楊 哲, 林德福, 王 輝
(北京理工大學宇航學院, 北京 100081)
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帶視場角限制的攻擊時間控制制導律
楊哲, 林德福, 王輝
(北京理工大學宇航學院, 北京 100081)
為了實現(xiàn)多導彈協(xié)同攻擊同一目標,根據(jù)彈目攔截幾何關系,設計一種帶有攻擊時間控制及導引頭視場限制的協(xié)同制導律。采用多項式函數(shù)推導含時間控制的導引指令,以附加反饋項的形式引入導引頭視場角函數(shù),實現(xiàn)對攻擊時間及導引頭視場角的同時約束。當已知導彈過載及導引頭視場限制,導彈彈道軌跡可以由初始導彈參數(shù)確定,從而可以計算得出協(xié)同制導時間的邊界值。仿真結(jié)果驗證了該協(xié)同制導律的有效性。
多導彈; 制導律; 協(xié)同制導; 攻擊時間; 視場角
面對現(xiàn)代防御系統(tǒng)的威脅,多導彈協(xié)同攻擊將是未來精確制導武器發(fā)展的一個重要方向。在協(xié)同作戰(zhàn)方式下,導彈的電子對抗能力、突防能力、搜捕跟蹤運動目標的能力得到了大幅度的提高[1]。
近些年來,協(xié)同制導問題受到國內(nèi)外學者的廣泛關注[2-11]。文獻[2]基于線性化后的彈目相對運動模型,首次采用最優(yōu)控制理論推導得出一種可用于反艦導彈齊射攻擊的攻擊時間可控制導律(impacttimecontrolguidance,ITCG)。文獻[3]采用改變比例導引律的導航系數(shù)的方法,設計一種變導航系數(shù)協(xié)同制導律,保證多彈攻擊時間的一致性。在前人基礎上,文獻[4]和文獻[5]同時考慮攻擊時間和攻擊角度約束,實現(xiàn)了多約束條件下的導彈協(xié)同制導?;诨?刂评碚?文獻[6]通過視線角速度重構(gòu)技術(shù),構(gòu)造出的協(xié)調(diào)參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)不同導彈剩余飛行時間趨近一致,同樣可以達到齊射攻擊的目的。國內(nèi)方面,文獻[7]將攻擊時間作為協(xié)調(diào)變量,提出一種基于協(xié)調(diào)變量的時間協(xié)同制導律。為了使導彈編隊沿著指定軌跡攻擊目標,文獻[8-11]在文獻[7]基礎上,提出一系列多導彈網(wǎng)絡化分布式協(xié)同制導策略,實現(xiàn)導彈編隊的齊射攻擊。
在末制導段,多導彈在飛行過程中通過適度機動來協(xié)調(diào)各自之間的剩余飛行時間,受到導引頭視場角限制,導彈機動過程中可能會導致目標超出視場,導引頭丟失目標[12-14]。文獻[12]以文獻[2]給出的協(xié)同導引律為基礎,設計一種導引律切換策略,當目標視角達到最大視場角時,按照目標視角定常的導引律飛行。文獻[13-14]通過附加控制的方式設計一種帶有導引頭視場限制的反艦導彈協(xié)同制導律,具有一定的工程應用價值。
本文針對多導彈攻擊同一目標時要求目標視角不超出視場范圍,推導了一種含攻擊時間控制和導引頭視場角限制的協(xié)同制導律。建立彈目運動數(shù)學模型,采用多項式函數(shù)推導時間可控制導律的解析表達式,并利用彈道軌跡邊界推算出含導彈過載及視場角約束的協(xié)同飛行時間取值范圍,最后在仿真中驗證了新型協(xié)同制導律的有效性。
考慮如圖1所示的二維平面彈目運動關系,x,y分別表示導彈的橫、縱坐標,θ,λ為導彈速度方向角和彈目視線角。假定導彈速率保持恒定不變,目標靜止,位于(xf,yf),導彈法向加速度a垂直于導彈速度方向,t0為初始時刻,tf為終端時刻,Td為期望導彈攻擊時間,則導彈運動學方程可表示為
(1)
圖1 彈目運動關系Fig.1 Missile-target engagaement relationship
初始和終端條件為
(2)
當速度航向角θ不大時,具有終端攻擊時間約束的彈目攔截問題可轉(zhuǎn)化為線性狀態(tài)方程:
(3)
式中,定義制導指令u=a/V2,線性方程初始及終端約束條件為
(4)
式(4)終端約束條件要求導彈在期望的導引時間tf=Td時刻到達目標點所在位置。同時,因為導彈速率不變,根據(jù)小角度假設理論,則對導彈飛行時間的約束可看作是對導彈飛行軌跡的約束。
(5)
(6)
不同于傳統(tǒng)比例導引律,時間可控制導律不僅要求終端時刻脫靶量為零,同時要滿足攻擊時間為期望導引時間?;诖四康?本文采用多項式函數(shù)來表示含時間可控項的導引指令
