白　靜，姜愛(ài)民，戴妍峰

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)，北京　100012；2. 中國(guó)科學(xué)院空間天文與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100012；3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京　100049)

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Golay3型光學(xué)稀疏孔徑系統(tǒng)退化圖像的頻率信息提取及合成研究*1

白靜1,2,3，姜愛(ài)民1,2，戴妍峰1,2

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)，北京100012；2. 中國(guó)科學(xué)院空間天文與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100012；3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

摘要：利用組成星座的小衛(wèi)星，分別攜帶分離的子望遠(yuǎn)鏡和合光成像望遠(yuǎn)鏡，構(gòu)成Fizeau型光學(xué)綜合孔徑干涉系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)高分辨率的面源目標(biāo)成像是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一。這種光干涉成像系統(tǒng)，由于稀疏度較大，UV覆蓋不全，即空間頻率采樣不連續(xù)，表現(xiàn)為系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)有零值存在。要克服UV覆蓋不全的影響，獲得等效的大孔徑望遠(yuǎn)鏡成像效果，需要改變子孔徑的空間排布，獲得不同基線條件下的圖像，進(jìn)行空間頻率信息的提取和合成，最后采用逆濾波的方法達(dá)到提高圖像質(zhì)量的目的。在分析單子孔徑傳遞函數(shù)與系統(tǒng)傳遞函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，優(yōu)化子孔徑的排布方式，采用不同的頻域?yàn)V波器將不同基線獲得的圖像中信噪比高的頻率區(qū)域提取出來(lái)進(jìn)行合成，再變換到空域并進(jìn)行逆濾波處理，得到改善的合成圖像。仿真結(jié)果顯示，當(dāng)?shù)玫降母缮鎴D信噪比較低時(shí)，該方法可以有效地提高合成圖像的質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：稀疏；孔徑圖像；復(fù)原頻域?yàn)V波；圖像合成

由于孔徑的衍射效應(yīng)，傳統(tǒng)望遠(yuǎn)鏡的成像分辨率受限于入瞳口徑。受加工工藝和成本等因素的制約，光學(xué)系統(tǒng)的口徑不可能無(wú)限增大[1]。為了解決這個(gè)問(wèn)題，研究人員提出了光干涉的方法。隨著技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)izeau型光干涉技術(shù)因具有一定的成像視場(chǎng)和對(duì)面源短時(shí)成像的特點(diǎn)，受到越來(lái)越多的重視，成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一。早在1996年，美國(guó)空軍武器實(shí)驗(yàn)室就啟動(dòng)了用于建立對(duì)地觀測(cè)的可展開式望遠(yuǎn)鏡陣列UltraLITE[2]項(xiàng)目。

結(jié)合近年來(lái)蓬勃發(fā)展的小衛(wèi)星星座技術(shù)，人們提出了基于小衛(wèi)星的Fizeau型光干涉成像系統(tǒng)?；痉椒ㄊ牵涸诿總€(gè)小衛(wèi)星上各自攜帶一臺(tái)小口徑望遠(yuǎn)鏡，在中心的主衛(wèi)星上攜帶合光成像望遠(yuǎn)鏡，子衛(wèi)星和主衛(wèi)星在空間上按一定的位置排布，來(lái)自各子望遠(yuǎn)鏡的光束在合光成像望遠(yuǎn)鏡的焦面上相干疊加，干涉成像。這種形式的光干涉成像系統(tǒng)，受小衛(wèi)星避撞設(shè)計(jì)的需要，以及小衛(wèi)星有效載荷質(zhì)量和體積的限制，子望遠(yuǎn)鏡的口徑和要實(shí)現(xiàn)的衍射極限分辨率所對(duì)應(yīng)的口徑相比，必然差別很大，屬于稀疏度很大的光學(xué)綜合孔徑系統(tǒng)。此時(shí)，由于UV覆蓋不全，系統(tǒng)不可避免地對(duì)相應(yīng)的空間頻率在采樣時(shí)出現(xiàn)缺失。為了克服UV覆蓋不全的影響，對(duì)面源目標(biāo)的空間頻率信息進(jìn)行更好的采樣，可以通過(guò)改變子衛(wèi)星和主衛(wèi)星的相對(duì)位置來(lái)改變系統(tǒng)采樣頻率的覆蓋范圍，獲得之前缺失的空間頻率采樣信息，即獲得不同基線布局下的干涉圖。再經(jīng)過(guò)圖像合成和逆濾波處理，最終得到包含目標(biāo)較完整信息的圖像。通過(guò)這樣的方法，使合成的圖像分辨率等效為一個(gè)更大口徑光學(xué)系統(tǒng)的分辨率，達(dá)到高分辨率成像的目的。

