李曉莉，李成偉

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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改進(jìn)的自適應(yīng)噪聲總體集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解在光譜信號(hào)去噪中的應(yīng)用

李曉莉，李成偉*

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對(duì)近紅外無(wú)創(chuàng)血糖檢測(cè)過(guò)程中噪聲對(duì)血糖濃度模型精度和穩(wěn)定性的影響，提出用自適應(yīng)噪聲總體集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法實(shí)現(xiàn)近紅外光譜信號(hào)的去噪；同時(shí)，根據(jù)原始信號(hào)曲率和分解后本征模態(tài)函數(shù)(IMFs)曲率間的離散弗雷歇距離選擇相關(guān)模態(tài)。首先，將自適應(yīng)噪聲的總體集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法引入近紅外光譜去噪過(guò)程，介紹了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解及自適應(yīng)噪聲總體集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的基本原理及具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程。然后，應(yīng)用基于曲率和離散弗雷歇距離的自適應(yīng)噪聲總體集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解改進(jìn)算法對(duì)仿真信號(hào)和光譜信號(hào)進(jìn)行去噪，并將其標(biāo)準(zhǔn)差和信噪比作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：應(yīng)用提出的方法得到的血糖濃度近紅外光譜數(shù)據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)差為0.179 4，信噪比為19.117 5 dB，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)與噪聲的分離，改善了重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量，具有良好的自適應(yīng)性，可以有效識(shí)別并提取有用信息。

無(wú)創(chuàng)血糖檢測(cè)；近紅外光譜；信號(hào)去噪；自適應(yīng)噪聲總體集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；曲率；離散弗雷歇距離

1　引　言

糖尿病是威脅人類健康的重大疾病之一，而且糖尿病患者的數(shù)量正以驚人的速度增長(zhǎng)，目前，世界上已經(jīng)有超過(guò)一億的人患有糖尿病，預(yù)計(jì)到2030年將增加到3億。糖尿病患者雖然可以通過(guò)調(diào)整飲食或是注射胰島素來(lái)調(diào)節(jié)血糖水平，但糖尿病后期會(huì)引起嚴(yán)重的并發(fā)癥，例如：心臟衰竭和失明。所以，糖尿病的預(yù)防非常重要，無(wú)創(chuàng)血糖檢測(cè)方法由于可以減少頻繁檢測(cè)所帶來(lái)的疼痛感并降低醫(yī)療成本，故得到廣泛應(yīng)用。無(wú)創(chuàng)血糖檢測(cè)技術(shù)包括吸收光譜法、光聲光譜法、光偏振法、熒光法和介電光譜法[1-3]。Arlen Duncan等在1995年利用脈沖光聲光譜法檢測(cè)手指血液內(nèi)的葡萄糖濃度[2]。J.R. Blanco等在2006年研制出一種便攜式葡萄糖傳感器，該設(shè)備通過(guò)測(cè)量特定物質(zhì)和生物識(shí)別系統(tǒng)之間電子交換產(chǎn)生的電流檢測(cè)葡萄糖濃度[3]。2011年，Ashok等利用反式激光束測(cè)量糖尿病患者的血糖濃度[4]?；诮t外光譜進(jìn)行無(wú)創(chuàng)血糖檢測(cè)已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的研究熱點(diǎn)[1]。

