溫　鮮，鄧國和

(1.廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院，廣西柳州545616；2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西桂林541004)

?

隨機波動率下障礙期權(quán)定價的對偶MonteCarlo模擬

溫鮮1，鄧國和2

(1.廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院，廣西柳州545616；2.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西桂林541004)

摘要：為了克服經(jīng)典BS模型隱含波動率的“微笑”效應(yīng)，本文假定標的股票價格服從隨機波動率模型，使之與市場價格更加符合，并應(yīng)用對偶Monte Carlo模擬方差減小技術(shù)分別模擬出股價波動率過程和股票價格過程的路徑，給出了歐式障礙期權(quán)定價的具體算法，求出了下降敲出歐式看漲障礙期權(quán)價格的估計量。最后，通過期權(quán)價格的二叉樹數(shù)值解與近似公式解驗證對偶Monte Carlo模擬數(shù)值解的準確性。

關(guān)鍵詞：隨機波動率；對偶Monte Carlo模擬；障礙期權(quán)

0引言

1973年Black和Scholes建立的期權(quán)定價公式Black-Scholes(BS)將股票價格表示為標的資產(chǎn)價格和一個常數(shù)波動率的函數(shù)，這與實際市場觀測數(shù)據(jù)不符合。因此，經(jīng)典的BS模型需要不斷改進，使之與實際市場更符合，為投資者提供理論依據(jù)。因此本文研究隨機波動率模型，即把標的資產(chǎn)(股票)價格的波動率也看作一個隨機過程。國外，Hull和White[1]在(HW)隨機波動率模型(相關(guān)系數(shù)ρ=0)下得到了標準歐式期權(quán)價格的近似解析公式；Heston[2]在Heston隨機波動率模型(相關(guān)系數(shù)ρ≠0)下給出了債券和貨幣期權(quán)的封閉解。國內(nèi)，對隨機波動率模型的期權(quán)定價研究主要有：鄧國和[3]應(yīng)用離散快速Fourier變換法討論了隨機波動率跳擴散模型下美式期權(quán)和復(fù)合期權(quán)的數(shù)值計算問題；姜迪等[4-7]考慮了標的股價滿足隨機波動率模型的歐式期權(quán)、障礙期權(quán)、回望期權(quán)的定價；曹小龍[8]利用擬蒙特卡羅模擬技術(shù)進行了標準美式期權(quán)定價的數(shù)值計算方面的研究。

障礙期權(quán)是標的資產(chǎn)(股票)的價格路徑受到一定的限制，是否有效取決于標的資產(chǎn)(股票)的價格是否觸及確定的界限值(障礙值)，即是在一個普通期權(quán)基礎(chǔ)上加上一個觸發(fā)點。這種期權(quán)的主要目的是控制投資者的風(fēng)險在一定范圍之內(nèi)。其中，敲出障礙期權(quán)是當標的資產(chǎn)(股票)價格達到一個障礙值時，該期權(quán)無效；敲入障礙期權(quán)是當標的資產(chǎn)(股票)價格達到一個障礙值時，該期權(quán)生效。關(guān)于障礙期權(quán)的定價首先由Merton[9]在標的資產(chǎn)(股票)價格滿足隨機波動率模型下得到了歐式障礙期權(quán)價格的解析解；而其他學(xué)者對障礙期權(quán)定價研究[10-11]僅局限在波動率為常數(shù)的情形下。近年來，國內(nèi)得到了HW隨機波動率模型的歐式障礙期權(quán)定價的近似解析解[5]。蒙特卡羅方法(MonteCarlo，MC)又稱為隨機模擬法，基本原理是運用抽樣思想，將求解的問題轉(zhuǎn)化為概率模型，并利用計算機軟件進行隨機模擬，得到求解問題的數(shù)值解。但運用普通MC模擬方法計算期權(quán)價格，有時會與實際值存在著大偏差，這時就需要用一些方差減小技術(shù)降低估計值的方差。因此，本文在標的股票服從隨機波動率模型下(涵蓋相關(guān)系數(shù)ρ=0與ρ≠0兩種情形)，應(yīng)用對偶MonteCarlo模擬法求出歐式下降敲出障礙期權(quán)價格的估計量，并進行數(shù)值計算。

