高瑛俏，沈夢佳，孫宇梁

（湖州師范學院理學院，浙江湖州313000）

模擬離子在緩沖氣體中運動的硬球碰撞模型

高瑛俏，沈夢佳，孫宇梁

（湖州師范學院理學院，浙江湖州313000）

為了研究RFQ冷卻聚束器、彭寧阱等核物理實驗設備中離子的運動情況，從大學物理課本中的理想氣體的微觀模型出發(fā)，建立了用于模擬離子在氣體分子中運動的硬球碰撞模型.該模型通過計算離子在運動過程中與氣體分子的碰撞概率、碰撞后的運動速度，以及大量次數(shù)的模擬來研究離子在氣體中的運動情況.通過比較模擬結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)，得出模型適用于離子能量較低（低于約5 e V/u）的情況，這是因為模型中離子與氣體分子的作用僅被當作彈性碰撞來處理.RFQ冷卻聚束器、彭寧阱等核物理實驗設備中離子的入射能量在模型的適用范圍內(nèi)，因此使用硬球碰撞模型并考慮設備所產(chǎn)生的電磁場對離子的作用，可研究離子在這些設備中的運動情況.

離子；緩沖氣體；硬球碰撞；適用范圍

在核物理研究領域，一些實驗設備在運行時需要對離子進行冷卻.由于緩沖氣體具有將離子冷卻至其熱力學溫度的特性，而且實現(xiàn)方法相對簡單，因此緩沖氣體冷卻是諸多實驗設備最常采用的冷卻方法.例如，在緩沖氣體和四極交變電場的共同作用下，RFQ冷卻聚束器可實現(xiàn)降低束流能量、能散和發(fā)射度的效果［1-4］，用于原子核質(zhì)量精確測量的彭寧離子阱也是通過緩沖氣體和激發(fā)場的作用改變離子的運動狀態(tài)［5］.在研制這些實驗設備之前，需對設備運行的整個過程進行模擬，通過在模擬過程中不斷調(diào)試確定出運行時所需設定的各項參數(shù)［6］.為了在模擬過程中體現(xiàn)緩沖氣體對離子的作用效果，需要建立離子在緩沖氣體中的運動模型.

在《大學物理》課程的《氣體動理論》這一章內(nèi)容里，為了求得理想氣體的壓強公式以及與大量分子運動有關的一些物理量的平均值（如平均能量、平均速度、平均碰撞次數(shù)等），建立了一個理想氣體的微觀模型，該模型提出以下幾點假設［7］：①把分子視為質(zhì)點；②忽略了分子間的長程力；③分子的動能較低時，把分子間的碰撞均視為完全彈性碰撞；④分子的運動遵從經(jīng)典力學的規(guī)律.在此微觀模型的基礎上，可以建立一個理論模型，模擬離子在氣體中運動的過程.因為模型中離子與氣體分子的碰撞均被視為完全彈性碰撞，所以把該模型稱為硬球碰撞模型.

1 建立模型

用硬球碰撞模型對離子在氣體中的運動進行模擬時，需執(zhí)行一定數(shù)目的時間間隔.在每一個時間間隔中，進行圖1中所示的幾個步驟：計算發(fā)生碰撞的概率、判斷是否發(fā)生碰撞、離子做勻速直線運動直至下一時間間隔（若發(fā)生碰撞需計算碰撞后離子的速度，碰撞不發(fā)生則保留之前的速度）.每個時間間隔的時長被稱為時間步長（d t），d t越小，模擬的精度越高，當然計算量也越大.這里分別對幾個步驟進行介紹.

Fig. 1 The flow chart of the hard-sphere collision model

1.1 計算碰撞概率和判斷碰撞是否發(fā)生

課本已推導得到，分子平均碰撞次數(shù)（單位時間內(nèi)一個氣體分子和其它氣體分子碰撞的平均次數(shù)）為：［7］

其中：d為氣體分子的有效直徑；u-為某一氣體分子相對其他分子運動的平均速率；n為氣體分子數(shù)密度.若換成是離子在氣體中的運動，它的平均碰撞次數(shù)應當為：

其中：rion、rgas為離子、氣體分子的范德瓦爾斯半徑；c為離子相對氣體分子運動的平均速率.因為氣體分子的速率呈Maxwell分布，所以c值要由積分求平均得到：

令在一個時間步長的時間里離子發(fā)生碰撞的概率為f.因為在一個時間步長里，做勻速直線運動的離子移動距離為：

而離子在移動距離d x后，碰撞概率的增加量d f與1-f的比值，應等于d x與平均自由程的比值：

從而得到發(fā)生碰撞的概率為：

模擬時用rand（）函數(shù)產(chǎn)生0～1的隨機數(shù)，當隨機數(shù)小于f時碰撞發(fā)生.

