◇ 江蘇 陸 霞

解析幾何題求解錯誤例析

◇ 江蘇 陸 霞

學生在學習解析幾何問題的過程中,經常出現(xiàn)由于考慮問題不全面或者是忽略有利條件等原因導致解題失誤的現(xiàn)象.因此在教學中,教師應當引導學生剖析錯誤根源,提高解題正確率.

1 只注重結論與公式,未關注條件

在解題過程中,很多學生運用概念或者定理來解決問題時往往只關注公式的結論,并沒有關注條件,從而導致解題出現(xiàn)失誤.

例1 過點M(4,1)作圓(x－2)2＋(y＋2)2＝4的切線,此時切線方程為________.

定理:過圓上一點M(x0,y0)作圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的切線,其切線方程為

錯解1 由上述定理得切線方程為(4－2)(x－2)＋(1＋2)(y＋2)＝4,簡化可得2x＋3y－2＝0.

剖析 在求解選擇或填空題時,借助一些定理簡化運算是合理的解題策略.但是很多學生在記憶定理或者結論時,通常會忽略定理的前提條件.上述定理的應用條件是點M在圓上,而在例1中,點M卻在圓外,因此并不適用.

錯解2 假設直線方程為y－1＝k(x－4),即kx－y－4k＋1＝0.按照求得k＝5/12,因此切線方程為5x－12y－8＝0.

剖析 求解此題可使用待定系數(shù)法,通過點斜式假設直線方程后求解.而使用點斜式的前提是有斜率,因此忽略了斜率不存在時的情況,此題的正解為x＝4或5x－12y－8＝0.

在學習過程中還有很多類似的案例,如在使用直線法方程的截距式時,很容易忽略截距為0的情況;在使用等比數(shù)列求和公式時,很容易忘記公比為1的情況等.教學中教師應當提醒學生關注這些條件,正確引導學生在恰當?shù)臈l件下運用公式或定理等,由此提高解題效率.

2 考慮問題不全面

在解題過程中全面看待問題是正確解題的基礎.在進行式子變形或條件轉化時應考慮到等價性,如變量的范圍等,這些都是容易疏忽的內容.

例2 已知直線y＝(a＋1)x－1與拋物線y2＝ax有1個公共點,實數(shù)a的取值范圍為________.

剖析 上述解題法僅想到了(a＋1)2≠0時的狀況.實際上,當(a＋1)2＝0時,即a＝－1時,得出的直線為y＝－1與拋物線y2＝－x也僅有1個公共點.因此正確答案為a＝－4/5或a＝－1.

除了直線與圓錐曲線相切時有1個公共點外,直線平行于拋物線對稱軸或者平行與雙曲線的漸近線時,也只有1個公共點.因此在解題時,應當綜合考慮.

3 缺乏對問題的直觀認識

在求解時,很多學生只是死記硬背公式、定理等,沒有結合具體圖形來求解,最終導致錯誤.

例3 已知拋物線的方程為y＝2ax2(a＜0),此時焦點坐標為( ).

A (0,－1/8a); B (－a/2,0);

C (0,－a/2); D (0,1/8a)

錯解 按照拋物線方程為y＝2ax2,已知拋物線的對稱軸為y軸,2p＝－2a,因此p＝－a,p/2＝－a/2,因此焦點坐標是(0,－a/2),正確選項為C.

剖析 在解題時,應當先正確理解概念,科學記憶拋物線的標準方程為y2＝2px、y2＝－2px、x2＝2py、x2＝－2py.一次項系數(shù)的正、負決定了其開口朝向及對稱軸的正、負.在看到與拋物線相關的題目時,應先把方程變?yōu)闃藴适?隨后再求出拋物線的焦參數(shù)p.在求參數(shù)時,應注意到p＞0.因此標準方程中一次項系數(shù)的絕對值是2p.在得到p后,再去求解拋物線的幾何性質.本題的方程為x2＝－2py型,圖象如圖1所示,焦點坐標為(0,－p/2).正確得出p＝－1/4a后,就能夠得到焦點坐標為(0,1/8a),因此應選D.

綜上所述,在教學中教師應當指導學生合理記憶概念、公式、定理,同時為學生創(chuàng)造良好的學習環(huán)境,教會學生在不同的條件下怎樣正確地使用這些知識.經過長期培養(yǎng),學生就能夠全面地看待問題,由此提高解題效率.

圖1

江蘇省金湖中學)