李克昭，李志偉，趙磊杰

(1.河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院,河南 焦作 454000；2.北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 450052)

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灰線性馬爾科夫模型在建筑物變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

李克昭1,2，李志偉1，趙磊杰1

(1.河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院,河南 焦作 454000；2.北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 450052)

摘要：針對(duì)傳統(tǒng)灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型在建筑物變形監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)中的擬合精度較差、預(yù)測(cè)精度較低和預(yù)測(cè)時(shí)間較短的問題，文中以傳統(tǒng)GM(1,1)、線性回歸和馬爾科夫模型為理論基礎(chǔ)，構(gòu)建了灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，并結(jié)合某建筑物變形監(jiān)測(cè)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用新陳代謝的計(jì)算模式進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果表明，灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度優(yōu)于單一的灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型和線性回歸預(yù)測(cè)模型，灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型具有預(yù)測(cè)精度高、預(yù)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)和穩(wěn)定性高的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：GM(1,1)模型；線性回歸模型；馬爾科夫模型；新陳代謝

對(duì)建筑物的變形監(jiān)測(cè)分析與預(yù)報(bào)是非常必要的。變形監(jiān)測(cè)的預(yù)報(bào)可用于指導(dǎo)建筑施工、確保施工質(zhì)量和得到建筑物變形的先驗(yàn)信息?；疑到y(tǒng)理論是研究數(shù)據(jù)貧乏、資料較少、不確定性問題的理論，非常適合于建筑物的變形監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)工作。

GM(1,1)模型是灰色理論的最簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)模型之一，它打破了回歸分析和概率統(tǒng)計(jì)的局限性，以灰色生成函數(shù)為基礎(chǔ)，以微分?jǐn)M合為核心的一種建模方法。但是GM(1,1)模型在構(gòu)建模型過程中受到隨機(jī)數(shù)據(jù)擾動(dòng)影響較大，構(gòu)建的模型穩(wěn)定性較差。近年來(lái)，很多學(xué)者就針對(duì)GM(1,1)模型的初值確定[1]、GM(1,1)背景值的構(gòu)建[2]和GM(1,1)模型殘差的修正[3-4]方面做了很多方法的嘗試。但是對(duì)單一模型進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)于提高預(yù)測(cè)精度相對(duì)來(lái)說(shuō)是緩慢的，同時(shí)組合幾個(gè)互補(bǔ)的預(yù)測(cè)模型可使提高預(yù)測(cè)精度達(dá)到立竿見影的效果。

線性回歸預(yù)測(cè)模型[5-7]根據(jù)事物成長(zhǎng)的規(guī)律性、事物發(fā)展的連續(xù)性以及事物因果的相關(guān)性對(duì)短時(shí)期的預(yù)測(cè)能夠取得非常好的效果，但對(duì)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的效果并不明顯。馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣可以有效反映出隨機(jī)數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，很大程度上彌補(bǔ)了GM(1,1)和線性回歸預(yù)測(cè)模型的局限性[8]。3種預(yù)測(cè)模型組合成灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型不僅提高了預(yù)測(cè)模型的精度和適用范圍，同時(shí)還能保證預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)定性。本文以傳統(tǒng)GM(1,1)、線性回歸和馬爾科夫預(yù)測(cè)模型為理論基礎(chǔ)，將提出灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，并結(jié)合某建筑物的變形監(jiān)測(cè)觀測(cè)資料，對(duì)組合預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

1灰線性馬爾科夫組合預(yù)測(cè)模型的建立

1.1灰線性GM(1,1)模型

假設(shè)一組原始數(shù)據(jù)序列，記為X(0)，

(1)

對(duì)數(shù)據(jù)X(0)序列進(jìn)行一次累加，生成的新數(shù)據(jù)序列記為X(1)，

(2)

(3)

式中：a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，其形式可以記為

(4)

(5)

將式(5)進(jìn)行累減計(jì)算得到灰線性GM(1,1)模型的擬合值和預(yù)測(cè)值。從式(5)中不難看出：當(dāng)m1=0時(shí)，預(yù)測(cè)方程為線性回歸方程；當(dāng)m2=0時(shí)，預(yù)測(cè)方程為傳統(tǒng)GM(1,1)預(yù)測(cè)方程。因此，灰線性GM(1,1)預(yù)測(cè)模型繼承了傳統(tǒng)GM(1,1)和線性回歸的優(yōu)點(diǎn)。

1.2灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型

1)計(jì)算波動(dòng)指數(shù)序列

(6)

2)劃分馬爾科夫狀態(tài)

(7)

式(7)表示為第k對(duì)象的波動(dòng)指數(shù)處于第i種狀態(tài)Ei;a1i,a2i分別表示為狀態(tài)Ei的上下界。因此，總的狀態(tài)集合表示為

