周　娟,余忠華,侯　智

(浙江大學 浙江省先進制造技術重點研究實驗室,浙江 杭州310027)

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面向模糊多級特征的F-MEWMA控制圖研究

周娟,余忠華,侯智

(浙江大學 浙江省先進制造技術重點研究實驗室,浙江 杭州310027)

摘要:圍繞難以定量測量、但可以分級量化的質量特性,在實施統(tǒng)計過程控制中所遇到的檢出力受限問題展開討論,提出模糊多變量指數(shù)加權移動平均控制圖(F-MEWMA)方法.該方法借助于模糊理論,對分級量化特征進行模糊化處理. 針對不同α截集包含信息量多寡的問題,提出應用加權α截集模糊區(qū)間值來構造統(tǒng)計量,分別針對模糊單變量和模糊多變量質量特性進行數(shù)學表征與比較分析. 采用Matlab仿真的方式確定不同權重系數(shù)和不同維數(shù)下的控制限,完成F-EWMA、F-MEWMA的設計. 采用Matlab仿真的方法,以識別變異的概率為評價指標對F-MEWMA的監(jiān)控效果進行分析. 以電能表潛動和起動的質量特性為例,對提出的方法進行應用,取得了較好的應用效果.

關鍵詞：模糊多級特征；模糊理論；模糊多變量指數(shù)加權移動平均控制圖(F-MEWMA)；加權α截集模糊區(qū)間值；識別變異的概率

相互關聯(lián)的多個變量模糊分級特征的控制圖研究尚不多見.Shahram等[6]提出通過回歸模型分析模糊響應變量和預測變量之間的關系來監(jiān)控模糊多變量質量特性,Hossein等[7]首次提出了模糊多變量指數(shù)加權移動控制圖的設計想法.Shahram等[6]針對多個變量測量不準確的問題,Hossein等[7]僅提出設計框架.Ahmadabadi等[8-10]的研究表明,無論單個變量是否存在相關關系,都不能用單個變量的個別控制代替多個變量的聯(lián)合控制.Juran認為“質量就是適用性”,本文將模糊理論引入,質量的“適用性”標準被表示為模糊集的形式,通過構建有代表性的模糊特征量,并將傳統(tǒng)的EWMA控制圖擴展為多變量的形式,設計了面向多級模糊特征的多變量F-MEWMA控制圖．

1模糊控制統(tǒng)計量的表征及計算

圖1　模糊數(shù)據(jù)集中程度統(tǒng)計量的相互關系Fig.1　Relationships between fuzzy statistics for describing central tendency

(1)

當模糊函數(shù)為單峰時,該值唯一.

(2)

(3)

Taleb在針對彩瓷生產(chǎn)過程中應用多屬性變量控制圖時,建議為每一個給定的模糊樣本分配上面4種代表值中的一種[11].現(xiàn)有研究中提出的模糊代表值方法,可以總結為3類.

2)將注意力集中在等于或高于α截集的信息,如模糊中位數(shù)fmed.

3)對所有α截集信息同等對待,如模糊均值favg.

每一個語言變量Cij的模糊集可以用一定的模糊函數(shù)μ(Cij)表示,樣本A(樣本容量為n)可以表示為

A=[[(F11,n11),…,(F1m1,n1m1)];…[(Fi1,ni1)，…，(Fij,nij)];[(Fp1,np1),…，(Fpmp,npmp)]].

式中： nij(其中i=1,2,…,p,j=1,2,…,mp)為第i個變量的第j個類別對應的樣本數(shù)量,Fij表示第i個變量的第j個類別特性值. 假如第i個變量用mi級模糊語言表示,每個級別的模糊語言對應的模糊三角函數(shù)分別為[μ11,μ12,μ13],[μ21,μ22,μ23],…,[μmi1,μmi2,μmi3],則第k個樣本的第i個特性的代表性三角函數(shù)表示為

(4)

第k個樣本的第i個變量的加權α截集模糊區(qū)間值為

(5)

式中：

(6)

(7)

第k個樣本p個特性的模糊特性值可以表示為

Tk=[Tk1,Tk2,…,Tkp].

