趙寧, 王緒本, 秦策, 阮帥

1 河南理工大學(xué)計算機學(xué)院， 焦作　454000 2 成都理工大學(xué)“油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點實驗室, 成都　610059

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三維頻率域可控源電磁反演研究

趙寧1, 王緒本2*, 秦策2, 阮帥2

1 河南理工大學(xué)計算機學(xué)院， 焦作454000 2 成都理工大學(xué)“油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點實驗室, 成都610059

摘要對于三維可控源電磁，反演計算效率、張量測量、旁側(cè)效應(yīng)以及陰影效應(yīng)是目前研究的熱點.本文正演采用基于庫侖規(guī)范條件的耦合勢有限體積算法，反演采用有限內(nèi)存BFGS(L-BFGS)算法.合成數(shù)據(jù)反演結(jié)果表明: (1)有限內(nèi)存BFGS法比非線性共軛梯度法，在反演計算效率上具有一定的優(yōu)勢,更適合求解大規(guī)模三維可控源電磁反演問題. (2)張量可控源電磁法相對于標量可控源電磁法，前者在模型分辨率上優(yōu)于后者. (3)在某個區(qū)域無法布置測網(wǎng)的情況下，我們可利用旁側(cè)效應(yīng)在異常體周圍布置測網(wǎng)進行三維反演,從而獲得真實異常體的信息.同時，為避免陰影效應(yīng)，我們應(yīng)在測網(wǎng)外增加可控源電磁控制點，使得三維反演的數(shù)據(jù)更加完備.

關(guān)鍵詞張量可控源電磁法； 三維反演； 有限內(nèi)存BFGS； 旁側(cè)效應(yīng)； 陰影效應(yīng)

In order to improve the 3D inversion speed, if the frequency is lower or resistivity is higher in the control equation in 3D electromagnetic forward modeling, directly dispersing the Maxwell's equations finally forms the large-scale complex coefficients sparse system of linear equations. The condition number of this system is large, which makes it difficult to converge when solving the equation. This work establishes a set of 3D finite volume algorithms based on the coupling potential to solve the problem of low number of induction. At present most linear inversion methods are based on linear search methods. How to choose the search direction is the core of the inversion method, and different search directions can yield different solutions. This paper adopts L-BFGS algorithm for inversion.

To verify the correctness of 3D numerical solution and the effectiveness of the grid design, we use a 3D program to calculate apparent resistivity and phase responses of a layered model, and make comparisons with the 1D analytical solution. According to the inversion results of synthetic data, this paper analyzes the nonlinear conjugate gradient method and limited memory quasi-Newton method, compares the tensor of the controlled source electromagnetic method and the scalar controlled source electromagnetic method, and also analyzes the influence of the lateral effect and shadow effect.

This paper presents comparison of the L-BFGS and NLCG algorithms. Firstly, we find that the execution efficiency of the L-BFGS algorithm is higher than NLCG algorithm in 3D inversion, and the L-BFGS algorithm is more suitable for dealing with 3D inversion of large amount of data. Secondly, comparing the 3D inversion results of the tensor observations and the scalar observations of survey data, we note that the former has a better effect than the latter in delineating the abnormal body and reflecting the true resistivity values. Finally, in the area in which survey network cannot be deployed, we can use the lateral effect for 3D inversion. At the same time, in order to avoid the shadow effect in the field exploration, we should use 3D inversion to deal with the real data, and add the control points of CSEM outside the survey grid.

On the basis of this work, adopting the way of encryption grid can improve the calculation accuracy. However, this will bring about more unknown parameters, and make inversion more singular. The next step, we may consider to separate the grid of forward modeling from inversion, so that the stability of the 3D inversion can be improved.

1引言

近年來，頻率域可控源電磁法在油氣勘探、航空近地表調(diào)查和尋找隱伏金屬礦藏等方面發(fā)揮著越來越重要的作用,并使得可控源電磁法反演研究取得了長足進步.近年來，國內(nèi)外學(xué)者對可控源電磁法均做了大量工作，底青云等(2004，2008)，湯井田和何繼善(2005)系統(tǒng)介紹了可控源音頻大地電磁法國內(nèi)外進展及針對多維問題進行了正反演研究.林昌洪等(2012)利用視電阻率信息進行了非線性共軛梯度法(NLCG)的反演.翁愛華等(2012)利用場值信息進行了非線性共軛梯度反演.劉云鶴和殷長春(2013)采用NLCG和L-BFGS對航空電磁三維反演問題進行了對比研究，Newman和Boggs(2004)用擬牛頓法進行了電磁數(shù)據(jù)的反演解釋.Egbert 和Kelbert(2012)對三維電磁反演框架進行了深入討論.Alexander等(2014)通過直接法進行了三維可控源電磁分布式計算及實際資料處理.三維反演的計算效率問題是目前研究的重點.