3)構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

(8)

式中：mij(n)為狀態(tài)Ei經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移到達(dá)狀態(tài)Ej的次數(shù)，Mi為Ei出現(xiàn)的次數(shù)。由n步轉(zhuǎn)移概率元素Pij(n)構(gòu)成n步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(n)。

4)構(gòu)造未來(lái)狀態(tài)概率矩陣

(9)

式中選取離預(yù)測(cè)目標(biāo)最近的s個(gè)原始對(duì)象，按照從近到遠(yuǎn)的順序，所需的轉(zhuǎn)移步數(shù)分別為1,2,…,s，分別以各個(gè)對(duì)象所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為初始狀態(tài)，在n步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(n)中取各自所對(duì)應(yīng)的行向量Pi(n)=[Pi1(n),Pi2(n),…,Pis(n)],i∈s，從而構(gòu)成新的概率矩陣。

5)得出預(yù)測(cè)方程。

(10)

2灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型精度評(píng)定

表1　預(yù)測(cè)模型精度評(píng)價(jià)[8]

3實(shí)例計(jì)算與結(jié)果分析

本文采用文獻(xiàn)[7]中的居民樓變形監(jiān)測(cè)工程數(shù)據(jù)，該工程為廣州市某地產(chǎn)開發(fā)公司開發(fā)的新建居民樓。按照二等水準(zhǔn)的測(cè)量規(guī)范，獲得1#建筑物CJ1號(hào)點(diǎn)13期沉降累計(jì)觀測(cè)數(shù)據(jù)。本文利用前8期沉降累計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，分別用GM(1,1)模型、灰色線性回歸模型、灰線性回歸預(yù)測(cè)第9～13期沉降累計(jì)數(shù)據(jù)。CJ1號(hào)點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2　CJ1點(diǎn)的實(shí)測(cè)累計(jì)沉降量

3.1灰線性馬爾科夫模型數(shù)據(jù)計(jì)算

文獻(xiàn)[5-7]中表明，當(dāng)建模過程中的建模期數(shù)n=8，參數(shù)m=1,2,3,4時(shí)，模型擬合精度最優(yōu)。參考文獻(xiàn)[12]的新陳代謝計(jì)算模式，用表2的前8期數(shù)據(jù)構(gòu)建灰線性馬爾科夫模型，預(yù)測(cè)第9期數(shù)據(jù)為例，計(jì)算過程如下：

1)利用前8期數(shù)據(jù)構(gòu)建灰線性GM(1,1)模型

X(0)=[2.82,3.51,4.59,5.87,6.89,

8.37,10.99,12.59].

2)灰線性GM(1,1)模型建模生成模型擬合序列、殘差序列和波動(dòng)指數(shù)序列，同時(shí)計(jì)算可得第9期的預(yù)測(cè)值，如表3所示。

表3　灰線性GM(1,1)的計(jì)算結(jié)果

3)劃分馬爾科夫模型狀態(tài)。根據(jù)表3中的波動(dòng)指數(shù)劃分為4種狀態(tài)：E1:[-4,-2]，E2:[-2,0]，E3:[0,2]，E4:[2,6]。

模型值所處的狀態(tài)，如表4所示。

表4　模型值狀態(tài)的劃分

4)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣

5)計(jì)算第9期數(shù)據(jù)所處的狀態(tài)。第9期狀態(tài)的預(yù)測(cè)計(jì)算表如表5所示。

表5　第9期狀態(tài)預(yù)測(cè)表

從表5中可得，第9期的預(yù)測(cè)狀態(tài)為E4。

6)計(jì)算第9期的預(yù)測(cè)值。第9期的預(yù)測(cè)值為

3.2灰線性馬爾科夫模型數(shù)據(jù)結(jié)果分析

利用Matlab7.0軟件為平臺(tái)，按照上述計(jì)算步驟編寫程序，計(jì)算第9～13期的預(yù)測(cè)值，即：利用前8期觀測(cè)數(shù)據(jù)建模，得到第9期的預(yù)測(cè)值；然后去掉建模數(shù)據(jù)中第1期數(shù)據(jù)，加入第9期的預(yù)測(cè)值重新建模，計(jì)算第10期的預(yù)測(cè)值；依次類推，計(jì)算出第9～13期的預(yù)測(cè)值；最后，求取新陳代謝過程中所產(chǎn)生的擬合值和預(yù)測(cè)值的平均值，作為灰線性馬爾科夫模型的擬合值和預(yù)測(cè)值。其計(jì)算結(jié)果和分析如下：

