金來明

摘 要： 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個核心知識，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高中階段對函數(shù)性質(zhì)的研究往往是通過研究函數(shù)圖像及其變換得到的，利用對稱性往往能更簡捷有效地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.本文主要通過函數(shù)自身的對稱性探討與函數(shù)對稱有關(guān)的性質(zhì).

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 圖像變換 對稱性研究

1.函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）（a，b∈R）？圳函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=對稱.

證明：？圯設(shè)P（m，n）是函數(shù)y=f（x）圖像上的任意一點(diǎn)，則 f（m）=n

P（m，n）關(guān)于直線x=對稱點(diǎn)為Q（a+b-m，n）

用b-m代換f（a+x）=f（b-x）中的x得f（a+b-m）=f（[b-（b-m）]）=f（m）=n

即點(diǎn)Q（a+b-m，n）在函數(shù)y=f（x）圖像上.所以函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=對稱.

？坩設(shè)P（m，n）是函數(shù)y=f（x）圖像上的任意一點(diǎn)，則f（m）=n①

因為函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=對稱，

所以P（m，n）關(guān)于直線x=的對稱點(diǎn)Q（a+b-m，n）也在函數(shù)y=f（x）圖像上

所以f（a+b-m）=n②

由①、②式得f（a+b-m）=f（m）

設(shè)b-m=x，得m=b-x，所以f（a+x）=f（b-x）.

2.函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x）（a，b∈R）？圳函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱.

3.若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期.

4.若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于點(diǎn)A（a，0）和點(diǎn)B（b，0）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期.

5.若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，0）成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期.

6.函數(shù)y=|f（x）|的圖像的作法：作出y=f（x）的圖像，將圖像位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，上方的圖像不變.

7.函數(shù)y=f（|x|）的圖像的作法（該函數(shù)是偶函數(shù)）：作出y=f（x）的圖像，將圖像位于軸左邊的圖像擦掉，以y軸為對稱軸將y軸右邊的圖像翻折到y(tǒng)軸左邊，得到y(tǒng)=f（|x|）在y軸左邊的圖像，右邊的部分不變.

以上性質(zhì)是對函數(shù)自身所具有的對稱性進(jìn)行的闡述，函數(shù)的對稱性是數(shù)與形的完美結(jié)合，而數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要思想.在教學(xué)過程中，教師不僅要應(yīng)充分挖掘教材中所蘊(yùn)含的知識，還要引導(dǎo)學(xué)生尋找美的東西，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的美、感受數(shù)學(xué)的美，從而開闊學(xué)生視野，提升學(xué)生審美情趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.