郭孟琦　岳　軍　黃　攀

(1.青島理工大學(xué)　青島　266520)(2.海軍工程大學(xué)　武漢　430033)

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對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法及其應(yīng)用*

郭孟琦1岳軍1黃攀2

(1.青島理工大學(xué)青島266520)(2.海軍工程大學(xué)武漢430033)

摘要格子玻爾茲曼方法(LBM)是一種新興的求解偏微分方程的數(shù)值工具，論文提出了一種基于對(duì)流擴(kuò)散方程的圖像去噪模型，并運(yùn)用格子波爾茲曼方法對(duì)模型進(jìn)行了求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型對(duì)含噪圖像有著很好地去噪能力，同時(shí)還能很好的保持邊緣細(xì)節(jié)信息。與P-M模型的AOS算法相比，在計(jì)算效率上有著較明顯的優(yōu)勢(shì)，并且克服了處理前對(duì)閾值參數(shù)的選擇，進(jìn)一步地滿足了圖像處理中實(shí)時(shí)處理的要求。

關(guān)鍵詞格子波爾茲曼方法; 對(duì)流擴(kuò)散方程; 圖像去噪

Class NumberP641

1引言

Lattice Boltzmann Method(LBM)，即格子玻爾茲曼方法，是20世紀(jì)80年代中期建立和發(fā)展起來的一種流場(chǎng)模擬方法。LBM直接從離散模型出發(fā)，應(yīng)用物質(zhì)世界最根本的質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒規(guī)律，在分子運(yùn)動(dòng)論和統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基礎(chǔ)上構(gòu)架起宏觀與微觀、連續(xù)與離散之間的橋梁，從一種全新的角度診釋流體運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)問題。

LBM與傳統(tǒng)的計(jì)算流體力學(xué)方法(如有限單元法、有限差分法等)相比，其算法相對(duì)簡單。簡單的線性運(yùn)算加上一個(gè)松弛過程，就能模擬各種復(fù)雜的非線性宏觀現(xiàn)象。能夠處理復(fù)雜的邊界條件，壓力可由狀態(tài)方程直接求解。同時(shí)，它的編程容易，計(jì)算的前后處理也非常簡單，具有很高的并行性，能直接模擬有復(fù)雜幾何邊界的諸如多孔介質(zhì)等連通域流場(chǎng)，無須作計(jì)算網(wǎng)格的轉(zhuǎn)換。因此，近些年它也成為了一種新的求解偏微分方程的數(shù)值工具。其求解偏微分方程的出發(fā)點(diǎn)是系統(tǒng)的微觀模型，通過微觀行為設(shè)計(jì)格子波爾茲曼方法的演化方程，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)偏微分方程的數(shù)值求解。最早是錢躍竑[1]在1992年提出的，主要是用來求解Navier-Stokes方程的，現(xiàn)在已經(jīng)在流體力學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。

在圖像處理應(yīng)用方面，Jawerth B[2]運(yùn)用LBM求解了非線性擴(kuò)散方程。此方法在保證穩(wěn)定性的情況下，能實(shí)現(xiàn)并行化以及大步長迭代計(jì)算以提高計(jì)算效率。Chang[3]根據(jù)變分模型提出了LBM去噪算法，嚴(yán)壯志等[8～11]通過在LBM的松弛因子中嵌入矢量圖像的邊緣特征，并定義新的平衡態(tài)分布函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了矢量圖像的非線性擴(kuò)散去噪。2013年，柴振華等[12]提出了一種對(duì)流擴(kuò)散方程的LBM。本文提出一種基于對(duì)流擴(kuò)散方程的干涉圖去噪新模型，并運(yùn)用格子波爾茲曼方法對(duì)新模型進(jìn)行了求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型對(duì)圖像有著很好地去噪能力，同時(shí)還能很好的保持邊緣細(xì)節(jié)信息。