1.2 計算碰撞后離子的速度

離子入射到氣體中后，與離子發(fā)生碰撞的氣體分子的運動速度不僅是服從Maxwell分布，而且其分布概率還與離子相對氣體分子的速度v'ion=vion-vgas成正比，即成正比，即

因此，可用這樣的方法產(chǎn)生與離子發(fā)生碰撞的氣體分子的速度：先按Maxwell分布產(chǎn)生一個速度vgas，再決定是否采納這個速度，采納這個速度的概率與vion-vgas的大小成正比.

引入?yún)?shù)R表示離子與氣體分子的碰撞程度，R等于x（如圖2所示，即離子與氣體分子的質(zhì)心距離在v'ion的垂直方向上的投影）與離子、氣體分子半徑之和的比值.R的取值范圍為［0，1），0表示離子與氣體分子對心碰撞，1表示兩者擦邊而過.R的概率密度f（R）是與2πR d R（即半徑為R的圓環(huán)面積）成正比的，乘以歸一化常數(shù)后得f（R）=2R，知道概率后即可通過產(chǎn)生隨機數(shù)來產(chǎn)生R的值：

因為R=1時離子與氣體分子擦邊而過碰撞不發(fā)生，所以為了不讓R等于1，在式（9）中乘以0.999 9.令θ為碰撞時v'ion方向與離子原子質(zhì)心連線的夾角，有：

Fig. 2 The geometrical illustration of ion and gas molecule's collision

但僅有θ還不能完全確定碰撞時離子的運動方向，因此用隨機函數(shù)產(chǎn)生另一個方向角：

離子相對氣體分子的運動速度為v'ion在質(zhì)心連線方向上的分量為vr=v'ioncosθ，在垂直質(zhì)心連線方向上的速度分量為vt=v'ionsinθ.由動量守恒和能量守恒可得：

解得碰撞后離子相對氣體分子的運動速度在質(zhì)心連線方向上的分量為：

由兩個方向角θ和φ就可以推得碰撞后離子各個方向的速度分量.

1.3 進行大量的模擬求平均值

大量分子作熱運動時具有一種有別于力學規(guī)律性的統(tǒng)計規(guī)律性，因此可以用統(tǒng)計的方法求出與大量分子運動有關的一些物理量的平均值，即進行大量的模擬，把得到的數(shù)據(jù)求平均值，進而從模擬結(jié)果中得出結(jié)論.建立好理論模型后，需要編輯程序在計算機上運行，SIMION 8.0是用來模擬離子運動的專業(yè)軟件，運行時可畫出離子的運動軌跡［8］.此外，用Mathematica、C++、Forture等軟件也可以編程進行模擬.

2 確定模型適用范圍

模型建立后，為了確定模型的適用范圍，需把模擬得到的結(jié)果與實驗測量的結(jié)果進行比較，這些比較量可以是離子的射程、能損、偏轉(zhuǎn)角度等.射程為離子從入射到最終停止在氣體中所經(jīng)過的路程，但由于氣體分子的熱運動以及離子與氣體分子的不斷碰撞，離子不可能完全靜止下來，因此取離子從入射到達到熱運動速度時所經(jīng)過的路程為射程.由于目的是確定模型適用的離子能量區(qū)間，而不對氣體壓強（或密度）進行專門的考慮，定義阻止距離（Stopping range）這一概念，它等于射程乘以氣體密度，這樣就消除了氣體壓強（或密度）的因素.RFQ冷卻聚束器、彭寧阱等設備通常用氦氣作為緩沖氣體［1-5］，因此選取氦氣作為模擬的氣體對象，另選擇40Ar+、133Cs+、201Hg+分別代表較輕質(zhì)量、中等質(zhì)量和很重質(zhì)量的三種離子.圖3是模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的比較，橫坐標是離子的每核子入射能量，縱坐標為阻止距離，模擬得到的數(shù)據(jù)點的誤差來源于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計誤差.由SRIM軟件［9］計算得到的數(shù)據(jù)被作為“實驗數(shù)據(jù)”使用（Paul and Schinner把收集到的大量實驗數(shù)據(jù)與SRIM計算結(jié)果進行比較，發(fā)現(xiàn)對于所有不同種類的離子、在不同的能量區(qū)域，SRIM計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)都符合的很好［10］）.從圖3中可以看出，在離子能量低于約5 eV/u的時候，硬球碰撞模型模擬得到阻止距離與SRIM的數(shù)據(jù)符合得比較好，也就是說，硬球碰撞模型可以用于模擬能量小于5 eV/u的離子在He氣中的運動.模型不適用于更高的能量范圍是由于當能量更高時，離子與氣體分子的作用不僅僅是簡單的彈性碰撞，還存在其它的相互作用，如分子間的長程相互作用、離子對氣體分子的電離和激發(fā)作用、離子與氣體分子的原子核間的庫倫作用和碰撞（彈性和非彈性）等.因此，若想將模型的適用范圍擴展到更高的能量范圍，需在模型中添加這些相互作用.RFQ冷卻聚束器、彭寧阱等核物理實驗設備中離子的入射能量在模型適用的能量范圍內(nèi)［1-5］，因此使用該模型并考慮設備所產(chǎn)生的電磁場對離子的作用后，可研究離子在這些設備中的運動情況.