(7)
式中,xgo=xf-x;n為任意的正實數(shù);cN,cM為待求的導引參數(shù)。
式(7)采用含兩個待定參數(shù)的多項式函數(shù)的形式來表示時間可控導引指令,設計參數(shù)cN實現(xiàn)導彈能夠命中目標,即脫靶量為零,設計參數(shù)cM實現(xiàn)導彈攻擊時間為期望導引時間。一旦求出cN和cM解析解,則可用式(7)表示時間控制導引指令。
為了保證設計的制導律能夠命中目標,首先需要確定導引指令式(7)中參數(shù)cN。將式(7)代入式(3)中,進行兩次積分,同時引入初始條件,可得
(8)
化簡后
(9)
式中,cx,cy為與初始條件相關的常值,分別為
(10)
將式(4)導彈終端約束條件y(xf)=yf代入式(9)、式(10),可得在x=x0處的cN
(11)
(12)
將式(12)代入式(7)中,對導彈制導過程任意t時刻有
(13)
其中
(14)
可以看出式(14)是經(jīng)典比例制導律導引指令的線性近似形式。至此得到了制導指令式(7)中脫靶量控制參數(shù)cN的值。下面求攻擊時間控制參數(shù)cM。將式(13)重新代入狀態(tài)方程式(3)中,得
(15)
方便起見,令Y=yf-y,χ=xf-x,將式(15)改寫成二階微分方程形式
(16)
此微分方程的對應齊次方程為歐拉方程形式。式(16)對應齊次方程的通解為
(17)
非齊次方程的特解為
(18)
則非齊次二階微分方程式(16)的通解為
(19)
將式(19)代入閉環(huán)彈道方程式(15)中,同時結(jié)合初始條件式(4),可得
(20)
其中
(21)
假定導彈速率不變,根據(jù)小角假設理論,則對導彈飛行時間的約束可看作是對導彈飛行軌跡的約束,將式(20)中θ(x)代入式(5)中
(22)
其中
(23)
(24)
求解該一元二次方程
(25)
(26)
至此,根據(jù)制導初始條件推導出攻擊時間控制參數(shù)cM的值,擴展到導彈制導過程任意t時刻有
cM=
(27)
其中
(28)
(29)
將式(27)重新代入式(13)中,則含攻擊時間可控的制導律可表示為
(30)
其中
(31)
由式(30)可以看出,推導出的時間可控制導律本質(zhì)上是傳統(tǒng)比例制導律基礎上引入時間控制項的制導律。
攻擊時間控制導引律使多導彈編隊在飛行過程中通過適度機動來調(diào)整導彈之間不同的剩余飛行時間,從而實現(xiàn)多導彈之間齊射攻擊。在末制導段,這種機動可能會導致目標超出視場范圍,導引頭丟失目標。為使導彈在協(xié)同制導過程中滿足導引頭視場約束條件,在式(30)的基礎之上,構(gòu)造帶目標視角偏置項的制導律形式為
(32)
根據(jù)式(6)和式(32),設計的帶視場角限制的時間可控制導律需要提前確定一個協(xié)同變量,即期望導引時間Td。由式(27),為保證cM>0,剩余飛行距離誤差ε必須大于0,即期望的導彈攻擊時間應大于導彈采用比例導引律的飛行時間。故合理的協(xié)同導引時間是實現(xiàn)導彈攻擊時間控制及多導彈協(xié)同攻擊的必要條件。本節(jié)在文獻[12]基礎上,根據(jù)彈目幾何關系計算出了含導彈過載及目標視場角約束的期望導引時間取值范圍。受到過載及視場角約束,導彈飛行彈道可以由幾何關系確定出最短彈道和最長彈道。
如圖2所示,最短彈道由兩部分組成,初始段為以最小轉(zhuǎn)彎半徑飛行的轉(zhuǎn)彎彈道,第二段為當速度指向目標后的直線飛行彈道。為了得到初始段轉(zhuǎn)彎角度δs1,需要確定初始段最小轉(zhuǎn)彎半徑rmin和初始目標視角σ0。
圖2 含過載和視場約束的最短彈道示意圖Fig.2 The shortest trajectory with acceleration and field-of-view limit
最小轉(zhuǎn)彎半徑為
(33)
從圖2中,可以得到幾何關系:
(34)
(35)
其中
(36)
將式(34)改寫成二次多項式形式
(37)
利用求根公式
(38)
因為δs表示最短彈道的初始段轉(zhuǎn)彎半徑,故式(38)應取正號
(39)
則初始段的彈道長
(40)
由式(35)可得直線彈道段長度
(41)
由式(40)和式(41)可得過載及視場角約束下最短彈道
s=s1+s2=
(42)