通常的合成方法是將這些在不同基線下得到的圖像在對(duì)齊的基礎(chǔ)上[3]進(jìn)行疊加再解卷積，但是由于采集的圖像受子望遠(yuǎn)鏡口徑較小、積分時(shí)間受限等各種因素的影響，信噪比通常都不高。仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)玫降母缮鎴D在信噪比較低的情況下，采用直接疊加再解卷積的處理方法效果不理想。為了提高圖像質(zhì)量，本文提出將不同基線下獲得的圖像通過(guò)相應(yīng)的頻域?yàn)V波器，將高信噪比的頻域信息提取出來(lái)再合成，以減少合成圖像中包含的噪聲，從而獲得更好的合成圖像。

1原理概述

成像過(guò)程可以看作是目標(biāo)物體頻率函數(shù)F(fx,fy)與光學(xué)傳遞函數(shù)OTF(fx,fy)乘積后輸出像頻譜函數(shù)G(fx,fy)。在非相干光照射下，衍射受限系統(tǒng)可認(rèn)為是只改變了輸入的各頻率光強(qiáng)分量而不改變它們的位相，光學(xué)傳遞函數(shù)在數(shù)值上等于調(diào)制傳遞函數(shù)MTF：

(1)

其中，?表示自相關(guān)符號(hào)；P(λffx,λffy)是孔徑函數(shù)。

稀疏孔徑成像系統(tǒng)在理想情況下可以看作是由N個(gè)直徑為d的圓形孔徑構(gòu)成，在數(shù)學(xué)上可以表示為一個(gè)子孔徑光瞳函數(shù)與δ函數(shù)陣列的卷積，即

(2)

其中，P(x,y)是光瞳函數(shù)；N是子孔徑個(gè)數(shù)；circ()是圓域孔徑函數(shù)；(xn,yn)是第n個(gè)子孔徑光瞳的中心坐標(biāo)。

Golay3是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的二維陣列結(jié)構(gòu)，由3個(gè)圓形子孔徑組成，而且這3個(gè)圓心依次位于一個(gè)等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上[4]。

從(2)式可以推導(dǎo)出Golay3型稀疏孔徑的歸一化調(diào)制傳遞函數(shù)為

(3)

其中，(xi-xj,yi-yj)表示子孔徑的相對(duì)位置。

根據(jù)(3)式，可以將稀疏孔徑系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)看作是由分布在不同位置上，強(qiáng)度為1/3倍(零頻除外)的單個(gè)子孔徑的調(diào)制傳遞函數(shù)組合而成。除零頻外，其它調(diào)制傳遞函數(shù)分布的位置都與子孔徑排布有關(guān)，也就是說(shuō)如果已知調(diào)制傳遞函數(shù)的位置分布就可以推算出子孔徑的位置排布。當(dāng)系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)對(duì)空間采樣頻率覆蓋的一些區(qū)域出現(xiàn)零值或嚴(yán)重衰減時(shí)，就可以找到相應(yīng)的空間位置增加孔徑排布進(jìn)行優(yōu)化，最后將這些在不同排布(即不同基線)下得到的退化圖進(jìn)行合成處理。

稀疏孔徑系統(tǒng)主要的噪聲有光子噪聲及CCD噪聲等，總噪聲分布近似為高斯分布，一般認(rèn)為是零均值的高斯白噪聲[5]，即功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布的噪聲。已知單幅退化圖的噪聲功率為ni，如果將退化圖直接疊加就相當(dāng)于直接疊加了∑ini倍的噪聲。