(8)

n個樣本的模糊特性值可以表示為

(9)

EWMA控制圖和CUSUM(cumulative sum)累積和控制圖相對休哈特控制圖而言,對前期樣本賦予不同的權重,利用了更多信息,因而對小波動更加敏感.在使用過程中,研究人員逐漸認識到,CUSUM控制圖雖然考慮被控系統(tǒng)時域信息,但沒有考慮不同時刻的觀察值反應系統(tǒng)質量信息多寡不相同的原則.EWMA控制圖的權重隨著觀測時間的推移越來越小,而且減小的趨勢可以通過平滑系數(shù)λ加以改變,以適應不同加工過程的特點. 本文在指數(shù)加權移動平均控制圖的基礎上,設計了F-MEWMA控制圖．

2F-MEWMA控制圖的設計

F-MEWMA控制圖的設計按照構建F-EWMA的統(tǒng)計量、構建F-MEWMA的統(tǒng)計量、構建控制限的步驟進行．

2.1構建F-EWMA的統(tǒng)計量

EWMA控制圖的理論基礎為正態(tài)分布,故在作F-EWMA控制圖前須對轉換后的數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗.若不符合,則可以進行正態(tài)性(Box-Cox)轉換．

2.2構建F-MEWMA的統(tǒng)計量

(10)

(11)

I和λ都是對角陣,所以協(xié)方差矩陣∑Zi的第(k,l)個元素為

若λ1=λ2=…=λp=λ,則協(xié)方差矩陣∑Zi的第(k,l)個元素可以簡寫為

即

當i→∞時,

2.3計算控制圖的控制限；

對于單變量F-EWMA控制圖,統(tǒng)計量Zi的期望和方差為

E(Zi)=(1-λ)iμ+E(λZi-1)=μ,

(12)

(13)

當i→∞時,

(14)

當i較小(即樣本序號較少)時,控制圖的控制限的通式為

(15)

當i較大(即樣本序號較多)時,則式(15)可以轉化為

(16)

表1不同權重系數(shù)λ下的控制限H(p=2)

Tab.1ControllimitsHfordifferentweightcoefficientsλ(p=2)

λHλH0.18.650.410.320.29.680.510.530.310.09——

表2不同權重系數(shù)λ下的控制限H(p=3)

Tab.2ControllimitsHfordifferentweightcoefficientsλ(p=3)

λHλH0.110.830.412.580.211.930.512.760.312.37——

表3不同權重系數(shù)λ下的控制限H(p=4)

Tab.3ControllimitsHfordifferentweightcoefficientsλ(p=4)

λHλH0.112.750.414.590.213.870.514.740.314.37——

權重系數(shù)λ的確定可以按照如下步驟進行.1)根據(jù)上述仿真結果,采用回歸分析的方法確定H與λ的回歸方程；2)在不同維數(shù)p下,給定不同的λ,選取不同H(λ確定,H確定)仿真計算出不同偏移量ξ(實際中允許的值)下的ARL；3)通過回歸分析,確定ARL與λ的回歸方程(ξ一定)；4)找出ARL與λ的回歸方程(ξ一定)中最小ARL對應的λ.具體的實現(xiàn)過程參見文獻[16].

3F-MEWMA性能分析

以構造的新統(tǒng)計量為2維變量為例,以識別變異的概率為指標展開仿真分析.假設過程均值向量發(fā)生偏移,方差向量不變.用Matlab產(chǎn)生200個樣本,前100個樣本均值向量為μ0,后100個樣本均值向量為μ′0.按照2.3節(jié)中控制圖控制限的確定方法確定H,選取λ與H的對應關系,如表1所示.針對過程均值向量發(fā)生不同偏移ξ,運用Matlab進行仿真,作出F-MEWMA控制圖,統(tǒng)計失控點的數(shù)目mi,對每種不同偏移ξ運行5 000次,求出識別變異的概率為

