柳合龍，張婭莉，程傳敏

(1. 信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽 464000；2. 信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，河南 信陽 464000)

0 引言

對艾滋病傳染過程的分析多用常微分方程和離散差分方程,但現(xiàn)實世界是充滿隨機(jī)性的,如感染具有隨機(jī)性,HIV轉(zhuǎn)化為艾滋病也具有隨機(jī)性,對于理論研究中只考慮理想的確定性狀態(tài)這一做法已經(jīng)不能滿足實際的需要,因此在HIV的理論研究中加入隨機(jī)現(xiàn)象是十分必要的.隨機(jī)微分方程應(yīng)用范圍非常廣泛,經(jīng)過半個多世紀(jì)的努力,眾多學(xué)者在隨機(jī)微分方程的理論研究與實際應(yīng)用方面做出了許多有意義的工作,取得了一系列成果[1-9].DALAL, GREENHALGH 和MAO[10-11]等學(xué)者對HIV的隨機(jī)模型進(jìn)行了研究. 艾滋病自1985年傳入中國,就引起了媒體的高度關(guān)注,比如宣傳艾滋病的病因、早期癥狀、傳播途徑、預(yù)防措施以及倡導(dǎo)社會關(guān)愛等.媒體對預(yù)防艾滋病功不可沒.本文將對一類受媒體影響的隨機(jī)HIV模型加以研究.

1 基本模型

將人群分成易感者和感染者,又把易感者分成兩類.第一類受媒體影響較大,即此類人群通過媒體獲得關(guān)于艾滋病的信息量較多,能夠積極采取有效措施避免自己被感染.同樣,感染者也會采取措施不傳染他人.第二類受媒體影響較小,受感染的機(jī)會較大.令α1和α2分別表示第一類和第二類易感者沒有受媒體影響的概率(0≤α1≤α2≤1),則第一類受媒體影響的程度為1-α1,第二類受媒體影響的程度為1-α2.為簡便起見,本文考慮α1=0,即第一類易感者受媒體影響的概率為1.在這種情況下,第一類易感者不參與病毒的傳播.變量X1(t),X2(t),X3(t)分別表示第一類易感者、第二類易感者、感染者在t時刻的數(shù)量.本文研究隨機(jī)HIV模型如下:

(1)

(2)

(μ+σ)X3(t))dt-σ1X3(t)dB(t).

(3)

其中：T(t)=X1(t)+X2(t)+X3(t)；λ1,λ2分別為第一、二類易感者的移入率;μ是自然死亡率;β是艾滋病病毒的傳染率;c是單位時間內(nèi)每個個體接觸的性伴侶的個數(shù);D21代表第二類易感者受到媒體的影響變成第一類的轉(zhuǎn)移率;σ是感染者發(fā)展成為艾滋病患者的概率;σ1>0(比σ小)是噪音強(qiáng)度.令X(t)=(X1(t),X2(t),X3(t))T.定義

引理1[11]對任何的u∈R1,u>0有u≤2(u+1-lnu)-(4-2ln 2).

(4)

下證τ=,a.s. (反證法)假設(shè)命題不真,則存在常數(shù)T>0和ε∈(0,1)使得P{τ≤T}>ε,因此存在整數(shù)k1≥k0,使得對所有k≥k1有

P{τk≤T}≥ε.

(5)

其非負(fù)性可以從u+1-lnu≥0,?u>0得出.

(1-X3(t))σ1dB(t),

X2(t)≤2(X2(t)+1-lnX2(t))-(4-ln 2).

從而

dV(X(t))≤(c1+λ1+λ2+

D21·2V(X(t)))dt+

(1-X3(t))σ1dB(t)≤

(C2(1+V(X(t)))dt+

(1-X3(t))σ1dB(t),

其中C2=max(c1+λ1+λ2,2D21).因此,當(dāng)t1≤T時有,

EV(X(τk∧t1))≤V(X0)+C2T+

由Gronwall不等式得,

EV(X(τk∧T))≤C3,

(6)

其中C3=(V(X0)+C2T)eC2T.

C3≥E[IΩkV(X(τk,ω))]≥

令k→得>C3=,矛盾.因此τ=,a.s.證畢.

證明考慮如下兩種情形:

(i)X3(0)=0,X1(0)≥0,X2(0)≥0.