在近紅外光譜測(cè)量中，噪聲是一個(gè)重大的挑戰(zhàn)。目前存在的去噪方法主要有基于模型方法、變換域方法和自適應(yīng)濾波方法[5-7]。維納濾波器由于具有易于實(shí)現(xiàn)和設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，但是這種線性方法只能用于穩(wěn)定信號(hào)。為了克服這個(gè)限制，有學(xué)者提出了基于小波閾值的非線性方法。然而小波方法的基函數(shù)是固定的，不能對(duì)所有的真實(shí)信號(hào)都匹配。準(zhǔn)確地說(shuō)，這種局限性源于它的非自適應(yīng)性，一旦確定好基小波，它將被用于分析所有數(shù)據(jù)，如果選擇的小波分解不合適將會(huì)限制其去噪性能。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition， EMD)常被用于分析非穩(wěn)態(tài)和非線性數(shù)據(jù)[8-9]，它可以將任意信號(hào)分解成不同的振蕩成分，即本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Functions， IMFs)。這個(gè)強(qiáng)大的自適應(yīng)工具非常適合解決測(cè)量領(lǐng)域中的噪聲和頻率估計(jì)問(wèn)題，但EMD是基于相關(guān)模態(tài)的局部重建，用其進(jìn)行信號(hào)濾波屬于自適應(yīng)方法，故周期性信號(hào)引起模態(tài)混疊的問(wèn)題。集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition， EEMD)可有效地解決這個(gè)問(wèn)題，但同時(shí)也引入了新的問(wèn)題，即在重構(gòu)信號(hào)中含有殘留噪聲。目前，EMD和EEMD兩種方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[10-14]?；パa(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition， CEEMD)可以抑制重構(gòu)余項(xiàng)并消除IMF里的殘余噪聲，但是當(dāng)參數(shù)選擇不當(dāng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤成分導(dǎo)致最后獲得的IMF不能真正滿足IMF的定義。為了克服這個(gè)問(wèn)題，本文提出了自適應(yīng)噪聲的總體集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise， CEEMDAN)算法來(lái)獲得準(zhǔn)確的原始信號(hào)重構(gòu)和純凈的分解模態(tài)光譜。

2　EMD方法及其改進(jìn)版本

2.1EMD方法

EMD通常將信號(hào)分解為小數(shù)量的IMFs，IMF應(yīng)該滿足以下2個(gè)條件：(1)極值點(diǎn)和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)量相等或最多相差一個(gè)點(diǎn)。(2)任一點(diǎn)的上下包絡(luò)線均值需為零[15]。EMD是一種通過(guò)連續(xù)減去包絡(luò)均值去除震蕩的自適應(yīng)方法。對(duì)于信號(hào)x(t) 而言，EMD算法包括以下步驟[16]：

(1)利用三次樣條插值法順序連接局部最大值(最小值)點(diǎn)，獲得上(下)包絡(luò)線。

(2)定義上下包絡(luò)線的均值m(t)。

(3)提取瞬時(shí)局部振蕩h(t)=x(t)-m(t) 值。

(4)重復(fù)步驟(1)～(3)，直到m(t)接近于零，則h(t)是一個(gè)IMF，記為c(t)。

(5)計(jì)算余項(xiàng)r(t)=x(t)-c(t)。

(6)余項(xiàng)r(t)作為x(t)，重復(fù)步驟(1)～(5)產(chǎn)生下一個(gè)IMF和余項(xiàng)，直到余項(xiàng)成為單調(diào)函數(shù)。

因此，原始信號(hào)x(t)可以重構(gòu)為：

(1)

式中：ci(t)為第i個(gè)IMF；rn(t)為第n個(gè)余項(xiàng)。

2.2EEMD方法

由于EMD算法是利用局部極值構(gòu)建包絡(luò)線的，信號(hào)的中斷會(huì)引起模態(tài)混疊，因此學(xué)者們提出了EEMD算法以解決此問(wèn)題。EEMD算法[15]描述如下：

(1)令xi(n)=x(n)+wi(n)，式中wi(n)(i=1，…，l)為不同的高斯白噪聲。

2.3CEEMD方法

在CEEMD算法中，在原始信號(hào)中加入成對(duì)的白噪聲產(chǎn)生兩個(gè)IMFs集合，因此可以推出兩個(gè)信號(hào)和白噪聲組合的混合集合[16]：

(2)

