鄭　財(cái)　黃賢振

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽110819)

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三軸數(shù)控機(jī)床加工誤差分析*

鄭財(cái)黃賢振

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽110819)

以三軸數(shù)控機(jī)床為研究對(duì)象，運(yùn)用多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換，從裝配誤差、運(yùn)行誤差、換刀誤差以及熱誤差這4個(gè)方面來分析數(shù)控機(jī)床加工誤差，進(jìn)而建立數(shù)控機(jī)床空間誤差模型，分析出XYZ型數(shù)控機(jī)床的加工誤差。

數(shù)控機(jī)床；多體系統(tǒng)理論；齊次坐標(biāo)變換；誤差模型

機(jī)床在機(jī)械制造工業(yè)中起到基礎(chǔ)性的作用，是機(jī)械制造業(yè)發(fā)展的重要保證。隨著科技的不斷進(jìn)步和創(chuàng)新，機(jī)械設(shè)備的加工制造工藝正朝著高精度、高效率、高穩(wěn)定性的方向發(fā)展。對(duì)于一些精密儀器的加工，要求加工設(shè)備具有極其高的幾何加工精度[1]。

目前，對(duì)于數(shù)控機(jī)床加工精度研究不是很成熟，大多數(shù)研究只是考慮幾何誤差和熱誤差[2-4]，同時(shí)考慮裝配誤差、運(yùn)行誤差、換刀誤差以及熱誤差并建立綜合誤差模型對(duì)于數(shù)控機(jī)床加工精度的研究十分有必要。本文將XYZ型數(shù)控機(jī)床加工誤差進(jìn)行更深入的分析和探討。

1　多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換

1.1多體系統(tǒng)理論在XYZ型數(shù)控機(jī)床中的應(yīng)用

多體系統(tǒng)是對(duì)一般復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的完整抽象和有效描述，是如今分析和研究復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模式。我們通過對(duì)系統(tǒng)的多個(gè)體進(jìn)行合理的編號(hào)，然后用抽象的圖行表達(dá)系統(tǒng)中的各個(gè)體并滿足不同體之間的位置關(guān)系，來形成多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[5]。

XYZ型數(shù)控機(jī)床的三維結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

我們建立XYZ型數(shù)控機(jī)床的兩條分支：工件分支和刀具分支。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

根據(jù)圖2所示的拓?fù)鋱D，可以得到兩條誤差分支，即工件分支：床身—1—2；刀具分支：床身—3—4—5。

工件分支：圖形1代表x溜板，圖形2代表安裝在x溜板上的被加工工件。

刀具分支：圖像3代表y溜板，圖形4代表z溜板，圖形5代表刀具。

1.2齊次坐標(biāo)變換理論在XYZ型數(shù)控機(jī)床中的應(yīng)用

齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來表示。例如，二維點(diǎn)(x,y)的齊次坐標(biāo)表示為(nx,ny,n)[6]。因此，一個(gè)向量的齊次表示并不是唯一確定的，齊次坐標(biāo)的n取不同的值都表示的是同一個(gè)點(diǎn)，比如齊次坐標(biāo)(16,8,2)、(8,4,1)表示的都是二維點(diǎn)(8,4)。齊次坐標(biāo)系分析參考圖如圖3所示。

從圖3所示的坐標(biāo)系中可以看出，坐標(biāo)系o1、o2之間存在著一定的變化關(guān)系：將坐標(biāo)系o1沿x軸移動(dòng)δx，沿y軸移動(dòng)δy，沿z軸移動(dòng)δz，平移后的坐標(biāo)系再分別繞x軸、y軸以及z軸旋轉(zhuǎn)角度εx、εy、εz即可得到坐標(biāo)系o2。

坐標(biāo)系o2到坐標(biāo)系o1變換矩陣為：

T=TxTyTzRxRyRz

(1)

式中：Tx、Ty、Tz分別指坐標(biāo)系o2到坐標(biāo)系o1的移動(dòng)坐標(biāo)變換；Rx、Ry、Rz分別指坐標(biāo)系o2坐到標(biāo)系o1的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換。

當(dāng)位移和旋轉(zhuǎn)角度很小時(shí)，有cosε≈1、sinε≈ε，只保留一階量并進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到：

(2)

2　XYZ型數(shù)控機(jī)床誤差分析

影響數(shù)控機(jī)床加工精度的誤差因素有很多，裝配誤差、運(yùn)行誤差、換刀誤差以及熱誤差都是其影響因素。

2.1數(shù)控機(jī)床裝配誤差分析

我們分別在XYZ型數(shù)控機(jī)床的床身、x軸溜板、橫梁、y軸溜板、z軸溜板以及主軸按如下要求建立相應(yīng)的坐標(biāo)系(在刀具和工件上選取的參考坐標(biāo)系根據(jù)實(shí)際加工情況而定)。

