戴喜明（上海寶鋼節(jié)能環(huán)保技術(shù)有限公司，上海 201999）

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基于有限元法的齒輪強(qiáng)度接觸研究分析

戴喜明
（上海寶鋼節(jié)能環(huán)保技術(shù)有限公司，上海 201999）

摘 要：本文首先介紹了針對齒輪接觸的有限元原理，其次根據(jù)齒輪結(jié)構(gòu)特性及相關(guān)理論導(dǎo)出漸開線齒廓方程和齒輪嚙合位置方程，在此基礎(chǔ)上利用有限元方法進(jìn)行模型構(gòu)建，進(jìn)行數(shù)值模擬，最后對數(shù)值模擬與仿真計(jì)算結(jié)果展開分析，結(jié)論與齒輪實(shí)際情況相吻合，以期對齒輪接觸強(qiáng)度有限元分析領(lǐng)域有所貢獻(xiàn)。

關(guān)鍵詞：有限元原理；齒輪；接觸強(qiáng)度；數(shù)值模擬

1. 齒輪接觸的有限元原理

齒輪有限元接觸理論包括靜態(tài)分析和動態(tài)分析。靜態(tài)分析理論中，首先應(yīng)滿足彈性靜力學(xué)控制方程（式1），這是靜態(tài)分析的基礎(chǔ)，同時(shí)附加法向和切向接觸條件。法向接觸條件主要是用來判斷主從動輪是否接觸，且此時(shí)的法向應(yīng)力為壓力。切向接觸條件承接法向接觸條件，即判斷已發(fā)生接觸的齒輪面之間的接觸細(xì)節(jié)，選用相關(guān)模型重點(diǎn)研究其接觸面的摩擦情況。從理論上講，嚙合齒面的摩擦接觸狀態(tài)包括以下3種類型：（1）摩擦接觸較為明顯的黏結(jié)狀態(tài)；（2）即將脫離摩擦條件的滑動狀態(tài)；（3）不存在摩擦力的分離狀態(tài)。平衡方程

式中：σij，j—應(yīng)力張量偏導(dǎo)；—體積力張量；uij，uji—位移張量的偏導(dǎo)；εij—應(yīng)變張量；σij—應(yīng)力張量；G，λ—Lame常數(shù)；δij，δkl—Kronecher符號。

式中：K—集成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；U結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移列陣；Q—結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)外部載荷列陣；F—結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)接觸載荷列陣。

因此，進(jìn)行接觸面分析時(shí)，首先應(yīng)先定義齒輪嚙合面的接觸狀態(tài)以及接觸區(qū)，合理判定，并選擇出合適的邊界條件。一般采用如式（2）所示的有限元方程來研究主從動輪接觸問題。

動態(tài)分析的基本控制方程與約束條件與靜態(tài)方法相似，其求解方程如式（3）所示。

式中：ρ—質(zhì)量密度；μ—阻尼因數(shù)；ui，tt—i方向的加速度。利用Hamilton變分原理，實(shí)現(xiàn)公式（3）的有限元化。在進(jìn)行齒輪的有限元動態(tài)分析時(shí)，有關(guān)時(shí)間因素在內(nèi)的域是關(guān)鍵，Newmak法的廣泛應(yīng)用就充分驗(yàn)證了這一特性。

2. 漸開線齒輪嚙合方程

2.1 漸開線齒廓方程

由端面參數(shù)相同的齒輪嚙合漸開線以圖2所示的齒廓曲線為參照通過移動重疊所形成的曲面作為漸開齒廓曲面。圖1所示中的點(diǎn)P為齒廓上的任一點(diǎn)，而點(diǎn)C為對應(yīng)分度圓上的點(diǎn)。參照漸開線的極坐標(biāo)方程可以得到

在坐標(biāo)面OZa中，P點(diǎn)對應(yīng)的齒廓方程為：

2.2 齒輪嚙合位置方程

考慮到齒輪嚙合接觸面的復(fù)雜性，為得到更為精準(zhǔn)的分析模型，主要思路是：首先應(yīng)該將主、從動輪前端面的幾何體定義出來，然后利用坐標(biāo)在坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換得到彼此之間的空間位置。圖2顯示的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系。在圖2中，坐標(biāo)系O1Z1a1為主動輪的前端面坐標(biāo)系，而O2Z2a2則是表示從動輪，可以假定在轉(zhuǎn)換之前二者為近似重合位置關(guān)系。具體操作如圖2所示。

