浙江省金華市第六中學(xué)　(321000)

虞　懿

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賞析2015年高考客觀題中的定義閱讀題

浙江省金華市第六中學(xué)(321000)

虞懿

定義閱讀題是通過新定義一種函數(shù)、運(yùn)算、集合、符號(hào)、性質(zhì)等，要求學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)閱讀并理解試題所給的新型定義，進(jìn)而解決問題的一種重要題型．定義閱讀題常以“新定義”為載體考查學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力，特別是能將所學(xué)知識(shí)與方法遷移到不同情境中，進(jìn)而考查學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．下面采擷幾道典型試題并予以深度解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法．

一、定義新函數(shù)

“定義新函數(shù)”試題是指在現(xiàn)有的函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)上定義一種新的函數(shù)性質(zhì)等，即給出一定容量的新信息，并運(yùn)用它解決一些問題．

A．|x|=x|sgnx|B．|x|=xsgn|x|

C．|x|=|x|sgnxD．|x|=xsgnx

解析：當(dāng)x>0時(shí)，|x|=x,sgnx=1,則|x|=xsgnx;當(dāng)x=0時(shí)，|x|=x=0,sgnx=0,則|x|=xsgnx;當(dāng)x<0時(shí)，|x|=-x,sgnx=-1,則|x|=xsgnx,故選D．

評(píng)注：破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是：緊扣新定義函數(shù)的含義，學(xué)會(huì)語言的翻譯，新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，便可使問題順利獲解．

A．sgn[g(x)]=sgnx

B．sgn[g(x)]=-sgnx

C．sgn[g(x)]=sgn[f(x)]

D．sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

評(píng)注：本題主要考查符號(hào)函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性，意在考查考生分析問題、解決問題的能力．

例3(2015年湖北卷理10)設(shè)x∈R,[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若存在實(shí)數(shù)t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是().

A．3B．4C．5D．6

評(píng)注：取整函數(shù)[x]是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，其定義和性質(zhì)非常簡單，正因?yàn)槿绱?，在解決與之相關(guān)的問題時(shí)，可以依據(jù)的命題、法則不多，規(guī)律性不明顯，但解法變化大，靈活性強(qiáng)．需要用到多種數(shù)學(xué)思想方法，其中較為常見的有分類討論(例如對(duì)區(qū)間進(jìn)行劃分)、命題轉(zhuǎn)換(例如等式轉(zhuǎn)化為不等式)、數(shù)形結(jié)合等．

二、定義新符號(hào)

“定義新符號(hào)”試題是指在現(xiàn)有的符號(hào)的基礎(chǔ)上定義一種新符號(hào)，運(yùn)用它解決一些新的問題．

例4(2015年廣東卷文10)若集合Ε={(p,q,r,s)|0≤p

A．50B．100C．150D．200

解析：當(dāng)s=4時(shí)，p,q,r都是取0,1,2,3中的一個(gè)，有4×4×4=64種；當(dāng)s=3時(shí)，p，q,r都是取0,1,2中的一個(gè)，有3×3×3=27種；當(dāng)s=2時(shí)，p,q,r都是取0,1中的一個(gè)，有2×2×2=8種；當(dāng)s=1時(shí)，p,q,r都取0，有1種，所以card(Ε)=64+27+8+1=100.當(dāng)t=0時(shí)，u取1,2,3,4中的一個(gè)，有4種；當(dāng)t=1時(shí)，u取2,3,4中的一個(gè)，有3種；當(dāng)t=2時(shí)，u取3,4中的一個(gè)，有2種；當(dāng)t=3時(shí)，u取4，有1種，所以t,u的取值有1+2+3+4=10種，同理，v,w的取值也有10種，所以card(F)=10×10=100，所以card(Ε)+card(F)=100+100=200.故選D．

評(píng)注：求解此類以符號(hào)新定義包裝的判斷集合的元素個(gè)數(shù)題的關(guān)鍵是過好兩關(guān)：第一關(guān)：理解關(guān)，即準(zhǔn)確理解符號(hào)的數(shù)學(xué)意義，并能適時(shí)進(jìn)行符號(hào)語言、文字語言、圖象語言間的轉(zhuǎn)譯；第二關(guān)：分類討論關(guān)，即對(duì)集合中的元素所具有的特點(diǎn)進(jìn)行分類討論．

例5(2015年浙江卷理6)設(shè)A,B是有限集，定義d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素個(gè)數(shù).