Fig. 3 The stopping ranges of three ions in He- gas as a function of ion's energy per nucleon

射程（R）是較容易通過模擬得到的數(shù)據(jù)量，但通過比較射程來確定模型適用范圍易產(chǎn)生誤差.這是因為，要得到離子的射程，需要模擬離子由初始能量降到熱運動能量的整個過程，若某種模型在低能范圍是不適用的，則可能對從整個過程模擬得到的射程值產(chǎn)生影響.比如說，模型在能量E 2附近是不適用的，對于離子從能量E 1（E 1＜E 2）降到熱運動能量所走過的路程（射程），實際值和模擬得到的值分別為x1，x'1（x1≠x'1）；對于離子從能量E 2降到能量E 1所走過的路程（射程），實際值和模擬得到的值分別為x2，x'2（x2≠x'2），可能出現(xiàn)x1+x2≈x'1+x'2的情況，從而得出在能量E 2附近模型是適用的錯誤結(jié)論.若想更精確的確定出模型的適用范圍，可通過比較E-d E/d x曲線來確定范圍.但d E/d x（離子行進單位距離所損失的能量）這個數(shù)據(jù)不能直接通過模擬得到，為了得到d E/d x，需先根據(jù)射程數(shù)據(jù)擬合得到函數(shù)E（R），再把E（R）對R求導，得到d E/d x（R）.

3 離子間的庫倫相互作用

在進行核物理實驗時，從重離子加速器進入到RFQ冷卻聚束器中的離子數(shù)目較多，在用于去除雜質(zhì)離子的純化彭寧阱中的離子數(shù)目也不只一個，對于這些情況，離子之間的庫倫力是需要考慮的.因此，在模型中加入離子之間庫倫力效應，模擬結(jié)果將會更符合實際情況.

為了在模型中添加入離子之間庫倫力的效應，在程序每運行一個時間步長后，讀出每個離子的位置，根據(jù)離子的位置計算出該時刻其余離子對所研究離子的總的庫侖力作用，在下一個時間步長里，認為該庫倫力是不變的，直到下一個時間步長結(jié)束，再重新確定所有離子位置后再算出新的庫侖力，如此循環(huán).該方法所考慮的庫倫力效應比較符合實際情況，其誤差由時間步長的大小決定.

4 總結(jié)

從大學物理課本中理想氣體的微觀模型出發(fā)，建立了模擬離子在氣體分子中運動的硬球碰撞模型.該模型通過計算離子在運動過程中與氣體分子的碰撞概率、碰撞后的運動速度，以及大量的重復模擬來研究離子在氣體中的運動情況.由于只把離子與氣體分子的作用當做彈性碰撞來處理，因此該模型僅適用于入射離子能量較低（低于5 eV/u）的情況.RFQ冷卻聚束器、彭寧阱等核物理實驗設備中離子的入射能量在該范圍內(nèi)，因此使用硬球碰撞模型并考慮設備所產(chǎn)生的電磁場對離子的作用后，可研究離子在這些設備中的運動情況.若想將模型的適用范圍擴展到更高的能量范圍，需在模型中添加電離、激發(fā)、長程等相互作用.

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On the Hard-Sphere Collision Model Used to Simulate the Ion's Motion in Buffer Gas

GAO YINGqiao，SHEN Mengjia，SUN Yuliang（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

In order to study the ion's motion in Radio frequency quadrupole（RFQ）cooler and buncher and Penning trap，a hard-sphere collision model was built base on the ideal gas's microscopic model. The model can be used to simulate and study the ion's motion in gas by calculating the probability of collision，velocity after the collision and a large number of simulations.By comparing the simulated data with experimental data，it found that the model should be used when the ion's energy is less than 5 eV/ u，because the effect of ion and gas was treated as elastic collision.The energy of ions in RFQ cooler and buncher and Penning trap is in range of the model's application，so the model can be used to study the ion's motion in these equipments after considering the effect of the electromagnetic field produced by equipment.

ion；buffer gas；hard-sphere collision；range of application

O571.6

A

1009-1734（2016）04-0035-05

［責任編輯 邵圣文］

2016-03-12

國家自然科學基金（11405054）；湖州師范學院“大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃”（2015-124）.

孫宇梁，講師，博士，研究方向：原子核物理.E-mail：sunyl@hutc.zj.cn