圖1某子孔徑排布的調(diào)制傳遞函數(shù)示意圖

Fig.1The MTF of a sub-aperture configuration

因此，本文針對(duì)各種基線排布定義了相應(yīng)的頻域?yàn)V波器Hi，將每幅圖中頻域信噪比較高部分的信號(hào)提取出來(lái)再合成。由于每幅干涉圖的濾波器Hi加權(quán)為1，而且范圍不完全重復(fù)，這樣得到的最終合成圖的噪聲量∑iHi·ni明顯小于通過(guò)直接疊加得到的，信噪比有了顯著的提升。

2圖像頻率提取及合成方法

設(shè)單個(gè)子孔徑直徑為1 m。從系統(tǒng)子孔徑相切開始，以子孔徑直徑為間距向外挪動(dòng)子孔徑兩次共得到3種不同的排布。此時(shí)外接最大包圍圓直徑為6.15 m。根據(jù)這3種排布得到了3種不同分布的調(diào)制傳遞函數(shù)。由于發(fā)現(xiàn)空間頻率信息分別在排布1與排布2、排布2與排布3截止頻率交接處附近明顯衰減，所以增加新的子孔徑排布4和5，對(duì)這兩交界附近的調(diào)制傳遞函數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償和增強(qiáng)。優(yōu)化后，這5種排布的調(diào)制傳遞函數(shù)在最大截止頻率方向的部分截面示意圖(在同一坐標(biāo)系) 如圖2。

與稀疏孔徑系統(tǒng)成像質(zhì)量相當(dāng)?shù)膯慰讖街睆椒Q作等效口徑。由于稀疏孔徑系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)與單孔徑系統(tǒng)相比，分布復(fù)雜，形狀不規(guī)則，目前尚沒(méi)有計(jì)算等效口徑的統(tǒng)一方法[6]。從圖2可以看出，當(dāng)前系統(tǒng)最大截止頻率5.4/λf(m)明顯小于系統(tǒng)包圍圓所對(duì)應(yīng)的6.15/λf(m)。所以選最大截止頻率對(duì)應(yīng)的口徑作為系統(tǒng)等效口徑，此處為5.4 m。

在這5種不同的子孔徑排布下，獲取5幅不同的圖像(記作g1、g2、g3、g4和g5)。將這5幅圖像通過(guò)傅里葉變換到頻域(記作G1、G2、G3、G4和G5)。根據(jù)各自調(diào)制傳遞函數(shù)的分布，分別定義各自的頻域?yàn)V波器，如(4)～(8)式。其中，H1為低通濾波器；H2、H3、H4和H5分別是不同通帶范圍的帶通濾波器。

(4)

圖2優(yōu)化后各排布的調(diào)制傳遞函數(shù)部分截面圖

Fig.2The optimized sectional view of partial MTFfor every sub-aperture configuration

利用這些頻域?yàn)V波器可以將5幅圖中信噪比較好的頻率信息提出來(lái)。提取及合成方法如圖3。圖像頻譜合成方法如(9)式：

G合成=G1H1+G2H2+G3H3+G4H4+G5H5.

(9)

頻譜直接疊加如(10)式：

(10)

圖3空間頻率信息提取及合成. (a)原始圖像頻率信息；(b)從孔徑排布1提取的頻率信息；(c)、 (d)、 (e)和(f)分別對(duì)應(yīng)從孔徑排布2、3、4和5提取的頻率信息；(g)合成圖像頻率信息

Fig.3Frequency extraction and synthesis. (a) The frequency of the original objective image; (b) The partial frequency extracted from the degraded image of configuration 1; (c) (d) (e) and (f) The corresponding partial frequency extracted from the degraded image of new configuration 2, 3, 4 and 5; (g) The final synthesized degraded image

