程巨銀

（六安市皋城中學(xué)，安徽 六安 237000）

化折為直，巧解最值

程巨銀

（六安市皋城中學(xué)，安徽 六安 237000）

初中數(shù)學(xué)中，我們常會(huì)遇到這樣的一類問(wèn)題：“如何求解線段之和最小？”，此類問(wèn)題出現(xiàn)形式多樣，解題方法靈活多變，很多同學(xué)遇到后覺得比較困難，究其原因是我們找不到合適的切入口，導(dǎo)致思維受阻。下面筆者基于自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類梳理，談?wù)勅绾吻捎脠D形化折為直，妙解最值問(wèn)題，希望對(duì)讀者有一定幫助。

初中數(shù)學(xué)；巧用圖形

一、兩定一動(dòng)

例1（1）如圖1，已知直線l 的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A 、B，在直線l 上找一點(diǎn)P 使PA+PB最小，方法如下：作A（或者B）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′（或B′），連接A′ B（或B′ A）與直線l的交點(diǎn)即為所求。

圖1　

例1 （2）如圖2，在等邊?ABC中，D為BC 中點(diǎn)，P為AC上任意一點(diǎn)，求PB+PD最小值。

注：例1屬“兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類問(wèn)題，且兩個(gè)定點(diǎn)都在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同側(cè)，解決此類問(wèn)題時(shí)，常需利用圖形的軸對(duì)稱性，將其中一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行軸對(duì)稱變換（對(duì)稱軸即為動(dòng)點(diǎn)所在直線）到直線另一側(cè)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)形成線段即為線段和的最小值。

二、兩動(dòng)一定

解析：可先假設(shè)N為一定點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”問(wèn)題，即作C 關(guān)于BD 對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′在AB 上，連C′N交BD 于M ，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知CM+MN最小值=C′M+MN=C′N 。

再考慮N 是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C′為AB上一個(gè)定點(diǎn)，由“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”，可知當(dāng)C′N′⊥BC時(shí)，C′N′最小（如圖4），即CM+MN最小，而∠C′ BN ′=45°，，∴C′N′=4

圖3　

圖4　

三、兩定兩動(dòng)

解析：易求A（-3，1），B（-1，3）

作A 關(guān)于x 軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-3，-1），作B 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（1，3），連A′ B′交x軸于P ，交y 軸于Q ，此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)為：，即為周長(zhǎng)最小值，故A′ B′兩點(diǎn)確定的直線即為所求。

圖6　

圖7　

（2）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，2），B（5，4），在x軸上有兩點(diǎn)E 、F （E 點(diǎn)在F 點(diǎn)左側(cè)），且EF=1，當(dāng)四邊形AEFB 周長(zhǎng)最小時(shí)，求E點(diǎn)坐標(biāo)。

注：本例均屬“兩個(gè)定點(diǎn)+兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類問(wèn)題。其中（1）是兩動(dòng)點(diǎn)中兩軸上，分別作兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于兩軸的對(duì)稱點(diǎn)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”，將“折線段”轉(zhuǎn)化為“直線段”。（2）中兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)，且兩動(dòng)點(diǎn)之間距離保持不變，解決此類問(wèn)題常需要借助平移將相關(guān)線段移到適當(dāng)位置，使分散的條件相對(duì)集中，將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”來(lái)解決。

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A

1671-864X（2016）07-0106-01