別為0、1 kg、2 kg、3 kg，其它參數(shù)同前?？梢娔┒速|(zhì)量越大梁振動(dòng)頻率越小，振幅越大。

圖3 FGM梁上部材料體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向的變化Fig.3VariationofthevolumefractionoftheupperconstituentVTthroughthethicknessoftheFGMbeam圖4 不同指數(shù)k的梁自由端撓度Fig.4Tipdeflectionsunderdifferentpower-lawexponent圖5 不同末端質(zhì)量的梁自由端撓度Fig.5Tipdeflectionsunderdifferenttipmass

分析FGM梁在伸展、收縮時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性。計(jì)算參數(shù)為：k=0.1，末端集中質(zhì)量1 kg, 自由端橫向初速度1 m/s，梁伸展時(shí)初始長度1 m，伸展速度0.5 m/s。計(jì)算結(jié)果見圖6。由圖6看出，梁伸展過程中，自由端橫向振幅逐漸增大而軸向振幅逐漸減小。梁振動(dòng)總能量隨其伸長而減小，說明系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)。梁收縮時(shí)初始長度3 m，收縮速度-0.5 m/s，計(jì)算結(jié)果見圖7。由圖7看出，梁收縮時(shí)自由端橫向振幅逐漸減小而軸向振幅逐漸增大。振動(dòng)總能量隨其收縮逐漸增大，說明系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

圖6　L(t)=1+0.5t時(shí)軸向運(yùn)動(dòng)FGM懸臂梁Fig.6 Axially translating FGM beam when L(t)=1+0.5t

圖7　L(t)=3-0.5t時(shí)軸向運(yùn)動(dòng)FGM懸臂梁Fig.7 Axially translating FGM beam when L(t)=3-0.5t

3結(jié)論

(1) FGM梁材料指數(shù)能規(guī)定其材料屬性由上部組份向下部組份變化的快慢。指數(shù)越大材料屬性變化越快，梁剛度越大，振動(dòng)頻率越大而振幅越小。末端集中質(zhì)量越大梁振動(dòng)頻率越小，振幅越大。

(2) FGM梁伸展過程中自由端橫向振幅逐漸增大，軸向振幅逐漸減小，振動(dòng)總能量隨梁伸長而減小時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定狀態(tài)；收縮時(shí)自由端橫向振幅逐漸減小，軸向振幅逐漸增大，振動(dòng)總能量隨梁收縮而逐漸增大時(shí)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

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附錄

式(17)中矩陣[M],[C],[K]的各元素表達(dá)式為

式中：

基金項(xiàng)目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃 863 項(xiàng)目 (2012AA041804)

收稿日期：2014-10-16修改稿收到日期：2015-01-30

通信作者胡振東 男，教授，博士生導(dǎo)師，1964 年生

中圖分類號(hào):TH212；TH213.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.02.020

Dynamic analysis of an axially translating functionally graded cantilever beam

ZHAO Liang, HU Zhen-dong

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:The axially translating cantilever beams are widely used in engineering. The vibration of the beams will exert great effect on the safety and reliability of the system. An axially translating functionally graded (FG) cantilevered beam was dynamically analysed. The equations of the system were derived according to the Hamilton’s principle by using the assumed mode method. And the coupled equations of motion were gotten. The properties of the FG material were functionally graded in the thickness direction according to the volume fraction power-law distribution. A tip mass was considered to be concentrated at the free end of the beam. The effects of the power-law material exponent and tip mass on the vibration were discussed. Moreover, the movement characteristics of the FG beam during the extension mode and the retraction mode were analyzed. The conclusions give a basis for dynamic analysis and design of similar structures.

Key words:functionally graded cantilevered beam; axially translating; dynamic analysis; coupled equations

第一作者 趙亮 男，博士生，1981年生

郵箱: zdhu@#edu.cn