劉樟明

摘要：快速傅里葉變換（FFT）屬于數(shù)字信號(hào)處理中最基礎(chǔ)的運(yùn)算之一，廣泛應(yīng)用于通訊、醫(yī)學(xué)電子學(xué)、雷達(dá)或無線電天文學(xué)等領(lǐng)域。由于單純的FFT算法不適用于此類部件振動(dòng)曲線的預(yù)測，為提高預(yù)測精度，此文主要探討了使用FFT與二乘擬合的復(fù)合算法來對該類曲線趨勢進(jìn)行預(yù)測的研究情況，仿真結(jié)果表明短時(shí)預(yù)測效果明顯，從而驗(yàn)證了此方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：FFT變換；二乘擬合；振動(dòng)曲線；預(yù)測研究

中圖分類號(hào)：TP301 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2016）19-0206-04

The Forecast Research on the CurveS Trend Based on the Composite Algorithm of the FFT Means and the Least Squares Fitting

LIU Zhang-ming

（The Academy of Armored Forces Engineering， Beijing 100072， China）

Abstract ： FFT is a kind of most basic operation in digital signal processing and it has been widely used in area of communications， medical electronics， radar or radio astronomy and so on. Because the simple FFT algorithm is not suitable for the prediction of the vibration curve of this kind of component， so this article mainly says the research phenomenon of using the composite algorithm of FFT means and the least squares fitting to increase the forecasting precision of the vibration curves trend of gun. The simulation results shows that the effect of the short-time forecast is obvious and the feasibility and effectiveness of this solution are verified.

Key words： FFT algorithm； least squares fitting； the vibration curve； the forecast research

1 概述

控制精度是控制系統(tǒng)的一個(gè)重要評(píng)價(jià)指標(biāo)，而控制精度又受若干因素的影響。其中系統(tǒng)關(guān)鍵部件的不穩(wěn)定振動(dòng)就是因素之一，而能預(yù)測出系統(tǒng)關(guān)鍵部件的振動(dòng)曲線趨勢將對提高控制精度有很大幫助。本文在此則主要論述了使用FFT與二乘擬合的復(fù)合算法來對關(guān)鍵部件振動(dòng)曲線趨勢進(jìn)行預(yù)測研究的情況。其中，快速傅里葉變換（FFT）是離散傅里葉變換（DFT） 快速算法之一，該算法在使用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的各種應(yīng)用領(lǐng)域里都起著極為重要的作用。而FFT的算法又有很多種， 也都已發(fā)展得較為成熟。

2 DFT算法及DFT快速算法的描述[1，2，4，5]

2.1 離散傅里葉變換算法（ DFT算法）

設(shè)為N點(diǎn)的有限長序列， 則其正變換DFT算法為：

； （1）

逆變換IDFT算法為：

； （2）

通常我們用算法所需的乘法和加法運(yùn)算次數(shù)，來評(píng)價(jià)一種算法的復(fù)雜性和運(yùn)算效率。這里的、通常都是復(fù)數(shù)， 于是整個(gè)DFT運(yùn)算就需要 N*N次復(fù)數(shù)乘法和 N（N-1）次復(fù)數(shù)加法。因此，直接計(jì)算DFT，乘法和加法的次數(shù)都與N*N成正比，當(dāng)N較大時(shí)， 計(jì)算量太大， 無法得到實(shí)際的應(yīng)用。

2.2 離散傅里葉變換算法分析

一個(gè)周期（-，）為的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開形式如下：

其中

= （3）

為將連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式（3）離散化，在周期區(qū)間（0，）上等間隔的取個(gè)點(diǎn)， 取樣間隔為， 那么， 這里要注意。則的離散化序列為{}，且，由此式（3）的離散化形式為：

（4）

其中

，，。

在這里對做一下變形， 對其分子分母同乘以后可得出第項(xiàng)為一個(gè)正弦和一個(gè)余弦周期函數(shù)之和， 其頻率皆為：，其中為所取序列總的時(shí)間長度。隨著的增大， 三角函數(shù)的頻率逐漸增加， 周期逐漸減小， 其周期為：；當(dāng)時(shí)， 諧波的頻率最大為：，該頻率稱為Nyquist頻率， 當(dāng)從取到時(shí)，其結(jié)果與從0取到是鏡像對稱的。現(xiàn)在將（4）式的各次諧波寫成如下形式：

（5）

其中： 為次諧波的振幅；為次諧波的初相。故如果知道了離散傅里葉的頻域變換結(jié)果， 可以通過逆變換將信號(hào)返回到時(shí)域上來。

2.3 DFT的快速算法

快速傅里葉變換FFT是DFT的一種快速算法，而此類的算法又有很多， 如主要的算法有：時(shí)域抽?。―IT ）基- 2FFT算法、頻域抽?。―IF ）基- 2FFT算法、N為復(fù)合數(shù)的FFT算法、實(shí)序列的FFT分裂基FFT算法 （SRFFT）、素因子算法（PFA）、Winograd傅里葉變換算法（WFTA）、多維FFT變換等。其中時(shí)域抽取（DIT）基-2FFT算法是將輸入序列在時(shí)域上的次序按偶數(shù)和奇數(shù)分類進(jìn)行抽取， 對于任意一個(gè)N=點(diǎn)長序列的DFT運(yùn)算， 可以采用M次分解， 最后分解成2點(diǎn)的DFT運(yùn)算的組合， 從而使運(yùn)算量得到了很大的降低。