三維可控源電磁反演過程中，正演計算的速度是影響反演計算效率的關(guān)鍵因素.正演大多采用直接法或迭代法處理大型復(fù)系數(shù)稀疏方程，針對單個發(fā)射源的可控源電磁問題，三維正演采用迭代法具有速度快，占用內(nèi)存少等優(yōu)點.為提高三維反演速度，反演大多采用基于線搜索的方法.在線搜索中如何選擇搜索方向是反演方法的核心，且不同的搜索方向形成不同的解決方案，主要包括：最速下降法、牛頓法、非線性共軛梯度法和有限內(nèi)存擬牛頓法.其中，最速下降法較簡單，但收斂速度慢；牛頓法收斂速度快，但需要計算二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，計算量大.有限內(nèi)存Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(L-BFGS)(Haber ,2005)是共軛梯度法的一種推廣，其本質(zhì)思想是由給定的初始矩陣開始,利用一階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)信息近似二階導(dǎo)數(shù),從而不需要顯式地形成Hessian矩陣，相對于利用一階導(dǎo)數(shù)信息的線搜索方法，具有收斂速度快的優(yōu)點.

本文首先介紹了基于耦合勢的三維有限體積正演算法，其次針對L-BFGS算法的反演流程、“擬正演”計算和選擇搜索步長問題進行了討論，最后根據(jù)合成數(shù)據(jù)反演結(jié)果進行了L-BFGS與NLCG對比研究，探討了張量測量的優(yōu)勢，并分析了旁側(cè)效應(yīng)和陰影效應(yīng)的影響.

2正演模擬

三維電磁正演中，若控制方程中采用的頻率比較低或電阻率比較高時，直接對Maxwell方程進行離散，最終形成的大型稀疏復(fù)系數(shù)線性方程組的條件數(shù)往往很大,導(dǎo)致方程很難收斂.

本文建立一套基于耦合勢的三維有限體積算法(Weiss and Newman,2003;徐志鋒和吳小平,2010).利用庫侖規(guī)范條件將麥克斯韋方程變換為與其等價的矢勢與標勢相耦合的亥姆霍茲方程，并將其在Yee氏交錯網(wǎng)格上進行數(shù)值離散，最終得到一個復(fù)系數(shù)稀疏線性方程組.為減少保存方程所需的內(nèi)存空間，把方程存儲為CSR(行壓縮)格式，采用不完全LU分解預(yù)處理的對稱擬最小殘差法(ILU-SQMR)求解大型復(fù)系數(shù)稀疏方程.

2.1控制方程

設(shè)σ是各向同性地層中的電導(dǎo)率，電磁場隨時間變化關(guān)系為e-iω t, ω=2πf.在均勻各向同性介質(zhì)中頻率域Maxwell方程為

(1)

(2)

其中μ0=4π×10-7H/m是真空中的磁導(dǎo)率.因為磁感應(yīng)強度B是無散的，它可以表示為一個矢量的旋度，即：

(3)

將公式(3)代入(1)中，變形得：

(4)

如上(4)式表示E-iωA為無旋的，所以它可以表示為一個標量的梯度(Aruliahetal.,2001)，即：

(5)

為表述方便，引入變量Φ=(iω)-1Ψ，得：

(6)

將(3)和(6)代入(2)中，得：

(7)

(8)

(9)

為了解決模擬中場源點處的奇異性問題，我們采用將總場分為一次場和二次場之和.即選擇一個參考模型σ0，通過解析方法求出場源Js的響應(yīng)(Ap,Φp)，然后利用一次場和參考模型求出二次場(As,Φs).二次場所滿足的控制方程為

(10)

(11)

其中Δσ=σ-σ0為模型電導(dǎo)率與參考模型電導(dǎo)率之差.