若X3(0)=0,則X3(t)=0,?t,a.s.由式(2)得

因此,對任意的t都有X2(t)>0,a.s.

(ii)X3(0)>0,X1(0)≥0,X2(0)≥0.

不失一般性,設(shè)X1(0)>0,X2(0)>0,把時間原點變?yōu)椤鱰,其中△t為很小的正數(shù),則根據(jù)定理1得Xi(t)>0,1≤i≤3.證畢.

證明由方程(2)得

積分得

從而

(7)

由方程(1)得

從而

(8)

對X3(t)分兩種情況討論:

(i)X3(0)>0.

(9)

X3(t)≤Me-vt,?t≥0,a.s.

(10)

(ii)X3(0)=0.

當(dāng)X3(0)=0時,X3(t)=0,?t,a.s.所以當(dāng)X3(0)≥0時式(10)成立,即0≤X3(t)≤Me-vt.因此

(11)

由式(10)得

(12)

(13)

綜合式(7)和式(13)得

(14)

根據(jù)極限的定義,對任取ε>0,存在G>0,當(dāng)t>G時有

(15)

由方程(1)知,當(dāng)t>G時,

由ε的任意性得

(16)

同理,由不等式(15)的左半部分得

(17)

綜合不等式(16)和(17)得

(18)

綜合式(11)、(14)和(18)可知,當(dāng)t→時,證畢.

定理4 當(dāng)R<1時,無病平衡態(tài)是幾乎必然局部指數(shù)穩(wěn)定的;當(dāng)R>1時,無病平衡態(tài)是幾乎必然指數(shù)不穩(wěn)定的.

證明先討論X3(t).在人口無病平衡態(tài)鄰近,由式(1)得

|X3(t)|≤|X3(0)|Ce-λte-σ1B(t),

因此存在t0,當(dāng)t≥t0時有X3(t)|≤|X3(t0)|e-λ(t-t0),a.s.

從而

|ξ(t)|≤|ξ(t0)|e-(μ+D21)(t-t0)+

Ne-λ(t-t0),a.s.,

最后討論X1(t).令

則

所以

|η(t)|≤|η(t0)|e-μ(t-t0)+

因此當(dāng)t≥t0時有,

C1e-λ(t-t0),a.s.

若R>1,不妨取X3(0)=1,則

X3(t)=exp(-mt-σ1B(t)).

2 數(shù)值模擬

本節(jié)將對系統(tǒng)(1)-(3)中的參數(shù)選取合理的數(shù)值進(jìn)行模擬,從圖像中觀察X1,X2和X3的變化趨勢.

取β=0.1,σ=0.3798,c=5,α2=0.8,μ=0.015,σ1=0.2,λ1=10,λ2=15,D21=0.05,則R=0.7715<1.初值取X1(0)=400,X2(0)=400,X3(0)=30,Δt=0.002.根據(jù)Milstein的一階差分近似方法[12],利用Matlab軟件可以得到X1,X2和X3關(guān)于時間的圖像(限于篇幅這里僅給出X3的時間序列圖，見圖1).從圖1可以看出，感染者的數(shù)量隨著時間的推移在t=15附近趨于0,即感染者隨著時間的發(fā)展最終消亡了.

數(shù)值模擬的結(jié)果顯然與定理3證明的結(jié)果相吻合.第一類易感者隨著時間的推移是增加的,而第二類易感者的數(shù)量隨著時間的推移是減少的.如前文所述,第一類易感者是受媒體影響較大的一類,第二類易感者是受媒體報道影響較小的一類,注意到在建模過程中考慮到了第二類易感者受媒體影響而成為第一類易感者的轉(zhuǎn)移率D21.一個增加一個減少可能正是媒體在艾滋病傳播過程中發(fā)揮積極的作用,而且HIV感染者最終消亡了也正是我們所期望的.

圖1 感染者隨時間變化圖像

3 結(jié)束語

本文研究了一類受媒體影響的艾滋病隨機(jī)模型.通過研究發(fā)現(xiàn),在一定條件下,感染者最終消亡.在建模過程中將艾滋病病毒的傳染率定為一個常數(shù)β,事實上,艾滋病病毒的傳染率跟感染者所處的時期有關(guān),因此研究帶有年齡結(jié)構(gòu)的隨機(jī)微分方程更有意義.