在仿真實(shí)驗(yàn)中引入加性高斯白噪聲，當(dāng)信噪比為35 dB和25 dB時(shí)分別得到退化圖如圖4。

圖4不同方法得到的仿真圖像. (a)等效口徑圖像；(b)直接疊加得到的合成圖像；(c)頻域提取方法得到的合成圖像

Fig.4Degraded images obtained by different methods. (a) The degraded image obtained by effective Diameter method; (b) The synthesized degraded image obtained by overlapping frequency directly; (c) The synthesized degraded image obtained by frequency filtrations

從圖4可以看出，當(dāng)圖像信噪比下降后，直接疊加的合成圖像像質(zhì)逐漸變差，此時(shí)采用頻域提取的合成圖像像質(zhì)占優(yōu)。

3圖像復(fù)原(解卷積)及評(píng)價(jià)

由不同基線圖像合成的圖像需經(jīng)過(guò)解卷積才能更好地恢復(fù)圖像。逆濾波是解卷積最直接的方法，設(shè)G(u,v)為退化圖像的傅里葉譜，H(u,v)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的傅里葉譜，則估計(jì)的原始圖像的傅里葉譜F＾(u,v)為

(11)

維納濾波(最小均方誤差濾波)是對(duì)逆濾波方法的改進(jìn)。維納濾波方法綜合考慮了退化函數(shù)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，以減少噪聲的影響，如(12)式：

(12)

其中，*表示共軛；Sn(u,v)/Sf(u,v)是噪聲功率譜和原始信號(hào)功率譜的比值。當(dāng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性未知時(shí)，常用一個(gè)常數(shù)K近似。若γ=1，W(u,v)是維納濾波器；若γ=0，則系統(tǒng)變成了單純的去卷積濾波器。

由于圖像經(jīng)過(guò)頻率提取和合成后，合成圖的噪信比有較明顯的起伏規(guī)律。因此，在去解卷積濾波時(shí)，對(duì)維納濾波器也進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)：在對(duì)應(yīng)不同的區(qū)域，根據(jù)合成圖噪信比的不同采用了不同的K值。去卷積后的復(fù)原圖如圖5。

圖5不同方法得到的復(fù)原效果. (a)等效滿口徑復(fù)原圖；(b)直接疊加得到的復(fù)原圖；(c)頻域提取方法得到的合成復(fù)原圖
Fig.5Reconstructional images obtained by different methods. (a) The reconstructional image obtained by effective Diameter method; (b) The reconstructional synthetic image obtained by overlapping frequency directly; (c) The reconstructional synthetic image obtained by frequency filtrations

對(duì)于圖像的復(fù)原效果，除了主觀判斷外，采用傳統(tǒng)的均方誤差(Mean Squared Error, MSE)法和當(dāng)前國(guó)際上比較流行的SSIM(Structural Similarity)法。均方差法基于誤差理論，將圖像看作是一個(gè)個(gè)孤立的點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的灰度值差異而對(duì)圖像進(jìn)行評(píng)測(cè)，見(jiàn)(13)式。SSIM法是對(duì)圖像在亮度、對(duì)比度、結(jié)構(gòu)3個(gè)層面上分別進(jìn)行量化，通過(guò)加權(quán)相乘獲得結(jié)構(gòu)相似值，綜合考慮了人類視覺(jué)對(duì)圖像結(jié)構(gòu)性信息的提取功能，比均方差法更符合人類的視覺(jué)特性[7]，見(jiàn)(14)式：

(13)

(14)

其中，f(x,y)表示參考圖像；f＾(x,y)表示待評(píng)價(jià)圖像；α、β、γ為加權(quán)系數(shù)；l(f,f＾)、c(f,f＾)、s(f,f＾)為相應(yīng)的亮度、對(duì)比度、結(jié)構(gòu)比較函數(shù)。

均方根值越小，表示待評(píng)價(jià)圖像和參考圖像越相似；結(jié)構(gòu)相似度均值越大，則表示結(jié)構(gòu)相似值越高，說(shuō)明待評(píng)價(jià)圖像和參考圖像的相似度越高。