其中：S是原始數(shù)據(jù)；N是添加的白噪聲；M1是原始數(shù)據(jù)和正噪聲的和；M2是原始數(shù)據(jù)和負(fù)噪聲的和。最終的IMF是IMFs和正負(fù)噪聲的集合。由于成對(duì)的噪聲可以有效消除最終白噪聲余項(xiàng)，因此CEEMD可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

2.4CEEMDAN方法

為了比較EMD、EEMD、CEEMD和CEEMDAN 4種方法的分解效果，將理想心電(ECG)信號(hào)加上5 dB噪聲作為仿真信號(hào)，如圖1所示。利用上述4種方法進(jìn)行分解，圖2和表1分別給出了4種方法分解后的重構(gòu)誤差和標(biāo)準(zhǔn)差值，由仿真實(shí)驗(yàn)可知，EMD和CEEMDAN的重構(gòu)誤差及標(biāo)準(zhǔn)差值要小于EEMD和CEEMD，但是由于EMD方法具有模態(tài)混疊的缺點(diǎn)，因此CEEMDAN方法更適合于非穩(wěn)定信號(hào)的分解。

圖1　ECG信號(hào)波形

(a)EMD

(b)EEMD

(c)CEEMD

(d)CEEMDAN

METHODEMDEEMDCEEMDCEEMDANSD6.0657e-150.3661.611e-146.0811e-15

3　改進(jìn)的CEEMDAN方法

3.1曲線的曲率

曲率是指在一條曲線或不同曲線上不同點(diǎn)的彎曲程度[18]。每條曲線的曲率不同，曲率本身是曲率半徑的倒數(shù)。對(duì)于一般的函數(shù)情況，y=f(x)，曲率k為：

(3)

對(duì)于一條給定的曲線f(t)=(x(t)，y(t))，曲率k為：

(4)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，曲率可以準(zhǔn)確揭示不同頻率曲線的波峰或波谷的屬性和位置(如圖3所示)。另外，每個(gè)曲線都有其獨(dú)有的曲率。因此，利用EMD方法及其改進(jìn)方法分解后的模態(tài)可以看作是具有不同頻率的不同曲線，即每個(gè)IMF的曲率不同。進(jìn)而可以利用曲率展示不同模態(tài)的內(nèi)在屬性，并用于相關(guān)模態(tài)選擇。

(b)信號(hào)曲率(b)Curvature of signal

3.2離散弗雷歇距離

弗雷歇距離(Frechet Distance， FD)利用兩個(gè)目標(biāo)的路徑以及兩條曲線上所有離散點(diǎn)的距離，測(cè)量?jī)蓷l曲線的相似度。弗雷歇距離最著名的一個(gè)例子是一個(gè)人和一個(gè)狗之間由一條狗繩連接，各自沿著兩個(gè)路徑行走，假設(shè)人和狗可以以不同的速度行走，但是不可以向后行走，弗雷歇距離就是人和狗從起點(diǎn)走向終點(diǎn)的相應(yīng)路徑中狗繩的最短長(zhǎng)度。這種測(cè)量方法直觀，而且與豪斯多夫距離等其他相似度測(cè)量方法相比，其可以更好地代表折線曲線的相似度。長(zhǎng)度分別為m和n的折線曲線P和Q之間的弗雷歇距離可定義為[19]：

(5)

式中：Ψm,n=M([1:m+n],[0:m])×M([1:m+n]，[0:n])，[a:b]={a,a+1,…,b}，對(duì)于任何兩個(gè)整數(shù)a,ba≤b。

3.3模態(tài)選擇方法

對(duì)于原始信號(hào)y(t)=x(t)+n(t)，x(t)為有用信號(hào)，n(t)為噪聲信號(hào)。測(cè)量信號(hào)y(t)可以被分解為n個(gè)模態(tài)(IMF1，IMF2，…，IMFn)和一個(gè)余項(xiàng)，所有的模態(tài)按照頻率從高到低排列。一般而言，噪聲存在于前幾個(gè)IMFs中，純凈信號(hào)存在于后幾個(gè)IMFs中，因此在噪聲信號(hào)和有用信號(hào)之間會(huì)存在一個(gè)臨界模態(tài)將信號(hào)分解為：