2.2正確性檢驗

為驗證三維數(shù)值解的正確性以及網(wǎng)格設(shè)計的有效性，我們利用三維程序計算了一個層狀模型的視電阻率及相位響應(yīng)，并與一維解析解進行比較.層狀模型的第一層電阻率為10 Ωm，厚度為400 m，第二層電阻率為100 Ωm，空氣的電阻率為2×108Ωm.如圖1所示.X向的電偶極子源放置于(0,4500 m,0)處，長度1000 m，觀測點坐標為(0,0,0).網(wǎng)格剖分為46×70×34，在觀測區(qū)域和源所在區(qū)域，網(wǎng)格是均勻的，間距為50 m.收發(fā)距之間采用先大后小的策略，首先將網(wǎng)格間距逐步增加到200 m，保持15個網(wǎng)格，之后逐步減小到50 m，然后以因子3等比增長添加邊界網(wǎng)格.利用此網(wǎng)格剖分我們分別計算了從0.01 Hz到8192 Hz共24個頻率的視電阻率及相位響應(yīng)，結(jié)果如圖2所示.通過與解析解的對比，電阻率和相位的平均相對誤差都小于2%.

本文測試計算機基本配置：CPU為Intel I7-4770K，主頻3.5 GHz，內(nèi)存8 GB.一次正演計算用時1小時11分鐘(一次場計算耗時52 min).

3反演理論

3.1基本原理

按照Tikhonov正則化理論,地球物理反演問題可歸結(jié)為求解以下目標函數(shù)的極小值問題(Avdeev,2005):

(12)

目標函數(shù)確立后，反演問題就是極小化目標函數(shù)的問題.對式(12)的目標函數(shù)求梯度得：

圖1　三維可控源電磁正演模型

圖2　三維可控源電磁正演結(jié)果驗證

(13)

根據(jù)式(13)中的定義，并令A(yù)為正演響應(yīng)向量的雅可比矩陣，則目標函數(shù)的梯度可進一步表示為

+2λWTW(m-m0)，

(14)

式(14)中，目標函數(shù)及其梯度信息是反演的關(guān)鍵信息.其主要的計算量集中在求取雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置與一個向量的乘積上，即ATq(Newman and Alumbaugh,2000; Rodi and Mackie,2001)，在附錄中簡述其求取過程.

3.2L-BFGS方法反演流程

針對大規(guī)模反演問題，Nocedal(1980)修正了BFGS方法并提出解決非線性最優(yōu)化問題的有限內(nèi)存BFGS(L-BFGS)方法.相對于BFGS方法的最大改進就是利用有限次的迭代信息修正Hessian矩陣.L-BFGS反演流程如圖3所示.

對于α的要求,不能只要求f(mk+αkpk)≤f(mk),這樣會導(dǎo)致收斂速率過慢.我們采用滿足Wolfe條件的線搜索方法(JorgeandWright,2006)，公式為

(15)

(16)

圖3　三維可控源電磁L-BFGS反演流程圖

(17)

4數(shù)值算例

本文反演測試計算機配置同正演配置.反演區(qū)域與測區(qū)一致，網(wǎng)格剖分方式同2.2節(jié)網(wǎng)格剖分方式.

4.1L-BFGS與NLCG對比研究

圖4模型包含兩個高阻異常體和兩個低阻異常體，埋深100 m，異常體大小為300 m×300 m×300 m,其中，低阻異常體電阻率為10 Ωm，高阻異常體電阻率為1000 Ωm，背景為均勻半空間，電阻率為100 Ωm.線電流源長度1000 m，坐標為(-500 m，4500 m，0)到(500 m，4500 m，0)，發(fā)射頻率從0.1～4096 Hz，共15個頻率.測網(wǎng)范圍為[-800 m,-800 m,0]×[800 m,800 m,0]，共1024個物理測點，觀測方式如圖9a所示，反演采用的合成數(shù)據(jù)為理論數(shù)據(jù)加入5%的高斯噪聲，初始模型為電阻率為100 Ωm的均勻半空間，λ為1.

圖5和圖6分別為NLCG和L-BFGS反演結(jié)果在XZ、YZ、XY三個平面上的切片圖.如圖所示，兩種方法的反演結(jié)果都較好的確定了異常體的位置，其中，低阻異常體的電阻率比較接近真實電阻率值.需要指出的是，兩種優(yōu)化策略具有相似的內(nèi)存需求(NLCG為916MB，L-BFGS為952 MB)，但是，從圖7給出的目標函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化可以看出，NLCG方法過早地陷入了局部極小，導(dǎo)致NLCG法在20次迭代以后，目標函數(shù)下降很慢，而L-BFGS法具有相當?shù)姆€(wěn)定性.