(1)在機(jī)床床身上建立相應(yīng)的參考坐標(biāo)系，并分別在x溜板、y溜板、z溜板、工作臺(tái)、橫梁、主軸、刀具以及工件上建立相應(yīng)坐標(biāo)系。

(2)建立在x溜板、y溜板、z溜板、工作臺(tái)、橫梁、主軸、刀具以及工件上的坐標(biāo)系的x軸、y軸以及z軸方向都要和床身底座的參考坐標(biāo)系的x、y、z軸向一致。

(3)建立在x溜板、y溜板、z溜板、工作臺(tái)、橫梁、主軸、刀具、工件以及底座上的坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)彼此之間不重合。

(4) 要在x溜板、y溜板、z溜板、工作臺(tái)、橫梁、主軸、刀具以及工件上選取合適的點(diǎn)作為裝配誤差計(jì)算參考點(diǎn)。

通過上面的分析可以得到工件誤差分支的理論變換矩陣為：

(3)

但是由于實(shí)際裝配誤差的存在會(huì)得到工件誤差分支的實(shí)際變換矩陣為：

(4)

式中：

(5)

(6)

(7)

式中：x、y、z代指相鄰部件參考位置點(diǎn)間的理論坐標(biāo)差值；Δx、Δy、Δz是相鄰部件參考位置點(diǎn)間的移動(dòng)誤差差值；εx、εy、εz指旋轉(zhuǎn)誤差差值。

同理可得到刀具誤差分支的實(shí)際變換矩陣：

(8)

T(實(shí)際)=T(理論)·E

(9)

式中：E是一個(gè)綜合誤差矩陣。

(10)

由于計(jì)算量較復(fù)雜，可以將工件分支和刀具分支的裝配誤差矩陣的表達(dá)式簡(jiǎn)化為式(11)和(12)。

(11)

(12)

可以將總的裝配誤差定義為：

E(裝配)=E(工件)⊕E(刀具)

(13)

式中：⊕代表只把矩陣中含有字母的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，常數(shù)項(xiàng)不相加。

2.2數(shù)控機(jī)床運(yùn)行誤差分析

根們據(jù)XYZ型機(jī)床的特點(diǎn)，按下面的要求建立數(shù)控機(jī)床的不同參考坐標(biāo)系。

(1)在們機(jī)床床身上建立參考坐標(biāo)系o，并分別建立x溜板、y溜板、z溜板、刀具以及工件的參考坐標(biāo)系o1、o2、o3、T和M。

(2)x溜板、y溜板以及z溜板建立的參考坐標(biāo)系的x軸、y軸以及z軸方向都要和床身底座的參考坐標(biāo)系的x、y、z軸向一致。

(3)建立在刀具和被加工工件上的坐標(biāo)系的x軸、y軸以及z軸方向都要和床身底座的參考坐標(biāo)系的x、y、z軸向一致。

(4)根據(jù)XTYZ型機(jī)床的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在數(shù)控機(jī)床床身的合適位置選取床身底座的坐標(biāo)原點(diǎn)。

(5)x溜板、y溜板以及z溜板建立的參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)o1、o2、o3和參考坐標(biāo)系o的原點(diǎn)重合。

(6)為了便于分析，刀具和加工工件的參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)需要單獨(dú)建立：在刀尖處建立刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)，在工件底部處建立工件坐標(biāo)系原點(diǎn)。

刀具運(yùn)動(dòng)鏈：機(jī)床床身—y溜板—z溜板—刀具，以及工件運(yùn)動(dòng)鏈：機(jī)床床身—x溜板—安裝在x溜板上的被加工工件。

在理想狀態(tài)下也就是幾何誤差不存在的情況下，刀具的實(shí)際切削點(diǎn)應(yīng)該和編程所指示位置重合[7]，此時(shí)刀具坐標(biāo)系T相對(duì)于工件坐標(biāo)系W的坐標(biāo)變換矩陣為：

(14)

在實(shí)際加工過程中，刀具的實(shí)際切削點(diǎn)和理論位置會(huì)發(fā)生一定的偏移，此時(shí)刀具坐標(biāo)系T相對(duì)于工件坐標(biāo)系W的坐標(biāo)變換矩陣為：

(15)

進(jìn)一步分析得：

(16)

(17)

式中：Δδx、Δδy、Δδz為刀具坐標(biāo)系相對(duì)于工件坐標(biāo)系的位置誤差：Δθx、Δθy、Δθz為刀具坐標(biāo)系相對(duì)于工件坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)誤差。

