何曉霞，劉　熙，王志明

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

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右刪失數(shù)據(jù)下回歸函數(shù)的局部組合分位數(shù)回歸估計

何曉霞，劉熙，王志明

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

本文研究右刪失數(shù)據(jù)情形下的組合分位數(shù)回歸模型，采用局部多項式逼近來估計回歸函數(shù)，得到回歸函數(shù)在某一點的估計量的漸近正態(tài)性和區(qū)間估計，并通過蒙特卡洛模擬驗證了所提方法的有限樣本性質(zhì)。

刪失數(shù)據(jù)；回歸函數(shù)；分位數(shù)回歸；漸近正態(tài)性；局部多項式；非參數(shù)回歸

在非參數(shù)統(tǒng)計中，通常用一個光滑函數(shù)來描述協(xié)變量X和響應(yīng)變量Y之間的關(guān)系，而分位數(shù)回歸(quantileregression)被廣泛應(yīng)用于探索二者之間的潛在關(guān)系。分位數(shù)回歸的基本思想是根據(jù)因變量的條件分位數(shù)對自變量進行回歸，從而得到分位數(shù)的回歸模型。由于分位數(shù)回歸可以刻畫響應(yīng)變量更多的分布特征，因此引起了研究人員的大量關(guān)注。Zou等[1]針對分位數(shù)回歸估計效率容易受到分位數(shù)特定取值影響的問題而提出了組合分位數(shù)回歸，該方法的優(yōu)勢在于能綜合多處分位數(shù)回歸的信息。局部多項式方法是一類性能良好的非參數(shù)回歸估計方法，Kai等[2]提出了局部多項式組合分位數(shù)回歸，并證明了當(dāng)誤差服從非正態(tài)分布時，該方法比普通的局部最小二乘估計方法具有更高的估計效率。Jiang等[3]提出了單指標(biāo)模型局部線性組合分位數(shù)回歸估計。呂亞召等[4]通過回歸函數(shù)的多項式逼近，研究了部分線性單指標(biāo)模型的組合分位數(shù)回歸和變量選擇。

上述研究都是基于完全數(shù)據(jù)，但在實際應(yīng)用中，尤其是在生存分析以及可靠性理論分析中，往往得不到完整的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)存在刪失。Koul等[5]提出了在誤差分布未知的情況下刪失數(shù)據(jù)的分位數(shù)回歸模型。Wang等[6]基于左截斷數(shù)據(jù)得到回歸函數(shù)的局部組合分位數(shù)回歸估計的漸近正態(tài)性質(zhì)。關(guān)于刪失數(shù)據(jù)的中位數(shù)回歸分析也有不少研究成果[7-9]。

本文將考慮右刪失數(shù)據(jù)情形下回歸函數(shù)的估計，采用局部多項式逼近方法構(gòu)造相應(yīng)的損失函數(shù)。由于數(shù)據(jù)類型不同導(dǎo)致?lián)p失函數(shù)存在差異，文獻[6]中的方法不能直接應(yīng)用，因此本文充分利用右刪失數(shù)據(jù)的K-M(Kaplan-Meier)估計的性質(zhì)，運用泰勒展開得到相應(yīng)估計量的漸近正態(tài)性。

1　問題描述

本文考慮的分位數(shù)回歸模型為

(1)

式中：X=(X1,…,Xp)T為協(xié)變量；對于給定的非負整數(shù)q，τk=k/(q+1),k=1,2,…,q；ck=F-1(τk)，其中，F(xiàn)為模型誤差εi的分布函數(shù)；g(·)是未知的可微函數(shù)。

理論上,損失函數(shù)為

(2)

式中：ρτk(u)=u[τk-I(u<0)]為τk∈(0,1)時的分位數(shù)損失函數(shù)，其中I(·)為示性函數(shù)。對于給定的樣本，當(dāng)Xi在x0的鄰域中時，g(Xi)可以線性近似表示為g(Xi)?g(x0)+g′(x0)(Xi-x0)，這樣，上述目標(biāo)函數(shù)可以局部線性表示為

其中ωi是以x0為中心的非負權(quán)重。為進一步簡化上述損失函數(shù)，令ak=ck+g(x0)，b=g′(x0)，在右刪失數(shù)據(jù)條件下觀測到數(shù)組(Yi,Xi,δi)，其中Yi=min(Ti,Ci)，δi=I(Ti≤Ci)，這里Ti為刪失時間變量；Ci是刪失變量，其分布函數(shù)為G。則損失函數(shù)為

(3)