圖4　4個異常體模型

圖5　NLCG三維反演結(jié)果(30次迭代)

圖6　L-BFGS三維反演結(jié)果(30次迭代)

圖7　L-BFGS與NLCG目標函數(shù)對比

L-BFGS方法采用1作為迭代步長就可以滿足線搜索的條件，如圖8a所示.相比之下，NLCG方法需要迭代步長特別小才能滿足線搜索的條件.如果從求取目標函數(shù)梯度的次數(shù)來考慮反演執(zhí)行效率，如圖8b所示，NLCG法大多需要計算兩次目標函數(shù)梯度，用時23小時31分，L-BFGS法大多只需要計算一次目標函數(shù)梯度，用時12小時17分.因此，L-BFGS方法的執(zhí)行效率高于NLCG方法.

4.2張量觀測

我們設(shè)計三組模型，通過兩個標量測量算例和一個張量測量算例的對比，在一定程度上說明張量測量的優(yōu)勢.模型包含兩個高阻異常體和兩個低阻異常體，埋深100 m，異常體大小為300 m×300 m×300 m,其中，低阻異常體電阻率為10 Ωm，高阻異常體電阻率為1000 Ωm，背景為均勻半空間，電阻率為100 Ωm.反演采用的合成數(shù)據(jù)為理論數(shù)據(jù)加入5%的高斯噪聲，初始模型為電阻率為100 Ωm的均勻半空間，λ為1.

(1)觀測區(qū)域如圖9a所示.綜合圖6結(jié)果，在z方向上，異常體的位置和電阻率控制的較好.然而，由于該觀測方式，Ex、Hy分量強，Ey、Hx分量存在弱區(qū)，因此，在Y方向上，低阻體被拉長.

(2)觀測區(qū)域如圖9b所示.采用發(fā)射源坐標為平行于Y軸(4500 m，-500 m，0)到(4500 m，500 m，0).綜合圖10結(jié)果，在z方向上，異常體的位置和電阻率控制的較好.然而，由于該觀測方式，Ey、Hx分量強，Ex、Hy分量存在弱區(qū)，在X方向上，低阻體被拉長.

(3)觀測區(qū)域如圖9c所示.采用發(fā)射源坐標分別為平行于X軸(-500 m，4500 m，0)到(500 m，4500 m，0)；平行于Y軸(4500 m，-500 m，0)到(4500 m，500 m，0).綜合圖11結(jié)果，發(fā)射源采用兩個不同的且相距很遠的極化.通過張量數(shù)據(jù)的三維反演結(jié)果與標量數(shù)據(jù)的三維結(jié)果對比，張量測量對于恢復(fù)真實異常體模型(特別是圈定異常體邊界)要好于標量測量.

圖8　反演中步長和目標函數(shù)梯度隨迭代次數(shù)變化(a)步長隨迭代次數(shù)變化；(b)目標函數(shù)梯度隨迭代次數(shù)變化.

圖9　觀測裝置平面圖

圖10　觀測裝置2的反演結(jié)果

圖12　異常體模型

圖13　觀測方式2平面圖

圖14　觀測方式一反演結(jié)果

圖15　觀測方式二反演結(jié)果

圖16　觀測方式三反演結(jié)果

4.3旁側(cè)效應(yīng)

在實際工作中，某個區(qū)域可能無法布置測網(wǎng)，設(shè)計一組模型進行三維反演用以討論旁側(cè)效應(yīng)的效果.測試模型為均勻半空間背景中有一個低阻異常體，如圖12所示.異常體埋深100 m，大小為200 m×200 m×200 m,其中，低阻異常體電阻率為10 Ωm，背景電阻率為100 Ωm.線電流源長度1000 m，坐標為(-500 m，4500 m，0)到(500 m，4500 m，0)，發(fā)射頻率從0.1 Hz～4096 Hz，共15個頻率.反演采用的合成數(shù)據(jù)為理論數(shù)據(jù)加入5%的高斯噪聲，初始模型為電阻率為100 Ωm的均勻半空間.正則化因子為1.測網(wǎng)分為3種：

(1)X從-800 m到800 m，Y從325 m到800 m,如圖13a.

(2)X從-800 m到800 m，Y從-800 m到-325 m,如圖13b.

(3)X從-800 m到800 m，Y從-800 m到-325 m；X從-800 m到800 m，Y從325 m到800 m,如圖13c.