2格子波爾茲曼方法

2.1格子波爾茲曼方法

格子波爾茲曼模型由離散化的計(jì)算網(wǎng)格構(gòu)成，每個(gè)網(wǎng)格的值由粒子的分布函數(shù)fi(i=0,1,…,q-1)和擴(kuò)散矢量構(gòu)成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　LBM中D2Q5和D2Q9的結(jié)構(gòu)以及半步長邊界反彈格式原理圖

(1)

對(duì)D2Q9模型：

(2)

LBM的演化方程：

(3)

在整個(gè)擴(kuò)散過程中，需滿足質(zhì)量守恒定律：

(4)

其中，I是圖像強(qiáng)度(或圖像灰度)。

設(shè)定D2Q5的平衡態(tài)分布函數(shù)為

(5)

D2Q9的平衡態(tài)分布函數(shù)為：

(6)

2.2對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法

鑒于格子波爾茲曼方法有著算法穩(wěn)定，可進(jìn)行大步長迭代，計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，下面對(duì)提出的對(duì)流擴(kuò)散模型進(jìn)行格子波爾茲曼演化。為了方便，本文把對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法記為LBCDM?？紤]求解如下形式的一個(gè)偏微分方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

對(duì)方程式(10)做時(shí)域上的離散化，則可以做到：

(11)

(12)

這里有：

(13)

以D2Q5為例，這里，αi=1/5,i=0,1,2,3,4。

首先，對(duì)方程式(12)的左邊做泰勒展開：

(14)

把式(14)代入式(12)中得：

(15)

利用C-E展開并且代入到式(15)中，并在兩邊同時(shí)取O(ε2)，可以得到：

(16)

再對(duì)式(16)取O(ε)，則可以得到：

(17)

而又因?yàn)橛?/p>

(18)

在式(17)的兩邊對(duì)i求和可以得到：

(19)

再對(duì)式(16)兩邊取O(ε2)，則可以得到：

(20)

再把式(17)代入式(20)，則有：

(21)

而由式(17)可以得到：

(22)

(23)

再把式(23)代入式(21)，則有

(24)

令式(18)乘以ε再加上式(23)乘以ε2則可得

(25)

(26)

(27)

3數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

把格子波爾茲曼方法下的對(duì)流擴(kuò)散模型應(yīng)用于圖像去噪中去，與其他格子玻爾茲曼擴(kuò)散模型的去噪算法進(jìn)行比較。這里主要進(jìn)行比較的模型是改進(jìn)的P-M模型。

對(duì)一般的lena圖分別用改進(jìn)的P-M模型的AOS算法和對(duì)流擴(kuò)散方程的格子玻爾茲曼算法(LBCDM)做數(shù)值實(shí)驗(yàn)，處理結(jié)果如下：

圖2是經(jīng)常用于圖像處理的lena圖，大小為500×500;圖3對(duì)原圖增加了十倍的隨機(jī)噪聲;圖4、圖5分別是兩種去噪方法對(duì)加噪lena圖的處理結(jié)果，其中時(shí)間步長選為0.05，LBCDM迭代次數(shù)為20次，邊緣截止函數(shù)中的閾值為5，改進(jìn)的P-M模型的迭代次數(shù)也為20次，高斯方差為1。

圖2　原圖

圖3　十倍隨機(jī)噪聲圖

圖4　AOS算法的處理結(jié)果

圖5　LBCDM的處理結(jié)果

從表1可以看出，對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)計(jì)算時(shí)間上是明顯優(yōu)于改進(jìn)的P-M模型的，這也充分地體現(xiàn)出了格子波爾茲曼方法的優(yōu)勢(shì)。其次，在噪聲和迭代次數(shù)相同的情況下，LBCDM的殘余點(diǎn)數(shù)少于改進(jìn)的P-M模型，這就說明了LBCDM比P-M模型的AOS算法去噪能力稍強(qiáng)。最后，在具有較少殘余點(diǎn)數(shù)目的前提下，LBCDM的邊緣保持指數(shù)(EPI)也較P-M模型的更大一些，這就說明了LBCDM比P-M模型的AOS算法具有更好的邊緣保持能力。