2　模型假設(shè)及主要結(jié)果

為了估計模型中參數(shù)與未知函數(shù)的漸近性質(zhì)，需要如下正則性條件：

(A1)K(·)為非負有界的連續(xù)對稱密度函數(shù)，具有有界支撐[-M,M]；

(A3)函數(shù)g(·)為二階Lipschitz連續(xù)，且其二階導(dǎo)數(shù)有界；

(A4)X的密度函數(shù)fX(x)在x0連續(xù)，fX(x0)>0，0≤f(s|X=x)≤B0，B0為正常數(shù)；

(A5)模型誤差ε的密度函數(shù)f(·)為正且對稱，其二階導(dǎo)數(shù)有界；

(A6)窗寬hn滿足hn→0,nhn→∞；

(A7)對于?t∈[0,c]，Ρr(t≤T≤c)≥ζ0≥0，這里ζ0是常數(shù)。

定理2假定條件(A1～A7)成立，則有

3　定理的證明

3.1定理1的證明

其中，

因此

[Bni,k]2=[Bni,k]2I(Δi,k≥ε)+[Bni,k]2I(Δi,k<ε)。

一方面，

另一方面，

因此，

(4)

運用泰勒展開式，得到

因此

且

因此有

(5)

根據(jù)鞅中心極限定理，有

(6)

應(yīng)用凸引理[11]及二次漸近引理[12]，得到

(7)

因為

類似地，Cov(w1k,w21)→ν1λkk′(x0),Var(w21)→ν2λkk′(x0)，則應(yīng)用Cramér-Wald定理，有

(8)

式中：W2是均值為0的正態(tài)隨機變量。

因此可以得到

且

3.2定理2的證明

則可得

因此

進一步，由于

因此，有

定理2得證。

4　數(shù)值模擬

4.1相容性質(zhì)

運用蒙特卡洛模擬法檢驗局部組合分位數(shù)回歸(CQR)估計的有限樣本性質(zhì)，在分析中使用局部最小二乘(LS)估計作為比較對象。這里考慮模型誤差分別服從正態(tài)分布與非正態(tài)分布的隨機數(shù)據(jù)，模擬模型如下：

應(yīng)用定理2，漸近均方差(AMSE)定義為

使AMSE達到最小值的最優(yōu)窗寬為

針對每一種誤差分布，均分別運用局部LS和CQR(q分別取5、9、19)估計，記錄x0=0.75時估計量的偏差Bias、標(biāo)準(zhǔn)差Sd以及平均平方誤差比率(RASE)。RASE定義為

從表1～表3中可以看出：

(1)當(dāng)誤差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時，RASE值略低于1，表明局部組合分位數(shù)回歸估計與局部最小二乘估計的效率很接近；當(dāng)誤差服從非正態(tài)分布時，RASE值大于1，表明前者較后者的估計效率更高。

表1　εi～N(0,1)的模擬結(jié)果

表2　εi～t(3)的模擬結(jié)果

表3　εi～Cauchy(0,1)的模擬結(jié)果

(2)誤差分布、樣本容量和刪失率相同時，由Bias和Sd的數(shù)值可知CQR19的估計效率優(yōu)于CQR5和CQR9的估計效率，即分位數(shù)的組合數(shù)量越多，估計效率越高。

(3)誤差分布及樣本容量相同時，隨著刪失率的增加，估計量偏差與標(biāo)準(zhǔn)差也隨之增加，即刪失率越小，估計效率越高；

(4)誤差分布及刪失率相同時，樣本容量的增多能提高模型估計的精確性。

4.2置信區(qū)間估計

考慮模型誤差εi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的情況，模擬數(shù)據(jù)樣本容量n分別為200、800，模擬次數(shù)為400，數(shù)據(jù)刪失率為15%、30%、45%。分別運用局部LS和CQR(q=9)估計，記錄x0=0.75時的平均置信區(qū)間長度(AL)與區(qū)間覆蓋概率(CP)，見表4。

從表4中可以看出：

(1)對于給定的樣本容量與刪失率，CQR9比LS的平均置信區(qū)間長度小，同時CQR9的覆蓋概率更接近于95%，說明CQR9的估計性能更好；

(2)樣本容量越大、數(shù)據(jù)刪失率越小，則平均置信區(qū)間長度越小，覆蓋概率越接近于95%。

表4　置信水平為95%時的平均置信區(qū)間長度與覆蓋概率

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[責(zé)任編輯尚晶]

Localcompositequantileregressionestimatorofregressionfunctionwithrightcensoreddata

He Xiaoxia, Liu Xi, Wang Zhiming

(CollegeofScience,WuhanUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430065,China)

Thispaperstudiesthecompositequantileregressionmodelfortherightcensoreddata.Byapproximatingtheregressionfunctionwithlocalpolynomial,theasymptoticnormalityandintervalestimationoftheestimatorforthefunctionvalueatapointareobtained.ThefinitesampleperformanceoftheproposedmethodisverifiedbyMonteCarlosimulations.

censoreddata;regressionfunction;quantileregression;asymptoticnormality;localpolynomial;non-parametricregression

2015-12-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(11201356).

何曉霞(1979-)，女，武漢科技大學(xué)副教授，博士.E-mail:hexiaoxia@wust.edu.cn

O212.7

A

1674-3644(2016)04-0309-08