1隨機波動率模型

設(shè)金融市場中無摩擦、也沒有套利存在，在投資期[0，T]內(nèi)可以連續(xù)交易，投資者可以買空、賣空風(fēng)險資產(chǎn)，也可以在無風(fēng)險利率下進行任意存、借款。假設(shè)金融市場中有兩種可交易的證券，其中B(t)為無風(fēng)險證券，稱為債券，其價格滿足：

dB(t)=rB(t)dt，

(1)

r為無風(fēng)險利率。另一種S為風(fēng)險資產(chǎn)，稱為股票，其價格過程S(t)及其波動率過程Y(t)，在風(fēng)險中性概率測度P下，滿足如下的隨機微分方程：

(2)

其中W(t)、Z*(t)都是風(fēng)險中性概率測度P下的標準布朗運動，且

Cov(dW(t)，dZ*(t))=ρdt，

(3)

(4)

2對偶MonteCarlo(MC)模擬的障礙期權(quán)定價

對于障礙期權(quán)價格的數(shù)值計算本文主要以下降敲出歐式看漲障礙期權(quán)為例，同理也可以討論其他類型障礙期權(quán)的定價研究，具體算法過程如下：

2.1波動率過程{Y(t)，0≤t≤T}的MonteCarlo(MC)模擬

由模型(4)，股票價格波動率過程Y(t)滿足如下隨機微分方程：

(5)

其中Z(t)與W(t)是相互獨立的布朗運動，ρ為確定的常數(shù)，那么

(6)

?

而W(t1)-W(t0)，W(t2)-W(t1)，…，W(tn)-W(tn-1)與Z(t1)-Z(t0)，Z(t2)-Z(t1)，…，Z(tn)-Z(tn-1)是兩組相互獨立的增量，且W(ti)-W(ti-1)～N(0，Δt)，Z(ti)-Z(ti-1)～N(0，Δt)，i=1，2，…，n。因此首先可由Matlab軟件模擬兩組相互獨立且服從標準正態(tài)分布N(0，1)的n×m維隨機向量，分別記為A、B，利用公式

以及A、B可模擬W(ti)-W(ti-1)和Z(ti)-Z(ti-1)，i=1，2，…，n。其中A=(a1，a2，…，an)′，B=(b1，b2，…，bn)′，且ai=aij，bi=bij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。于是可求：

對Y(ti)(i=0，1，2，…，n)取對數(shù)，有：

(7)

對式(7)左右兩邊的元素取指數(shù)，則可得到Y(jié)(t)在[0，T]內(nèi)的m次MC模擬：

2.2股票價格過程{S(t)，0≤t≤T}的對偶MonteCarlo(MC)模擬

(8)

對時間區(qū)間[0，T]作同上的分割，有：

而W(t1)-W(t0)，W(t2)-W(t1)，…，W(tn)-W(tn-1)是相互獨立的增量，且W(ti)-W(ti-1)～N(0，Δt)，其中i=1，2，…，n。同理利用Matlab軟件模擬服從標準正態(tài)分布N(0，1)的n×m維向量，記為C，其中C=(c1，c2，…，cn)′，且ci=cij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。利用

可模擬W(ti)-W(ti-1)，i=1，2…，n。

于是可模擬下列向量

對S(ti)(i=1，2，…，n)取對數(shù)，有：

(9)

對式(9)中的元素左右兩邊取指數(shù)，則得到股票價格S(t)在[0，T]內(nèi)的m次MC模擬路徑：

其中-C=(-c1，-c2，…，-cn)′，且-ci=-cij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。于是：

對S(ti)(i=1，2，…，n)取對數(shù)，有：

(11)

對式(11)中的元素左右兩邊取指數(shù)，則得到股票價格S(t)在[0，T]內(nèi)的m次對偶MC模擬路徑：

2.3期權(quán)價格對偶MonteCarlo模擬

由期權(quán)的收益函數(shù)可以知道，利用對偶MC方差減小技術(shù)模擬得出的m次股票價格路徑， 可以計算各類歐式障礙期權(quán)的價格，本文以下降敲出歐式看漲障礙期權(quán)定價為例。

定理1標的資產(chǎn)(股票)價格過程S(t)及其波動率過程Y(t)滿足模型(4)，則由m次模擬所得到下降敲出歐式看漲障礙期權(quán)在時刻t∈[0，T]的價格估計量為：

(12)

3數(shù)值結(jié)果和分析

圖1　對偶MC模擬股票價格Fig.1　The dual variables techniques for Monte Carlo simulation of stock prices