同樣,根據(jù)彈目幾何關系,可以得出含過載和視場約束的最長彈道曲線如圖3所示。最長彈道分3部分:初始轉(zhuǎn)彎段、最大目標視角飛行段和最大過載飛行段。初始轉(zhuǎn)彎段導彈以最大過載飛行盡快達到最大目標視角;第2段導彈保持最大目標視角飛行;第3段導彈以最大過載按照圓周導引律攻擊目標[15]。該導引律保證導彈在導引頭視場范圍內(nèi)飛行,且距離目標越近,目標視角逐漸減小到零。
圖3 含過載和視場約束的最長彈道示意圖Fig.3 The longest trajectory with acceleration and field-of-view limit
初始轉(zhuǎn)彎段,導彈按最大過載飛行以盡快達到最大目標視角。下面計算初始轉(zhuǎn)彎段的彈道軌跡。為方便理解,初始轉(zhuǎn)彎段的局部放大圖如圖4所示。
圖4 最長彈道初始段彈道Fig.4 The initial part of the longest trajectory
根據(jù)圖4,由三角形余弦定理可得
(43)
將式(43)化簡可得二次多項式形式
(44)
求解關于R1的一元二次方程。因為R1為初始轉(zhuǎn)彎段結(jié)束時彈目距離,故R1可以唯一確定
(45)
根據(jù)圖4,由三角形正弦定理可得
(46)
由式(43)、式(45)和式(46),得初始轉(zhuǎn)彎段轉(zhuǎn)彎角度
(47)
則初始轉(zhuǎn)彎段的彈道長
(48)
彈道第2段導彈保持最大目標視角飛行,直到圓周制導律交班點,交班位置如圖3所示,可得交班點處彈目距離:
(49)
第2段彈道長
(50)
導彈第3段以最大過載按照圓周導引律攻擊目標。彈道轉(zhuǎn)彎半徑為r,轉(zhuǎn)彎角度為2Φ,第3段彈道長
l3=2rΦ
(51)
則過載及視場角約束下最長彈道
l=l1+l2+l3
(52)
綜述所述,根據(jù)式(42)、式(52)得含過載和視場約束的最短和最長彈道表達式,從而得出導彈飛行時間的邊界值
(53)
為了驗證提出的帶視場角限制的時間可控制導律性能,首先對采用制導律式(32)的單枚導彈進行數(shù)學仿真。由式(53)可得制導時間的邊界值。導彈初始參數(shù)及協(xié)同制導時間范圍如表1所示。
表1 導彈初始參數(shù)
仿真采用兩種制導方法進行對比:一是本文設計的帶導引頭視場限制的時間控制制導律;二是文獻[12]中采用目標視角飽和切換策略的制導律,仿真步長取0.01 s,假定目標坐標為(0,0),導彈速度為300 m/s,導彈過載限制為5g,導引頭視場角范圍[-45°,45°],制導律中導引系數(shù)n=1,根據(jù)表1的導彈飛行時間范圍,合理選取攻擊時間40 s,圖5給出兩種方法彈道軌跡、目標視角和導彈過載指令的仿真結(jié)果。
圖5 含過載及視場角約束的協(xié)同制導律仿真Fig.5 Simulation of cooperative guidance law with acceleration and field-of-view limit
圖5仿真結(jié)果表明,本文設計的制導律能夠?qū)崿F(xiàn)攻擊時間控制,并保證目標視角始終在導引頭視場范圍內(nèi),最終精確命中目標。文獻[12]采用制導律切換策略實現(xiàn)時間控制制導律滿足視場角約束:當視場角未達到邊界值時,采用文獻[2]的時間控制制導律;當視場角達到邊界值時,制導律切換為視場角保持制導律。這種制導律切換策略使得導彈過載指令在目標視角飽和處發(fā)生跳變,如圖5(d)所示。本文設計的制導律避免了視場角邊界處的過載指令跳變,實現(xiàn)了過載指令的連續(xù)變化。
下面驗證設計的協(xié)同制導律在導彈編隊協(xié)同制導中的性能,假設共有4枚導彈參與協(xié)同攻擊,各導彈參數(shù)如表2所示,4枚導彈由不同方位以不同角度同時攻擊目標,各導彈制導時間可選范圍由式(53)計算給出。
表2 導彈初始參數(shù)及制導時間范圍
仿真步長取0.01 s,假定目標坐標為(0,0),導彈速度為300 m/s,導彈過載限制為5g,導引頭視場角范圍[-45°,45°],制導律中導引系數(shù)n=1。參考表2中各導彈飛行時間范圍,分別選取期望導引時間Td=36 s,40 s,43 s。表3給出4枚導彈不同期望導引時間脫靶量結(jié)果,仿真結(jié)果表明4枚導彈均可準確命中同一目標。圖6給出不同期望導引時間下導彈編隊協(xié)同攻擊的彈道軌跡,期望協(xié)同制導時間越小,導彈彈道軌跡越平直,反之,彈道越彎曲。圖7給出不同期望導引時間下4枚導彈的剩余飛行時間曲線,初始時刻各導彈剩余飛行時間略有不同,但飛行過程中很快收斂一致,最終同時命中目標。期望協(xié)同制導時間越小,各導彈剩余飛行時間收斂速度越快,反之,收斂速度變慢。