首先，在異常體兩邊分別布置測網(wǎng)，利用旁側(cè)效應(yīng)進行三維反演，反演結(jié)果如圖14和15所示，反演出的異常位置偏離異常體真實位置，并偏向所布置測網(wǎng)的下方.然后，在異常兩邊同時布置測網(wǎng)，反演結(jié)果如圖16所示，反演出的異常位置相對準確，電阻率值也相對于圖14和15有較好的結(jié)果.

同時，我們利用三維反演處理實際數(shù)據(jù)過程中，陰影效應(yīng)會影響反演結(jié)果，如圖15所示.為了避免陰影效應(yīng)的影響，從圖16中所得結(jié)果，我們應(yīng)該在測網(wǎng)外增加可控源電磁控制點，使得三維反演具有足夠完備的數(shù)據(jù)，從而減弱陰影效應(yīng)的影響.

5總結(jié)

本文正演采用基于耦合勢的有限體積方法，反演采用L-BFGS方法.首先，通過L-BFGS算法與NLCG算法對比分析，發(fā)現(xiàn)三維反演中L-BFGS比NLCG算法的執(zhí)行效率更高，更適合處理三維大數(shù)據(jù)量的反演問題.其次，針對測網(wǎng)數(shù)據(jù)，張量觀測相對于標量觀測，前者的三維反演結(jié)果相對于后者，對圈定異常體邊界和反映真實電阻率值具有更好的效果.最后，針對無法布置測點區(qū)域，可利用旁側(cè)效應(yīng)進行三維反演.同時，實際生產(chǎn)中為避免陰影效應(yīng)影響，應(yīng)該采用三維反演處理實際數(shù)據(jù)，并在測網(wǎng)外增加CSEM的控制點.在本文工作的基礎(chǔ)上，為提高計算精度，可采用加密網(wǎng)格的方式，然而，這樣會帶來更多的未知量，導(dǎo)致反演會更加奇異，下一步可考慮將正演模型網(wǎng)格和反演網(wǎng)格分離(Commer and Newman,2008),進而提高三維反演的穩(wěn)定性.

致謝向兩位審稿人對本文提出的修改意見表示衷心感謝.

附錄AATq計算

在正演過程中，令

Ke=s，

(A1)

表示由Maxwell方程組離散得到的線性方程組，其中，e為電場分量構(gòu)成的向量，s為源項.為了使反演更加穩(wěn)定，我們定義正演響應(yīng)為視電阻率的自然對數(shù)，即：

(A2)

向量ai和bi表示將e組合為觀測點處的Ex和Hy的插值向量.在此我們認為插值向量和模型無關(guān)，則：

(A3)

其中向量ci定義為

(A4)

從式(A1)中我們可以得到

(A5)

將上式代入式(A3)中，得：

(A6)

令向量ui滿足：

Kui=si，

(A7)

利用矩陣K的對稱性，將式(A6)重寫為

(A8)

根據(jù)式(A8)，我們得到：

(A9)

令向量r滿足：

(A10)

則：

(A11)

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(本文編輯張正峰)

基金項目國家自然科學(xué)基金重點項目(U1262206)和河南理工大學(xué)博士基金資助.

作者簡介趙寧，男，1982年生，博士，講師，主要從事電磁法正反演方法研究. E-mail: zhaoning@hpu.edu.cn *通訊作者王緒本，男，1956年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事地球物理學(xué)研究. E-mail: wxb@cdut.edu.cn

doi:10.6038/cjg20160128 中圖分類號P631

收稿日期2014-07-17，2015-05-13收修定稿

3D frequency-domain CSEM inversion

ZHAO Ning1, WANG Xu-Ben2*, QIN Ce2， RUAN Shuai2

1CollegeofComputer,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,China2StateKeyLaboratoryofOilandGasReservoirGeologyandExploitation,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China

AbstractRecently, the frequency domain controlled-source electromagnetic method is playing an increasingly important role in oil and gas exploration, aviation near-surface survey and search for concealed metallic deposits. For three-dimensional controlled-source electromagnetic (3D-CSEM) inversion, the computation efficiency of inversion, tensor measurement, lateral effect and shadow effect are focused topics in recent research of this technology.

KeywordsTensor CSEM; 3D inversion; L-BFGS; Lateral effect; Shadow effect

趙寧, 王緒本, 秦策等. 2016. 三維頻率域可控源電磁反演研究.地球物理學(xué)報，59(1):330-341,doi:10.6038/cjg20160128.

Zhao N, Wang X B, Qin C, et al. 2016. 3D frequency-domain CSEM inversion.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(1):330-341,doi:10.6038/cjg20160128.