首先，結(jié)合模型(4)，通過對偶MC模擬法模擬股票價格變化趨勢見圖1?；緟?shù)值為：S0=100；μ=0；r=0.05；H=90；σ=0.1；K=95，100，105；Y(0)=0.02，0.05。其中Y(0)為股票價格波動率的初始值。

其次，利用對偶(MC)模擬的股票價格計算下降敲出歐式看漲期權(quán)的價格，并利用近似解析式、二叉樹法驗證對偶(MC)模擬法計算期權(quán)價格的準確性與有效性，見表1、2。表1中，應(yīng)用近似解析式[5]、二叉樹法[7]與對偶(MC)模擬法求解模型(4)(ρ=0)的障礙期權(quán)價格進行了比較。表2比較了二叉樹法、對偶(MC)模擬法在模型(4)中(相關(guān)情形(ρ≠0))的障礙期權(quán)價格的數(shù)值計算結(jié)果。由表1、2可以看出，對偶(MC)模擬算法具有很好的準確性，相同條件下，相關(guān)情形的期權(quán)價格比獨立情形期權(quán)價格高。由表2可以看出，當波動率初始值為給定常數(shù)，障礙期權(quán)的期權(quán)隨著執(zhí)行價格K逐漸增大而減小，隨著交易時間的逐漸增大而增大；當其他參數(shù)給定時，期權(quán)價格值隨著相關(guān)系數(shù)ρ的增大而減小。

表1　 近似公式解、二叉樹法、對偶MC模擬法計算期權(quán)價格的比較(ρ=0)

表2　二叉樹法、對偶MC模擬法計算期權(quán)價格的比較(ρ≠0)

4結(jié)論

本文利用對偶(MC)模擬原理給出隨機波動率模型(4)下的歐式障礙期權(quán)定價的具體數(shù)值算法，并求出下降敲出歐式看漲障礙期權(quán)價格的估計量(12)，涵蓋了模型(4)中相關(guān)系數(shù)ρ=0與ρ≠0兩種情形。其他類型歐式障礙期權(quán)價格的估計量也可類似求解。文獻[5]中求出模型(4)中相關(guān)系數(shù)ρ=0情形下歐式障礙期權(quán)價格的近似解析解，而本文是文獻[1]的推廣，利用對偶(MC)模擬方差減小技術(shù)研究隨機波動率模型下(相關(guān)系數(shù)ρ=0與ρ≠0情形)歐式障礙期權(quán)價格的數(shù)值計算。

在數(shù)值計算實例中，首先應(yīng)用近似公式法[5]、二叉樹法[7]、對偶(MC)模擬法分別計算歐式障礙期權(quán)的價格，并利用計算結(jié)果驗證了對偶(MC)模擬計算歐式障礙期權(quán)價格的準確性。

基于對偶(MC)模擬法研究模型(4)的歐式障礙期權(quán)價格，考慮其他方差減小技術(shù)，也可以進一步研究模型(4)下美式障礙期權(quán)價格的數(shù)值計算。

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(責(zé)任編輯黃勇)

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.02.013

收稿日期：2015-09-09

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11461008)；2014年廣西高等教育教學(xué)改革重點項目(2014JGZ192)；廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院轉(zhuǎn)型發(fā)展專項項目(2015ZXZD004)

中圖分類號：O211.6；F830.9

文獻標志碼：A

文章編號：1001-6600(2016)01-0090-08

MonteCarloSimulationswithDualVariablesPricingofBarrierOptionsinaStochasticVolatilityModel

WENXian1，DENGGuohe2

(1.LushanCollege,GuangxiUniversityofScienceandTechnology，LiuzhouGuangxi， 545616,China；2.CollegeofMathematicsandStatistics，GuangxiNormalUniversity，GuilinGuangxi， 541004,China)

Abstract:In order to overcome the "smile" effect of the implied volatility of the stock market price and to make it fit with the market price, the pricing problem of an European barrier option is considered in stochastic volatility model. The pricing algorithm of European barrier option, the path of the volatility process and the path of the stock price are given by using the dual variable method. Then, the estimator of this option is provided. Finally, numerical examples using the finite difference method are provided to verify the accuracy of using Monte Carlo simulation with dual variable techniques.

Keywords:stochastic volatility； dual variable technique； barrier option

通信聯(lián)系人：鄧國和(1969—)，男，湖南桂陽人，廣西師范大學(xué)教授，博士。E-mail:dengguohe@mailbox.gxnu.edu.cn