浙江省紹興市越城區(qū)馬山中學(xué)　陶苗娟

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四邊形添輔助線審題的教學(xué)實(shí)踐與反思

浙江省紹興市越城區(qū)馬山中學(xué)陶苗娟

添輔助線解幾何題是幾何教學(xué)的一部分，也是幾何教學(xué)的重難點(diǎn)所在。學(xué)生對(duì)幾何基本說理過程的掌握存在一定困難。學(xué)生達(dá)到準(zhǔn)確添輔助線解題的程度，顯得難上加難。因而，部分學(xué)生對(duì)幾何產(chǎn)生畏難情緒。教師在教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生建立信心，使學(xué)生仔細(xì)審題，充分利用已知條件或圖形隱含信息找到正確的添輔助線方法，使學(xué)生形成正確的解題思路。

四邊形 審題 添輔助線 線段相等

解幾何題時(shí)，學(xué)生有正確的思路是解決問題的關(guān)鍵。解題思路與審題息息相關(guān)，特別是部分添加輔助線的題目，輔助線添對(duì)后題目就豁然開朗，輔助線找不到或者添錯(cuò)了，不僅解不出題目，還會(huì)對(duì)解題形成干擾。通過添輔助線，圖形的性質(zhì)得以顯現(xiàn)，分散的條件得以集中，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題。幾何證題中，輔助線有橋梁和化難為易的作用。

實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常碰到的現(xiàn)象是，學(xué)生將苦思半天想不出的問題拿來請(qǐng)教教師，教師幫助學(xué)生找到關(guān)鍵條件稍加點(diǎn)撥或幫助，學(xué)生理清思路添加輔助線后恍然大悟。究其原因是學(xué)生沒有養(yǎng)成仔細(xì)審題的良好習(xí)慣，缺少解幾何題的方式方法。

學(xué)生對(duì)幾何題存在畏難情緒的原因包括：一方面是幾何說理過程寫不清，另一方面是解題時(shí)難以形成思路，對(duì)已知條件如何有序組合、應(yīng)用存在困難。特別是普遍條件缺少時(shí)，學(xué)生不會(huì)應(yīng)用圖形的特征添線、找線，常走彎路而不知及時(shí)回頭修改，使解題陷入困境，使幾何成為學(xué)生頭痛的學(xué)科。教師要幫助學(xué)生自我點(diǎn)撥，掌握解幾何題的方法與技巧，找到解題突破口，用正確的方法找到該添的線，掌握一定的審題技巧，形成解題思路。

在《特殊平行四邊形》一章中有通過添輔助線證明兩條線段相等習(xí)題。筆者從課本上的一道作業(yè)題說起，分析教學(xué)中教師如何幫助學(xué)生使用問題探究的方式，有效、快速地找到輔助線，使學(xué)生在審題過程中碰到問題及時(shí)反省，形成正確的解題思路。

已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在AD、DC上，且DE=DF，BM⊥EF于M，求證：ME=MF。

問題分析：練習(xí)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生添輔助線時(shí)連接DM或延長BM，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)說明EM=MF。這樣做忽略了連接DM后，DM與EF是否垂直；忽略了延長BM后，BM的延長線是否經(jīng)過點(diǎn)D。學(xué)生對(duì)添加的輔助線沒有進(jìn)行深入思考，無法繼續(xù)解題。筆者設(shè)計(jì)以下問題啟發(fā)學(xué)生，幫助學(xué)生找到正確的添輔助線的方法。

問題1：證明兩條線段相等有哪些方法？

生答：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等腰三角形兩腰相等，等邊三角形三邊相等，在同一三角形中等角對(duì)等邊，三線合一；中垂線上一點(diǎn)到線段兩端的距離相等；角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等；線段中點(diǎn)；平行四邊形的對(duì)邊相等，菱形、正方形四邊相等；矩形對(duì)角線相等；平行線之間的距離相等；等量代換；三角形中位線等于第三邊一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半。

問題2：證明兩條線段相等有很多方法，在具體題目中選擇哪種方法進(jìn)行證明？同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)會(huì)根據(jù)什么選擇方法？

生答：結(jié)合已知條件，根據(jù)條件的提示選擇方法；根據(jù)圖形形狀選擇方法。

問題3：結(jié)合以前的解題經(jīng)驗(yàn)，同學(xué)們能舉例說明嗎？

生答：如果條件中有中點(diǎn)，選中位線，中線或三線合一的方法證明；如果條件中有平行四邊形，應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)證明；如果有兩個(gè)三角形，證明兩個(gè)三角形全等如果出現(xiàn)一個(gè)三角形，就證明此三角形為等腰三角形。

問題4：本題中證明EM=MF，結(jié)合條件BM⊥EF，你會(huì)選擇哪種方法證明？

生答：利用三線合一的性質(zhì)證EM=MF；利用全等性質(zhì)證EM=MF。

問題5（針對(duì)第一種方法設(shè)計(jì)）：三線合一的前提條件是等腰三角形，圖中有這樣的等腰三角形嗎？你認(rèn)為在△DEF中添輔助線能達(dá)到目的嗎？如果不行，如何構(gòu)造等腰三角形？