1)GM(1,1)、灰線性GM(1,1)、灰線性馬爾科夫3種模型的擬合值和預(yù)測(cè)值見表6、表7。

表6　3種預(yù)測(cè)模型擬合值結(jié)果　mm

從表6得出，灰線性馬爾科夫的模型擬合殘差中誤差0.030 2mm，灰線性GM(1,1)模型的擬合殘差中誤差0.233 5mm，傳統(tǒng)的GM(1,1)模型的擬合殘差中誤差0.569 1mm。灰線性馬爾科夫組合模型的擬合精度優(yōu)于前兩種預(yù)測(cè)模型。

表7　3種預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)值結(jié)果　mm

從表7中得到，灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值殘差中誤差1.181 5mm，灰線性GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值殘差中誤差1.676 9mm，傳統(tǒng)GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值殘差中誤差3.354 3mm?；揖€性馬爾科夫組合模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于前兩種預(yù)測(cè)模型。

2)GM(1,1)、灰線性GM(1,1)、灰線性馬爾科夫3種模型的相對(duì)誤差見表8。

相對(duì)誤差更能直觀反映出模型的相對(duì)精度，區(qū)分出模型精度的優(yōu)劣。

從表8和圖1中可以看出，無(wú)論是擬合值還是預(yù)測(cè)值，灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型均優(yōu)于灰線性GM(1,1)預(yù)測(cè)模型和傳統(tǒng)GM(1,1)預(yù)測(cè)模型。因此，灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型更加準(zhǔn)確，外推的預(yù)測(cè)值更多，外推的預(yù)測(cè)值更可靠，模型更加穩(wěn)定。

3)GM(1,1)、灰線性GM(1,1)、灰線性馬爾科夫3種模型的精度評(píng)定見表9。

表8　3種預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差結(jié)果

圖1　3種預(yù)測(cè)模型相對(duì)誤差比較

傳統(tǒng)GM(1,1)灰線性GM(1,1)灰線性馬爾科夫P111C0.07450.07070.0149

經(jīng)計(jì)算，傳統(tǒng)GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的小殘差概率P=1，方差比C=0.074 5；灰線性GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的小殘差概率P=1，方差比C=0.070 7；灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的小殘差概率P=1，方差比C=0.014 9。由于所選取的數(shù)據(jù)變化比較平滑，所以3種預(yù)測(cè)模型精度結(jié)果皆為優(yōu)。但是從方差比可以看出，灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型精度優(yōu)于前兩種預(yù)測(cè)模型。

4結(jié)束語(yǔ)

本文綜合傳統(tǒng)GM(1,1)模型、線性回歸模型和馬爾科夫模型的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)建了灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，運(yùn)用新陳代謝的計(jì)算模式對(duì)建筑物變形監(jiān)測(cè)進(jìn)行預(yù)測(cè)。得出的結(jié)論為：灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型無(wú)論是擬合精度還是預(yù)測(cè)精度都要優(yōu)于單一的灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型和線性回歸預(yù)測(cè)模型，灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型具有預(yù)測(cè)精度高、預(yù)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)和模型穩(wěn)定性高的優(yōu)勢(shì)。

對(duì)于變形監(jiān)測(cè)工作中實(shí)測(cè)的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立合適的預(yù)測(cè)模型。在滿足工程應(yīng)用的精度要求下，預(yù)測(cè)模型需要的觀測(cè)資料較少，減輕了大量的外業(yè)實(shí)測(cè)工作，提高了工作效率，同時(shí)提供了可靠的參考資料。本文建立的灰線性馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，為了保證預(yù)測(cè)模型的可靠性，建議建模數(shù)據(jù)不要低于6期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，同時(shí)建議連續(xù)外推的預(yù)測(cè)值不要超過5期為宜。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.10.002

收稿日期：2015-06-26

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41202245；41272373)；河南理工大學(xué)骨干教師資助項(xiàng)目(72105/090)

作者簡(jiǎn)介：李克昭(1977-)，男，副教授，博士.

中圖分類號(hào)：TV698.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-7949(2016)10-0005-05

Application of grey line Markov model to the deformation monitoring of buildings

LI Kezhao1,2,LI Zhiwei1,ZHAO Leijie1

(1.School of Surveying and Landing Information Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454000,China；2.Collaborative Innovation Center of BDS Research Application,Zhengzhou 450052,China)

Abstract：Traditional gray GM (1,1) predicting model has the problems of poor fitting accuracy,lower prediction accuracy and shorter prediction time in deformation monitoring and forecasting of buildings.In this paper,a combination of the traditional GM (1,1) model,linear regression and Markov model is constructed of grey linear Markov model.Combined with observations data of the deformation monitoring of buildings,the metabolism computing model is used to predict.The results show that：the fitting accuracy and model prediction accuracy of the linear Markov model gray model are better than a single gray GM (1,1) forecast model and linear regression forecasting model.Gray linear Markov model has the advantages of high accuracy,long time and high stability of prediction.

Key words：GM(1,1) model；linear regression models；Markov model；metabolism