由于實(shí)際應(yīng)用需要和特定需求的不同， 現(xiàn)在還涌現(xiàn)了許多其他的快速傅里葉變換算法， 如DFT刪剪算法、DHT算法、DCT算法、線性調(diào)頻Z變換算法等，而放大鏡式FFT 算法 （ZFFT）又是目前比較感興趣的研究方向之一。

3 FFT與二乘擬合的復(fù)合算法在某型裝備關(guān)鍵部件的振動(dòng)曲線趨勢的預(yù)測情況

先陳述一下仿真結(jié)果（注：以下圖形中實(shí)線采樣間隔皆為3ms），以下的仿真結(jié)果可較為形象地描述使用FFT與二乘擬合的復(fù)合算法來對關(guān)鍵部件的振動(dòng)曲線趨勢進(jìn)行預(yù)測的研究效果。

3.1 FFT與二乘擬合復(fù)合算法的仿真實(shí)現(xiàn)及仿真結(jié)果介紹

其中構(gòu)造頻譜的Matlab子程序如下：

D1=Data（1：（N-2*mm））；

x41=fft（D1，（N-2*mm））；

for i=1：1：nn1

ar1（i）=real（x41（i））；

ar2（i）=imag（x41（i））；

end

D2=Data（（mm+1）：（N-1*mm））；

x42=fft（D2，（N-2*mm））；

for i=1：1：nn1

ar11（i）=real（x42（i））；

ar22（i）=imag（x42（i））；

end

D3=Data（（2*mm+1）：（N-0*mm））；

x43=fft（D3，（N-2*mm））；

for i=1：1：nn1

ar111（i）=real（x43（i））；

ar222（i）=imag（x43（i））；

end

for i=1：1：nn1

B=0：0.003：（0.003*2）；

D=[ar1（i），ar11（i），ar111（i）]；

p=polyfit（B，D，F(xiàn)）；

Ar1（i）=polyval（p，（0.003*2+0.003））；

end

for i=1：1：nn1

B=0：0.003：（0.003*2）；

D=[ar2（i），ar22（i），ar222（i）]；

p=polyfit（B，D，F(xiàn)）；

Ar2（i）=polyval（p，（0.003*2+0.003））；

end

for i11=1：1：nn1

x4（i11）=complex（Ar1（i11），Ar2（i11））；

end

通過修改參數(shù)可定性地知道：dt（預(yù)測時(shí)間）、間隔采樣方式、參數(shù)nn1（二乘法構(gòu)造頻譜的條數(shù)）對曲線的預(yù)測精度都有很大影響。

4 結(jié)語

DFT屬于基礎(chǔ)頻域算法，廣泛用于信號(hào)處理領(lǐng)域，但因其運(yùn)算速度較慢的缺點(diǎn) ，在實(shí)際中常用其改進(jìn)算法，如FFT算法；當(dāng)然隨著數(shù)字信號(hào)處理需求的不斷發(fā)展， 亦出現(xiàn)了多種其他的快速變換算法， 如快速沃爾什變換、快速數(shù)論變換等， 但對FFT變換來說都有一定的局限性，F(xiàn)FT算法仍然是數(shù)字信號(hào)處理的最基本技術(shù)之一。在理論層次上， 離散傅里葉算法的復(fù)雜性問題已達(dá)一定的成熟度了， 快速傅里葉算法也發(fā)展得比較成熟了。但在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)FT算法的應(yīng)用選擇必須考慮到問題背景及研究目的。

本文應(yīng)用FFT與二乘擬合的復(fù)合算法對某型裝備關(guān)鍵部件的曲線趨勢進(jìn)行了預(yù)測研究，可得出以下結(jié)論：

1）提出了一種將 FFT與二乘擬合相結(jié)合的頻域算法 ，通過對運(yùn)動(dòng)曲線頻譜數(shù)據(jù)的加工處理，而后再進(jìn)行傅里葉反變換，提高了對運(yùn)動(dòng)曲線趨勢的預(yù)測精度，短時(shí)預(yù)測效果明顯，從而驗(yàn)證了方法的可行性和有效性。

2）從以上的仿真結(jié)果介紹可以看出， 在等dt（預(yù)測時(shí)間）間隔采樣方式不變的情況下，降低dt（預(yù)測時(shí)間）并增加參數(shù)nn1（二乘法構(gòu)造頻譜的條數(shù)）都可以提高預(yù)測精度。

另外此種FFT與二乘相結(jié)合的頻域算法不僅僅只適用于振動(dòng)信號(hào)，亦可推廣應(yīng)用于其他需進(jìn)行頻域分析處理的信號(hào)。

3）當(dāng)然在本次程序仿真中也反映出長時(shí)預(yù)測精度不高及運(yùn)行時(shí)間稍長的等缺點(diǎn)，這些都有待作進(jìn)一步的分析處理工作。相信隨著數(shù)字信號(hào)處理等技術(shù)的不斷發(fā)展， 會(huì)出現(xiàn)更多與FFT相組合的新算法， 相信人們對算法復(fù)雜性及其實(shí)現(xiàn)也將有更新更深的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)。

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