表3 導彈不同攻擊時間下脫靶量
圖6 多導彈協(xié)同攻擊彈道圖Fig.6 Multi-missiles cooperative attack trajectories
圖7 多導彈不同剩余飛行時間Fig.7 Multi-missiles different time-to-go
仿真結(jié)果表明,應用設計的帶視場角限制的時間可控制導律,導彈在飛行過程中目標視角都不超出導引頭視場范圍,通過為導彈編隊指定一個共同的攻擊時間,保證了協(xié)同制導時間的一致性,最終實現(xiàn)了導彈編隊的齊射攻擊。
本文通過建立彈目運動數(shù)學模型,推導出時間可控制導律的解析解,通過增加導引頭視場角限制的偏置項,設計出一種綜合考慮攻擊時間及導引頭視場角限制的多導彈協(xié)同制導律??紤]導彈過載約束及視場角限制,由彈目運動幾何關系推算出最短彈道和最長彈道軌跡,從而確定協(xié)同制導時間的可選范圍。仿真結(jié)果表明,設計的協(xié)同制導律滿足攻擊時間約束及導引頭視場角限制條件,同時能夠精確命中目標。該協(xié)同制導律主要針對靜止、低速移動目標進行設計,如何估計出目標機動信息,將本方法應用于打擊機動目標的協(xié)同攻擊,值得進一步研究。
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Impacttimecontrolguidancelawwithfield-of-viewlimit
YANGZhe,LINDe-fu,WANGHui
(School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)
Toachievethecooperativeattackagainstthesametargetformulti-missiles,accordingtohomingguidancegeometry,anewcooperativeguidancelawisdevisedwithimpacttimecontrolandseeker’sfield-of-view(FOV)limit.Toderivetheguidancecommandoftheproposedlaw,apolynomialfunctionisintroducedtosatisfytheterminalimpacttimecontrol.Byaddingafeedbackofseeker’sFOVfunction,theproposedguidancelawcanachieveimpacttimecontrolandseeker’sFOVlimitatthesametime.Whenthelimitsofthemaneuveringaccelerationandtheseeker’sFOVaredefined,themissiletrajectorycanbedeterminedbytheinitialmissileparameters,thentheminimumandmaximumcooperativetimecanbecalculated.Simulationresultsshowthevalidityoftheproposedguidancelaw.
multi-missile;guidancelaw;cooperativeguidance;impacttime;field-of-view(FOV)
2015-03-10;
2015-11-23;網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期:2016-02-18。
國家自然科學基金(61172182)資助課題
V448.133
ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.22
楊哲(1989-),男,博士研究生,主要研究方向為飛行器協(xié)同制導與控制。
E-mail: yangzhebest@bit.edu.cn
林德福(1971-),男,教授,博士,主要研究方向為飛行器總體設計、無人系統(tǒng)制導與控制。
E-mail: lindf@bit.edu.cn
王輝(1985-),男,講師,博士后,主要研究方向為飛行器動力學與控制。
E-mail: wh20031130@126.com
網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160218.1207.002.html