Sc1、s2是主動輪嚙合位置的齒厚及分度圓齒厚，Sc2、s2相應(yīng)的從動輪的幾何參數(shù)；Tc1、Tc2為主、從動齒輪嚙合位置的壓力角。

O2點(diǎn)在O1Za坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（Z0，a0）為：

圖1　齒廓曲線圖

圖2　主從齒輪位置轉(zhuǎn)換圖

3. 有限元計(jì)算模型構(gòu)建

3.1 輪齒建模

從主、從齒輪各自的前端面作為坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的基準(zhǔn)，因此，首先應(yīng)從以此作為有限元網(wǎng)格劃分切入點(diǎn)，然后按照上述的轉(zhuǎn)換思路，轉(zhuǎn)換得到相應(yīng)的嚙合點(diǎn)位置。輪齒部分選用8結(jié)點(diǎn)參數(shù)相同的實(shí)體單元，得到的網(wǎng)格分布特別密集，網(wǎng)格具體大小應(yīng)根據(jù)形狀或外力矩進(jìn)行調(diào)整。輪緣和輪殼部分同輪齒選用結(jié)點(diǎn)單元相同，即8結(jié)點(diǎn)實(shí)體單元。而輻板部分選用的是4結(jié)點(diǎn)版殼單元。

表1　算例參數(shù)

表2　最大接觸應(yīng)力σmax

3.2 邊界條件及外載荷

檢查主動輪的有限元模型，確保最大邊界的結(jié)點(diǎn)處在坐標(biāo)系中，保證在z軸方向可自由移動及a軸的零位移（Va=0）。各結(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中的轉(zhuǎn)角大小為：

式中：Zi、ai——相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)；

保證從動輪模型各個結(jié)點(diǎn)沿z軸以及a軸方向沒有發(fā)生位移。外載荷是通過等效轉(zhuǎn)化成結(jié)點(diǎn)力作用在主動齒輪上的。

4. 數(shù)值模擬與仿真計(jì)算結(jié)果

此次設(shè)計(jì)模擬6個算例，具體參數(shù)如表1。

算例2的壓力角T2=35°，其余均為T=30°，其余參數(shù)見表1嚙合方式選用外嚙合。

通過計(jì)算，求得各算例的齒輪最大接觸應(yīng)力，并將有限元計(jì)算結(jié)果與ISO齒輪強(qiáng)度計(jì)算。

標(biāo)準(zhǔn)對比分析，見表2。

通過計(jì)算，分別得到算例齒輪接觸表面的應(yīng)力分布，并計(jì)算得到最大接觸應(yīng)力，并將計(jì)算結(jié)果與ISO齒輪強(qiáng)度計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)比較分析。

結(jié)論

本文通過有限元方法進(jìn)行模型構(gòu)建，進(jìn)行數(shù)值模擬，最后對數(shù)值模擬與仿真計(jì)算結(jié)果展開分析，結(jié)論與齒輪強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果基本吻合，說明該方法能夠運(yùn)用于齒輪接觸強(qiáng)度分析，也能為齒輪進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可靠依據(jù)。而且相比于其他的零部件設(shè)計(jì)，齒輪的重要性和復(fù)雜性也從客觀上要求一個更加優(yōu)化的分析計(jì)算工具，這樣可以從制造工藝上面節(jié)省大量的人力物力資源，從而提高了工作效率。事實(shí)上，該有限元分析方法的計(jì)算功能的有限元分析有著其他十分重要的功能，相信在不久的將來該程序的計(jì)算功能的有限元分析可以推廣到其他的零件領(lǐng)域，甚至是各行各業(yè)。

參考文獻(xiàn)

［1］武麗.有限元分析法及其軟件在齒輪接觸強(qiáng)度分析中的應(yīng)用［J］.機(jī)械管理開發(fā)，2007（2）：74-75.

［2］羅齊漢，李成剛，厲海祥，胡于進(jìn).齒輪彎曲強(qiáng)度有限元精確分析方法研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2007（9）：12-15.

中圖分類號：TH114

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A