(6)

本文中所提改進(jìn)方法的主要思想是找出可以區(qū)分噪聲信號(hào)模態(tài)和純凈信號(hào)模態(tài)的相關(guān)模態(tài)序號(hào)K。由于所有的模態(tài)都有其固有的特性，所以每個(gè)模態(tài)的曲率曲線均不相同。模態(tài)的曲率可以記為C_IMFs，信號(hào)可以分解為

(7)

式中：C_IMFi是每個(gè)模態(tài)的曲率，n是模態(tài)的數(shù)量。有用信號(hào)的C_IMFs曲線波形與原始信號(hào)的C_IMFs曲線波形相似，與此相反，噪聲信號(hào)的C_IMFs 曲線波形與原始信號(hào)的C_IMFs曲線波形不同。因此，可以用曲線波形的突變來(lái)區(qū)分噪聲模態(tài)和信號(hào)模態(tài)，此時(shí)K值的求取很關(guān)鍵。通過(guò)計(jì)算各個(gè)C_IMFs與原始信號(hào)曲率曲線的離散弗雷歇距離可以獲得K值。具體步驟如下：

(1)利用EMD、EEMD、CEEMD和CEEMDAN 4種方法分解原始信號(hào)，獲得一系列IMFs。

(2)計(jì)算原始信號(hào)和所有模態(tài)的曲率，獲得C_IMFs。

(3)計(jì)算原始信號(hào)曲率和每個(gè)C_IMFs之間的離散弗雷歇距離，獲得FDs。

FDj={CIMF0，CIMFj}(j=1，…，n)，

(8)

式中CIMF0為原始信號(hào)y(t)曲率。

(4)相關(guān)模態(tài)序號(hào)K值由FDj確定：

K=argmin{FDj}.

(9)

(5)原始信號(hào)重構(gòu)為：

(10)

3.4算法應(yīng)用

將改進(jìn)算法應(yīng)用于真實(shí)信號(hào)y(t)，y(t)為由兩個(gè)不同頻率組成的周期信號(hào)，

y(t)=cos(2πf1t)+sin(2πf2t)，

(11)

式中：f1=4 Hz，f2=6 Hz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1 024，在信號(hào)中加入信噪比為5 dB的高斯白噪聲(如圖4所示)。根據(jù)信號(hào)y(t)可知，第7個(gè)和第8個(gè)模態(tài)為有用信號(hào)模態(tài)(如圖5所示)。不同模態(tài)的曲率曲線如圖6所示，通過(guò)求取每個(gè)C_IMF與原始信號(hào)曲率曲線的離散弗雷歇距離可以獲得K值(如圖7所示)。純凈信號(hào)和去噪后的重構(gòu)信號(hào)如圖8所示(彩圖見(jiàn)期刊電子版)。

圖4　原始信號(hào)波形

圖5　IMFs波形

圖6　C_IMFs波形

圖7　C_IMFs的離散弗雷歇距離

圖8　去噪后重構(gòu)信號(hào)和純凈信號(hào)

4　結(jié)果與討論

4.1仿真信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)信號(hào)y(t)去噪后進(jìn)行重構(gòu)處理，對(duì)比EMD-CURVATURE-FD， EEMD-CURVATURE-FD， CEEMD-CURVATURE-FD，CEEMDAN-CURVATURE-FD 4種方法的結(jié)果(如圖9所示彩圖見(jiàn)期刊電子版)。輸入信噪比(SNFin)為-15～15 dB，間隔為3 dB。輸出信噪比的定義為：

(12)

(13)