在不同信噪比下得到的退化圖經(jīng)過(guò)解卷積復(fù)原后，分別計(jì)算均方根和結(jié)構(gòu)相似度均值，見(jiàn)表1。

結(jié)合圖5和表1可以看出，當(dāng)信噪比為35 dB時(shí)，對(duì)合成圖(c)的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)比對(duì)直接疊加圖像(b)的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)只是稍微好一點(diǎn)，從主觀上觀察，人的眼睛基本分不出哪幅圖更好。

然而當(dāng)信噪比下降到25 dB時(shí)，對(duì)合成圖(c)客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)就明顯比對(duì)直接疊加圖像(b)的客觀評(píng)價(jià)值要好一些。在用人眼進(jìn)行主觀評(píng)價(jià)時(shí)，能明顯看出合成圖(c)中的圖像細(xì)節(jié)更清晰。

表1各退化圖客觀評(píng)價(jià)計(jì)算結(jié)果

Table 1Objective evaluation results foreach degraded image

信噪比35圖(a)圖(b)圖(c)MSSIM0.97680.79190.8003MSE0.00060.00330.0031信噪比25圖(a)圖(b)圖(c)MSSIM0.91660.66300.7441MSE0.00190.00350.0030

圖(a)是以原圖為評(píng)價(jià)參考， 圖(b)和圖(c)都是以圖(a)為評(píng)價(jià)參考
Fig (a) is with reference to the original image; (b) and (c) are with reference to Fig (a)

4結(jié)論

當(dāng)原始圖像的信噪比受限時(shí)，利用頻域抽取算法將在不同子孔徑排布下得到的干涉圖合成為一幅包含較完整目標(biāo)信息的退化圖像，再經(jīng)過(guò)改進(jìn)的維納濾波算法得到了最終較清晰的復(fù)原圖像。由于保留了各幅干涉圖頻域中信噪比較高的部分，在解卷積復(fù)原后，其圖像質(zhì)量比直接疊加得到的有明顯提升，采用人眼判讀和客觀評(píng)價(jià)的方法都顯示，該方法能更好地恢復(fù)原圖像的結(jié)構(gòu)信息。

致謝：本文得到王景宇研究員、薛建偉博士、宋衛(wèi)強(qiáng)工程師的幫助，在此一并致謝。

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*基金項(xiàng)目：國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃 (863計(jì)劃) (2013AA122603) 資助.

收稿日期：2015-11-27；

修訂日期：2016-01-06

作者簡(jiǎn)介：白靜，女，碩士. 研究方向：光學(xué)綜合孔徑圖像處理. Email: jbai@nao.cas.cn

中圖分類號(hào)：TN911.73

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào):1672-7673(2016)03-0351-07

Frequency Extraction and Degraded Image Synthesis for Golay3 Type Optical Sparse-Aperture Systems

Bai Jing1,2,3, Jiang Aimin1,2, Dai Yanfeng1,2

(1. National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Science, Beijing 100012, China; 2. Key Laboratory of Space Astronomy and Technology, National Astronomical Observatories, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100012, China; 3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China, Email: jbai@nao.cas.cn)

Abstract:A Fizeau-typesparse-aperture imaging system made of a constellation of telescope-bearing satellites can potentially achieve extremely high resolution. But in such a system, the Modulation Transfer Function (MTF) usually contains a zero value. This means that the system fails to acquire a particular spatial frequency. To overcome this problem, we acquire multiple degraded images by repeatedly changing the sub-aperture configuration and then synthesize their spatial frequencies to create a single improved image. We first analyze the MTFs between each individual sub-aperture and the whole sparse aperture system. Then, we design new sub-aperture configurations that acquire more spatial frequency and use frequency-domain filters to extract the high-SNR part from each degraded image. Finally, we synthesize these frequencies before image reconstruction. Our results demonstrate that this method effectively improves the quality of the final synthesized image by obtaining as much spatial frequency information from all degraded images as possible.

Key words:Sparse aperture; Image reconstruction; Frequency-domain filtering; Image synthesis

CN 53-1189/PISSN 1672-7673