當λ=1時,F-MEWMA控制圖變?yōu)镕-T2控制圖.為了對比分析,作出F-T2控制圖并計算識別變異的概率.在計算程序中,F-T2的樣本量n=200.計算結果如表4所示.可以看出,對于F-MEWMA,λ越小,相應的p越大,控制圖越靈敏.F-MEWMA的p均比F-T2的p大,說明新設計的F-MEWMA比F-T2更加靈敏．

4F-MEWMA案例應用分析

電能表是電能計量、線損考核的計量器具,電能表的測量值是否準確將直接影響電費收取的公平公正.電能表的潛動不良和起動不良是2個發(fā)生頻次較高并且相關的不良項目.潛動是指電能表各電流線路無負載電流,各電壓線路加80%～110%的參比電壓, 電能表的轉盤轉動應少于1轉.由于制造、裝配、維修時造成的磁路不對稱的情況, 產(chǎn)生固有的補償力矩, 該力矩稱為附加潛動力矩.當附加補償力矩超過摩擦力矩, 電能表在無負荷電流時, 轉盤會不停地轉動, 從而形成潛動.企業(yè)檢驗“潛動”這一特性時觀察電能表無負荷電流時轉1/4圈內(nèi)、1/4圈～1/2圈、1/2圈～1圈、1圈以上的情況.分別表示為：T(C1=潛動)={C11,C12,C13,C14}={很好,好,一般,不合格}.所謂起動是指電能表在參比頻率、參比電壓和cosφ=1(對有功電能表) 或sinφ=1(無功電能表) 的條件下,電能表電流線路通以規(guī)定的起動電流(三相電能表各相同時加電壓和通電流),轉盤應連續(xù)轉動.這一指標反映了電能表靈敏度的高低.企業(yè)檢驗“起動”這一特性時觀察電能表15 s內(nèi)轉1圈、15～30 s時轉1圈、30～60 s時轉1圈、60 s未轉1圈的情況.分別表示為

T(C2=起動)={C21,C22,C23,C24}={很好,好,一般,不合格}．

電能表的潛動和起動是衡量計量性能的重要指標.是否滿足規(guī)程要求, 是電能表能否正確計量電能的關鍵.將電能表的潛動和起動情況進行統(tǒng)計,如表5所示. C1的模糊函數(shù)如圖2所示,C2的模糊函數(shù)如圖3所示．

圖2　潛動模糊函數(shù)Fig.2　Creeping fuzzy function

圖3　起動模糊函數(shù)Fig.3　Starting fuzzy function

批次C11C12C13C14C21C22C23C24115030182149291932149301921482920331492921115230180414729222152291815149311731532818161532916214730212714929202150301828150311811492821291522819114829212101512919115029192111503117214930183121513117114830193131493118215030182141542718114729204151532918014630213161523018014829212171513117114929211181483020215030200191493020115030182201522919015029192

對表5中的數(shù)據(jù),按照提出的方法計算第1個樣本號的第1個特性,本例中α=0.6,w(α)=3α2．

0.052 5+0.65×(0.115 0-0.052 5)=0.093 1,

0.400 0-0.65×(0.400 0-0.115 0)=0.215 0,

取λ=0.1,可以計算出Z11=λT11+(1-λ)Z0=0.141 78．

0.035+0.65×(0.158 8-0.035)=0.115 5,

表6　模糊統(tǒng)計量計算結果

0.368 8-0.65×(0.368 8-0.158 8)=0.232 3,

Z12=λT12+(1-λ)×Z0=0.166 48.