圖9　4種方法輸出信噪比對(duì)比結(jié)果

表2表明，所提出的基于CEEMDAN的改進(jìn)算法的SD值最小，即重構(gòu)誤差最小。結(jié)合SNR的對(duì)比結(jié)果可知CEEMDAN-CURVATURE-FD方法在信號(hào)去噪及重構(gòu)中具有較強(qiáng)的魯棒性。

表2　4種基于EMD方法的信號(hào)重構(gòu)效果

前文中實(shí)驗(yàn)表明CEEMDAN方法優(yōu)于EMD、EEMD及CEEMD方法，更適合于非穩(wěn)定信號(hào)的分解。針對(duì)信號(hào)y(t)，利用參考文獻(xiàn)[20](CEEMDAN-MI)和[21](CEEMDAN-NMHD)中提出的去噪方法與本文的基于CEEMDAN的改進(jìn)算法進(jìn)行對(duì)比分析，去噪重構(gòu)后的SD值及SNR如表3所示，由結(jié)果可知，CEEMDAN-CURVATURE-FD方法去噪后的SD值為0.096 4，SNR為21.170 0 dB，優(yōu)于參考文獻(xiàn)[20]和[21]中提出的去噪方法處理后的SD值(0.146 2，0.113 7)及SNR(17.083 6 dB，18.892 4 dB)，即重構(gòu)誤差小，去噪能力強(qiáng)。

表3　不同方法的去噪效果(SNRin=5 dB)

4.2實(shí)測(cè)信號(hào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在近紅外無(wú)創(chuàng)血糖檢測(cè)實(shí)驗(yàn)中，用葡萄糖溶液暫代血糖溶液，本實(shí)驗(yàn)中所有葡萄糖溶液均為在同一條件下統(tǒng)一配置的連續(xù)均勻分布的液體，濃度范圍為50～1 000 mg/dL。所有近紅外光譜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)由傅里葉光譜儀采集，滿足朗伯比爾定律測(cè)量原理。

近紅外光譜信號(hào)屬于非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，可以采用基于CEEMDAN的改進(jìn)算法去除信號(hào)中的干擾噪聲，取500 mg/dL葡萄糖溶液作為研究對(duì)象，以其光譜數(shù)據(jù)去噪結(jié)果為例，如圖10所示(彩圖見(jiàn)期刊電子版)。

圖10　原始信號(hào)及去噪結(jié)果(500 mg/dL)

為了驗(yàn)證上述算法的有效性，引入SNR和SD作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。由于用含噪信號(hào)代替公式(12)和公式(13)中的純凈信號(hào)y(n)，所以評(píng)價(jià)的衡量標(biāo)準(zhǔn)與仿真信號(hào)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)相反，即SNR值越小，SD值越大，算法去噪效果越好。圖11(彩圖見(jiàn)期刊電子版)所示為通過(guò)不同方法進(jìn)行光譜信號(hào)去噪處理后的SNR值和SD值對(duì)比圖，由圖可知，CEEMDAN-CURVATURE-FD方法優(yōu)于其它3種方法。

圖11　光譜信號(hào)的SNR和SD(500 mg/dL)

為了驗(yàn)證所提方法對(duì)光譜數(shù)據(jù)處理的普遍性，任意抽取10組樣本的光譜數(shù)據(jù)，利用4種方法分別對(duì)其進(jìn)行去噪處理，SNR和SD值結(jié)果如表4和表5所示(表中Method1代表EMD-CURVATURE-FD方法，Method2代表EEMD-CURVATURE-FD方法，Method3代表CEEMD-CURVATURE-FD方法，Method4代表CEEMDAN-CURVATURE-FD方法)。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，CEEMDAN-CURVATURE-FD方法適用于近紅外光譜數(shù)據(jù)的去噪處理。

表4不同濃度樣本光譜數(shù)據(jù)經(jīng)4種方法處理后的標(biāo)準(zhǔn)差值

Tab.4　　　　SD of spectra data for sample with different concentrations by four methods　(dB)