命題①：對(duì)任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件；命題②：對(duì)任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).則().

A.命題①和命題②都成立

B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立

D.命題①不成立，命題②成立

解析：由題意，d(A,B)=card(A)+card(B)-2card(A∩B)≥0,對(duì)于命題①，A=B?card(A∪B)=card(A∩B)?d(A,B)=0,所以A≠B?d(A,B)>0,命題①成立．對(duì)于命題②，由韋恩圖易知命題②成立，下面給出嚴(yán)格證明：d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)?card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)-2card(B∩C)?card(A∩C)≥card(A∩B)+card(B∩C)-card(B)?card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B).因?yàn)閏ard(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B)≤0,故命題②成立．故選A.

評(píng)注：本題主要考查集合的新定義問題，考生需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行檢驗(yàn)推證，特別是對(duì)于命題②的推理需要分類討論．

三、定義新運(yùn)算

“定義新運(yùn)算”試題是指在現(xiàn)有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上定義一種新的運(yùn)算，運(yùn)用它解決一些問題．該題型常以數(shù)學(xué)新的運(yùn)算符號(hào)形式出現(xiàn)，如定義新的運(yùn)算符號(hào)“?、⊕、⊙、*”等．

評(píng)注：本題是新定義閱讀題，主要考查利用基本不等式求最值等有關(guān)知識(shí)，考查考生的閱讀理解能力和運(yùn)算求解能力．

例7(2015年福建卷理15)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n) 稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)．

現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于_________．

解析:由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為0,不同數(shù)字運(yùn)算后為1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判斷后4個(gè)數(shù)字出錯(cuò)，由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判斷后2個(gè)數(shù)字沒錯(cuò)，即出錯(cuò)的是第4個(gè)或第5個(gè)數(shù)字，由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判斷出錯(cuò)的是第5個(gè)數(shù)字.綜上，第5位發(fā)生碼元錯(cuò)誤．

評(píng)注：本題考查新定義、推理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生處理新定義問題的能力、推理論證能力以及運(yùn)算求解能力．求解此類問題的關(guān)鍵是讀懂新定義，在領(lǐng)會(huì)新定義的基礎(chǔ)上，明晰新定義的內(nèi)涵和外延，將其轉(zhuǎn)化并運(yùn)用到新情境中，進(jìn)而判斷參數(shù)k的值．

四、定義新集合

“定義新集合”試題是指定義一個(gè)新集合，其元素滿足某些條件，解此類問題旨在考查對(duì)集合中元素特征的研究以及數(shù)學(xué)解題思想的運(yùn)用能力．

例8(2015年湖北卷理9、文10)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為().

A．77B．49C．45D．30

解析：由題意知，A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(1,0),(-1,0),(0,0),(0,1),(0,-1)},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},所以由新定義集合A⊕B可知，x1=±1,y1=0或x1=0,y1=±1.當(dāng)x1=±1,y1=0時(shí)，x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,y1+y2=-2,-1,0,1,2,所以此時(shí)A⊕B中元素的個(gè)數(shù)有7×5=35個(gè)；當(dāng)x1=0,y1=±1時(shí)，x1+x2=-2,-1,0,1,2,y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,這種情形下和第一種情況下除y1+y2的值取-3或3外均相同，即此時(shí)有5×2=10,由分類計(jì)數(shù)原理知，A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為35+10=45個(gè)，故應(yīng)選C.

評(píng)注：本題主要考查集合的新定義問題，意在考查考生的閱讀理解能力與數(shù)據(jù)處理能力．

感悟：結(jié)合上述高考試題，可歸納出定義閱讀題的求解通常分三大步驟進(jìn)行：(1)對(duì)新定義進(jìn)行信息提取，確定化歸方向；(2)對(duì)新定義所提取的信息進(jìn)行加工，探究解決方法；(3)對(duì)新定義中提取的信息進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效地輸出．其中對(duì)新定義信息的提取和化歸轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，也是求解的難點(diǎn)．