表1　不同降噪模型的處理結(jié)果對(duì)比

對(duì)湖試實(shí)驗(yàn)中得到的湖試噪聲圖分別用各向異性擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法(LBADM)、P-M模型的AOS算法和對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)做數(shù)值實(shí)驗(yàn)，處理結(jié)果如下。

圖6是從湖試試驗(yàn)中得到的帶有噪聲的湖試噪聲圖，大小為1080×4000;圖7～圖9則分別是三種去噪方法對(duì)湖試噪聲圖的處理結(jié)果，其中，時(shí)間步長均選為0.2，LBADM和LBCDM的迭代次數(shù)為3次，邊緣截止函數(shù)中的閾值為5，P-M模型的迭代次數(shù)為5次，高斯方差為1。

圖7　AOS算法的處理結(jié)果

圖9　LBCDM的處理結(jié)果

從表3中首先可以看出，各向異性擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法(LBADM)和對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)計(jì)算時(shí)間上是明顯優(yōu)于P-M模型的，這也充分地體現(xiàn)出了格子波爾茲曼方法的優(yōu)勢(shì)。其次，在具有較少殘余點(diǎn)數(shù)目的前提下，LBCDM和LBADM的邊緣保持指數(shù)(EPI)也較P-M模型的更大一些，這就說明了LBCDM和LBADM比P-M模型的AOS算法具有更好的去噪效果和更好的邊緣保持能力。最后，LBCDM和LBADM相比，LBCDM相對(duì)具有更好的去噪能力和邊緣保持能力。

表3　不同降噪模型的處理結(jié)果對(duì)比

4結(jié)語

本文提出了一種基于對(duì)流擴(kuò)散方程的圖像去噪模型，并用格子波爾茲曼方法對(duì)模型進(jìn)行了演化，即格子波爾茲曼的對(duì)流擴(kuò)散模型。對(duì)圖像進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明格子波爾茲曼的對(duì)流擴(kuò)散模型在圖像去噪上有著很好的效果，同時(shí)對(duì)邊緣細(xì)節(jié)信息的保持也有著較好的效果。通過對(duì)各向異性擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法(LBADM)、P-M模型的AOS算法和對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法(LBCDM)三種模型處理結(jié)果的比較，進(jìn)一步地顯示了對(duì)流擴(kuò)散模型的格子波爾茲曼方法在圖像的去噪效果、邊緣保持以及計(jì)算時(shí)間等方面的優(yōu)勢(shì)，并且克服了AOS算法中處理前閾值參數(shù)選取的困難，進(jìn)一步的滿足了圖像處理中實(shí)時(shí)處理的要求。

參 考 文 獻(xiàn)

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收稿日期：2016年1月8日,修回日期：2016年2月28日

基金項(xiàng)目：自然科學(xué)基金課題“多物理場(chǎng)圖像處理與應(yīng)用”(編號(hào)：61271015)資助。

作者簡介：郭孟琦，男，碩士研究生，研究方向：圖像處理的偏微分方程。岳軍，男，博士，教授，研究方向：物理海洋中的偏微分方程。黃攀，男，博士研究生，研究方向：干涉合成孔徑圖像處理。

中圖分類號(hào)P641

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.07.013

Lattice Boltzmann Method and its Application of Convection-diffusion Model

GUO Mengqi1YUE Jun1HUANG Pan2

(1.Qingdao Technological University，Qingdao266520)(2.Naval University of Engineering， Wuhan430033)

AbstractThe lattice boltzmann method is an emerging tool for solving partical differential equations(PDE) a new image de-noising model is proposed based on convection-diffusion equations and the lattice boltzmann method is used to evolve the new model. Simulation experiment and real experiment data processing results and analysis show that the new model has a good de-noising ability on the interference figure and normal image. At the same time,it also can keep the edge details so well.Compared with P-M model of AOS algorithm, the new model has better computation efficiency and calculation result.

Key Wordslattice boltzmann method, convection-diffusion equations, image de-noising