表5不同濃度樣本光譜數(shù)據(jù)經(jīng)4種方法處理后的信噪比

Tab.5　　　　SNR of spectra data for sample with different concentrations by four methods　(dB)

5　結(jié)　論

本文提出了一種應(yīng)用于近紅外光譜的自適應(yīng)去噪算法。首先利用EMD及其3種改進(jìn)方法對(duì)仿真信號(hào)和由傅里葉光譜儀采集的葡萄糖溶液的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，然后求得原始信號(hào)及分解后IMFs的曲率曲線，并根據(jù)原始信號(hào)曲率和分解后IMFs曲率間的離散弗雷歇距離選擇相關(guān)模態(tài)，最后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。將SNR和SD值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，對(duì)于近紅外光譜信號(hào)，CEEMDAN-CURVATURE-FD方法處理后的SD值為0.179 4，SNR值為19.117 5 dB，結(jié)果優(yōu)于其它3種方法，該方法適用于紅外光譜數(shù)據(jù)的去噪。

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李曉莉(1984-)，女，黑龍江哈爾濱人，博士研究生，2008年、2011年于東北農(nóng)業(yè)大學(xué)分別獲得學(xué)士、碩士學(xué)位，主要從事無(wú)創(chuàng)血糖檢測(cè)及胰島素注射劑量調(diào)節(jié)研究。E-mail： xiaoli72460@163.com

導(dǎo)師簡(jiǎn)介：

李成偉(1963-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士，教授，1985年、1988年、2000年于哈爾濱工業(yè)大學(xué)分別獲得學(xué)士、碩士、博士學(xué)位，主要從事生物醫(yī)學(xué)工程、智能控制技術(shù)研究。E-mail： lcw@hit.edu.cn

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Application of improved complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise in spectral signal denoising

LI Xiao-li， LI Cheng-wei*

(SchoolofElectricalEngineeringandAutomation，HarbinInstituteofTechnology，Harbin150001，China)

*Correspondingauthor，E-mail：lcw@hit.edu.cn

As the accuracy and stability of a blood glucose level model is affected by the noise in near infrared non-invasive blood glucose detection process, an improved complete ensemble empirical mode decomposition method with adaptive noise was proposed for denoising of near infrared spectroscopy signals. Meanwhile, a mode selection method based on Frechet distance combining with the feature of curve curvature was proposed for the selection of Intrinsic Mode Functions(IMFs). Firstly. the complete ensemble empirical mode decomposition method with adaptive noise was introduced in the denoising processing of near infrared spectroscopy, and the basic principles and concrete realization processes of empirical mode decomposition, ensemble empirical mode decomposition, complementary ensemble empirical mode decomposition and the complete ensemble empirical mode decomposition based on adaptive noise were described. Then, an improved complete ensemble empirical mode decomposition method with adaptive noise based on curvature and discrete Frechet distance was applied in denoising for simulation signals and spectral signals， and their standard deviation and the Signal to Noise Ratio(SNR) were taken as the evaluation indexes. The simulation and experimental results show that the standard deviation of the improved method based on curvature and discrete Frechet distance in the near infrared spectral signal is 0.179 4, and the SNR is 19.117 5 dB, which extracts useful information, realizes the separation of signal and noise, and improves the quality of reconstructed signals. The proposed method has a good adaptability to effectively identify and separate the signal and noise components.

non-invasive blood glucose detection; near infrared spectroscopy; signal denoising; Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise(CEEMDAN); curvature; discrete Frechet distance

2016-03-10；

2016-04-25.

哈爾濱市科技創(chuàng)新人才專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(No.2014RFXXJ065)；哈爾濱工業(yè)大學(xué)理工醫(yī)交叉學(xué)科基礎(chǔ)研究培育計(jì)劃資助項(xiàng)目(No.HIT.IBRSEM.201307)

1004-924X(2016)07-1754-09

O657.33；R587.1

Adoi:10.3788/OPE.20162407.1754