問題分析：受圖形暗示及思維定式影響，如果出現(xiàn)兩個(gè)三角形，學(xué)生解題時(shí)會(huì)用全等證明線段相等。因此，大部分學(xué)生證明△ABE≌△ADF。解題過程中，學(xué)生容易找到證明全等的兩個(gè)條件AB=AD，∠B=∠D，但證明△ABE≌△ADF的第三個(gè)條件很難找到。學(xué)生用已知條件很難轉(zhuǎn)化出邊相等或角相等，解題陷入困境。

面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤選擇，筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)以下問題幫助學(xué)生正確添加輔助線。

問題1：兩條線段出現(xiàn)在兩個(gè)三角形中，證兩條線段相等，我們往往考慮證明這兩個(gè)三角形全等，但有時(shí)全等的條件不容易找甚至找不到，我們?cè)趺崔k？

生答：轉(zhuǎn)換思路，想其他辦法。

問題2：四邊形問題一般可轉(zhuǎn)換為三角形問題，結(jié)合菱形性質(zhì)，當(dāng)菱形中有一個(gè)角為60°時(shí)，同學(xué)們可得到什么結(jié)論？

生答：得到等邊三角形。

問題3：四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的問題中，我們常用的添輔助線的方法是什么？同學(xué)們想到怎么添輔助線了嗎？

生答：連對(duì)角線，連接AC。

教學(xué)反思：結(jié)合學(xué)生產(chǎn)生的思維困惑或理解偏差，筆者從學(xué)生需要出發(fā)，幫助學(xué)生找出問題成因，設(shè)計(jì)一系列具有針對(duì)性的問題，啟迪學(xué)生思維，深化問題本質(zhì)，幫助學(xué)生理順解題思路，解決困惑，使學(xué)生學(xué)會(huì)仔細(xì)審題，找到正確的輔助線。

筆者通過問題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，尋找多種方法解答同一題目并進(jìn)行方法比較。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分類思考，探究條件改變的情況下結(jié)論之間的關(guān)系。

現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式強(qiáng)調(diào)教師通過問題引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，同時(shí)通過學(xué)習(xí)生成問題，即課堂教學(xué)要有“問題”意識(shí)。教師在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)問題、提出問題固然重要，但更要關(guān)注來自學(xué)生的問題，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題中成為學(xué)習(xí)的主人。

教師要鼓勵(lì)學(xué)生出現(xiàn)學(xué)習(xí)困惑時(shí)問問自己為什么卡住，有哪些地方?jīng)]弄明白，碰到一個(gè)問題有哪些解決方法等。解題中，學(xué)生形成思維障礙的主要原因是學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平不能順應(yīng)教學(xué)內(nèi)容，造成知識(shí)運(yùn)用上脫節(jié)。因此，教師要培養(yǎng)學(xué)生樹立問題意識(shí)，用問題深化知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的關(guān)聯(lián)，拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生的探究意識(shí)，使學(xué)生順利理解知識(shí)、消除困惑、掌握基本解題技能，使問題成為學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的向?qū)А?/p>

通過不斷嘗試與探究，學(xué)生明白添輔助線是一項(xiàng)難度很大的技巧，出現(xiàn)錯(cuò)誤并不可怕，關(guān)鍵要懂得及時(shí)改正。問題探究的過程中，學(xué)生學(xué)會(huì)自己提問、自己解答，這是解決問題的最佳方法。

添輔助線解幾何題時(shí)除憑借直覺思維、經(jīng)驗(yàn)之外，學(xué)生還可應(yīng)用已知條件的提示或者結(jié)論對(duì)題目進(jìn)行邏輯思維與深度思維。學(xué)生需要多次嘗試才能成功添加輔助線，尋找輔助線的過程中，學(xué)生思維得到訓(xùn)練、發(fā)展和碰撞。學(xué)生通過不斷嘗試，仔細(xì)審題，自我探究，形成解決問題的方法。

課堂實(shí)踐的目的是指導(dǎo)學(xué)生掌握審題技巧。教師引導(dǎo)學(xué)生少走彎路，及時(shí)糾正錯(cuò)誤。面對(duì)錯(cuò)誤思路，學(xué)生要舍得花時(shí)間分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，自我交流、思考、總結(jié)的過程就是學(xué)生思維火花碰撞的過程，是學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程。

課堂上，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)與訓(xùn)練學(xué)生，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，有利于學(xué)生掌握問題探究、尋找輔助線的方法，使不同學(xué)生得到不同發(fā)展。

學(xué)生需要對(duì)題目條件進(jìn)行深入思考與挖掘，需要鍥而不舍的探究精神及一定量的練習(xí)。

［1］倪小芳.巧添輔助線證幾何題［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2013

［2］黨曉燕.找準(zhǔn)學(xué)生“發(fā)展區(qū)”創(chuàng)生教學(xué)“生長點(diǎn)”——對(duì)高三數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)［J］.寧夏教育科研，2012

ISSN2095-6711/Z01-2016-06-0187