對變量1、2的正態(tài)性檢驗如圖4、5所示.圖中，Pad為Anderson-Darling提出的P統(tǒng)計量.由圖4、5可以看出,變量1、2均服從正態(tài)分布,無需進行Box-Cox變換,可以直接作出圖6所示的F-MEWMA控制圖.變量1和變量2的F-EWMA分別如圖7、8所示. 如圖9、10所示分別為變量1和變量2的不合格品率控制圖(p圖),如圖11所示為F- T2控制圖．

圖4　變量1的正態(tài)性檢驗Fig.4　Normal inspection for variable 1

圖5　變量2的正態(tài)性檢驗Fig.5　Normal inspection for variable 2

圖6　F-MEWMA控制圖Fig.6　F-MEWMA control chart

圖7　變量1的F-EWMA控制圖Fig.7　EWMA control chart for variable 1

圖8　變量2的F-EWMA控制圖Fig.8　EWMA control chart for variable 2

圖9　變量1的p控制圖Fig.9　pcontrol chart for variable 1

圖10　變量2的p控制圖Fig.10　pcontrol chart for variable 2

圖11　F-T2控制圖Fig.11　F-T2 control chart

分析圖6～11得出如下結論.

2)圖6顯示,樣本號1、2、4、5均顯示失控.由圖7的變量1即潛動的F-EWMA控制圖看出,樣本號4、5顯示失控.由圖8的變量2即起動的F-EWMA控制圖看出,未顯示失控.說明新設計的F-MEWMA和F-EWMA體現(xiàn)了單個變量的個別控制不能代替多個變量的聯(lián)合控制的原則；圖11僅顯示樣本號1失控,說明F-MEWMA的靈敏性優(yōu)于F-T2控制圖．

5結論

(1)針對模糊多級特征的多個質量特性的控制問題,提出借助模糊理論設計面向模糊多級特征的F-MEWMA控制圖的方案.由于該方法充分地利用了分級量化所揭示的信息,并且包含了多變量之間的統(tǒng)計關系,從而可以提高控制圖的檢出力及降低對樣本量的要求.

(3)引入傳統(tǒng)的單變量指數(shù)加權移動平均控制圖EWMA方法,將其擴展為多變量的形式,設計了面向多級模糊質量特性的F-MEWMA控制圖.重點對控制限的確定、控制圖的性能進行討論.

(4)電能表潛動和起動特性現(xiàn)場監(jiān)控算例結果表明,新設計的多變量F-MEWMA控制圖對于控制模糊多變量的質量特性具有較好的性能．

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收稿日期：2015-05-20.浙江大學學報(工學版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

基金項目：國家自然科學基金資助項目(50835008,71071138).

作者簡介：周娟(1979-)，女，講師，博士生，從事質量工程的研究.ORCID: 0000-0002-2579-0067.E-mail:happyzhoujuan@126.com 通信聯(lián)系人：余忠華，男，教授，博導. ORCID: 0000-0003-3326-5526. E-mail:yuzhh@zju.edu.cn

DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2016.07.021

中圖分類號：O 213

文獻標志碼：A

文章編號：1008-973X(2016)07-1373-08

F-MEWMAcontrolchartforfuzzyhierarchicalquantitativecharacteristics

ZHOUJuan,YUZhong-hua,HOUZhi

(Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology of Zhejiang Province, Zhejiang University,Hangzhou 310027, China)

Abstract:Fuzzy multivariate exponentially weighted moving average control chart (F-MEWMA) was proposed in order to solve the problem of lower power when implementing statistical process control to the quality characteristic which was difficult to quantify but could be described in hierarchical levels. F-MEWMA tried to blur the hierarchical quantitative characteristics based on fuzzy theory. Since different α cut sets containing different amount of information, interval value of weighted fuzzy α cut set was proposed. Mathematical characterization and comparison of the quality characteristics for fuzzy univariate data and fuzzy multivariate data were conducted respectively, and the control limits for different weight coefficients and different dimensions were determined by Matlab simulation. Then F-EWMA and F-MEWMA were designed. The effect of F-MEWMA was analyzed by calculating probability of identifying variation by Matlab simulation. The implementation of the F-MEWMA on the electric energy meter running and starting quality characteristics showed good result．

Key words:fuzzy hierarchical quantitative characteristic; fuzzy theory; fuzzy multivariate exponentially weighted moving average control chart (F-MEWMA); interval value of weighted fuzzy α cut set; probability of identifying variation