將不同運(yùn)動(dòng)鏈的具體的坐標(biāo)變換矩陣代入后可得Δδx、Δδy、Δδz和Δθx、Δθy、Δθz的具體表達(dá)式。

2.3數(shù)控機(jī)床換刀誤差分析

由于數(shù)控機(jī)床在加工過程中換刀的次數(shù)與具體加工的工件有關(guān)，因此可以假設(shè)數(shù)控機(jī)床的換刀次數(shù)為n。為了便于計(jì)算，在選取合適的參考坐標(biāo)系后，可以直接分析換刀一次后刀尖理想位置和實(shí)際位置的偏差。假設(shè)Δx1、Δx2、Δx3、…、Δxn為換刀后x方向的偏差，下標(biāo)字母代表換刀的次數(shù)；Δy1、Δy2、Δy3、…、Δyn為換刀后y方向的偏差，下標(biāo)字母代表換刀的次數(shù)；Δz1、Δz2、Δz3、…、Δzn為換刀后z方向的偏差，下標(biāo)字母代表換刀的次數(shù)。

換刀n次后x軸方向總的偏移量為：

(18)

換刀n次后y軸方向的總的偏移量為：

(19)

換刀n次后z軸方向的總的偏移量為：

(20)

(21)

2.4數(shù)控機(jī)床熱誤差分析

數(shù)控機(jī)床在加工過程中，由于加工時(shí)機(jī)床零部件間溫度的升高，除了幾何誤差外，還會(huì)產(chǎn)生熱誤差。當(dāng)溜板沿某一軸向運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于熱轉(zhuǎn)動(dòng)誤差較小一般可以忽略，所以只考慮熱漂移誤差[8]。

當(dāng)數(shù)控機(jī)床的溜板沿x軸、y軸以及z軸中的某一軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生3個(gè)不同方向的熱漂移誤差，具體可以做以下規(guī)定：

(1)當(dāng)溜板沿x軸移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的熱漂移誤差分別為lx(x)、ly(x)、lz(x)。

(2)當(dāng)溜板沿y軸移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的熱漂移誤差分別為lx(y)、ly(y)、lz(y)。

(3)當(dāng)溜板沿z軸移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的熱漂移誤差分別為lx(z)、ly(z)、lz(z)。

其中，下標(biāo)字母x、y、z代表熱漂移誤差的方向,括號(hào)內(nèi)的字母代表溜板的移動(dòng)方向。

當(dāng)數(shù)控機(jī)床在高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，主軸雖然會(huì)產(chǎn)生大量的熱量，但由于數(shù)控機(jī)床的安裝精度以及材質(zhì)要求較高，在這里也只考慮主軸的3個(gè)熱漂移誤差，分別記為：lx(主)、ly(主)、lz(主)。

同樣從工件分支和刀具分支來對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行熱誤差的坐標(biāo)變換。工件分支：床身—1—2；刀具分支：床身—3—4—5。

工件分支：圖形1代表x溜板，圖形2代表安裝在x溜板上的被加工工件。

刀具分支：圖像3代表y溜板，圖形4代表z溜板，圖形5代表刀具。

(22)

式中：

(23)

Δly=ly(x)+ly(y)+ly(z)+ly(主)

(24)

Δlz=lz(x)+lz(y)+lz(z)+lz(主)

(25)

3　結(jié)語

我們將數(shù)控機(jī)床誤差分為裝配誤差、運(yùn)行誤差、換刀誤差以及熱誤差這四項(xiàng)誤差。為了便于分析，可以假設(shè)這四項(xiàng)誤差相互獨(dú)立，那么數(shù)控機(jī)床的綜合誤差就是這四項(xiàng)誤差之和。

(26)

[1]袁哲俊. 精密和超精密加工技術(shù)[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2007:1-9.

[2]岳中軍.五軸數(shù)控機(jī)床通用幾何誤差軟件補(bǔ)償技術(shù)的研究[D].北京:北京工業(yè)大學(xué)，2005.

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(編輯譚弘穎)

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Three axis NC machine tool machining error analysis

ZHENG Cai，HUANG Zhenxian

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, CHN)

Based on the three axis NC machine tool as the research object, using the multi-body system theory and homogeneous coordinate transformation, from the four aspects of assembly error, error operation，tool change error and thermal error to analyze NC machine tool machining error, and the numerical control machine tool space error model, theXYZtype NC machine tool machining error.

NC machine tool；multi-body system theory；homogeneous coordinate transformation；error model

TH161.5

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.08.014

鄭財(cái)，男，1990年生，碩士研究生，從事機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)研究。

2016-01-05)

160825

* 國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51105062&51305071)