茹仕高，朱紫陽(yáng)，區(qū)永洪，施一民

(1. 廣東省國(guó)土資源測(cè)繪院，廣東 廣州 510500； 2. 同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200093)

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利用格網(wǎng)改正法計(jì)算橢球面面積

茹仕高1，朱紫陽(yáng)1，區(qū)永洪1，施一民2

(1. 廣東省國(guó)土資源測(cè)繪院，廣東 廣州 510500； 2. 同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200093)

在對(duì)高斯投影面積變形定量分析的基礎(chǔ)上，提出了基于高斯投影格網(wǎng)改正的橢球面積計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了一次計(jì)算、長(zhǎng)久受益。該方法直接基于高斯投影面積與已知的格網(wǎng)修正系數(shù)，可直接將高斯投影面積轉(zhuǎn)換為橢球面積，計(jì)算簡(jiǎn)便、精度高。分別采用一個(gè)大圖斑區(qū)域和一個(gè)小圖斑區(qū)域進(jìn)行了計(jì)算驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法能實(shí)現(xiàn)相對(duì)精度優(yōu)于1/100萬(wàn)的計(jì)算結(jié)果，具有較大的推廣價(jià)值。

格網(wǎng)改正；橢球面積；投影變形

面積計(jì)算是常見(jiàn)的測(cè)量工作，高斯投影面積、橢球面積和地表面積是3類常用統(tǒng)計(jì)量[1]。高斯投影面積通常的做法是測(cè)量邊界點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算封閉區(qū)域面積，由各頂點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)計(jì)算多邊形面積已有簡(jiǎn)易可行的熟知公式[2]。隨著地理信息在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，真實(shí)地表面與平面差異也需顧及，面積計(jì)算由平面轉(zhuǎn)為橢球面，如第二次全國(guó)土地調(diào)查、第一次全國(guó)地理國(guó)情普查要求計(jì)算圖斑橢球面積[3-4]。平面面積與橢球面積相比，投影變形不容忽視，王解先[5]等討論了高斯投影中央子午線變化和投影面高程變化引起的面積變形及橢球面面積與高斯面上面積的差異；施鳳翔[6]分析地籍測(cè)量中高斯平面上用解析法計(jì)算宗地面積的不足，提出了地籍調(diào)查宗地面積也應(yīng)在橢球面上利用封閉區(qū)域界址點(diǎn)的大地坐標(biāo)精確計(jì)算宗地面積的方法；呂長(zhǎng)廣[7]等分析了土地調(diào)查中城鎮(zhèn)和農(nóng)村分別采用投影平面和橢球面計(jì)算面積存在的差異，并提出了采用改算系數(shù)法進(jìn)行平面面積改算。然而，按現(xiàn)有方法用大地經(jīng)緯線計(jì)算橢球面多邊形面積計(jì)算量巨大，為提高計(jì)算效率，相關(guān)科技工作者進(jìn)行了大量研究以簡(jiǎn)化計(jì)算量，李玉寶[8]等討論了高斯投影變形引起的面積測(cè)算誤差，并分析了變形的量級(jí)、性質(zhì)，提出以高斯平面計(jì)算值作為觀測(cè)值，運(yùn)用最小二乘原理、擬合出高斯投影變形拋物線函數(shù)，對(duì)高斯投影面積計(jì)算值進(jìn)行改正；劉洋[9]等在對(duì)高斯投影面積變形的性質(zhì)及量級(jí)進(jìn)行全面分析的基礎(chǔ)上，顧及地球曲率，提出拋物線擬合面積修正法，用于計(jì)算橢球面區(qū)域的面積；施一民[10]等推導(dǎo)了基于大地線與測(cè)地平行線正交格網(wǎng)的橢球面三角形面積計(jì)算公式。上述研究成果對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算量起到了很大的作用，但未就不同拋物線擬合修正適應(yīng)范圍作出分析；測(cè)地型橢球面面積主要適用于測(cè)地坐標(biāo)系，對(duì)于大地坐標(biāo)系需要轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換計(jì)算工作量較大。格網(wǎng)改正法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中現(xiàn)已得到廣泛的應(yīng)用[11-13]，那么可否將其引入用于基于高斯投影平面格網(wǎng)改正的橢球面積計(jì)算中呢？本文將探索如何采用這種格網(wǎng)改正法來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)便而又精確的橢球面多邊形面積計(jì)算。

一、改正原理

1. 高斯投影面積變形

高斯投影為正形投影，根據(jù)面積比計(jì)算公式可得面積比n與長(zhǎng)度比m的關(guān)系[14-15]

(1)

式中，Rm為地球平均曲率半徑；y為高斯投影橫坐標(biāo)。取至二次項(xiàng)為

(2)

由于高斯投影的正形投影的特性，通過(guò)計(jì)算高斯投影面上的面積比，則直接可以基于高斯投影面積計(jì)算橢球面積。由于高斯投影面為一連續(xù)面，計(jì)算中不可能也無(wú)法實(shí)現(xiàn)整個(gè)面的面積比計(jì)算，也無(wú)法通過(guò)連續(xù)面面積比實(shí)現(xiàn)橢球面計(jì)算，應(yīng)用中需進(jìn)行離散化處理，即格網(wǎng)化處理，在計(jì)算誤差范圍內(nèi)以格網(wǎng)中心面積比代替格網(wǎng)內(nèi)任意處面積比。

2. 格網(wǎng)間距確定

從式(2)可以得出，投影平面上面積變形差異最大的方向?yàn)檠貦M軸方向，相近等面積圖斑S面積變形差橫軸方向上面積都等于S的兩圖斑的面積變形之差，即

(3)

式中，ym、Δy分別為兩相近圖斑點(diǎn)高斯投影橫坐標(biāo)均值與差值。為保證計(jì)算精度，同名格網(wǎng)內(nèi)各區(qū)域面積變形差應(yīng)控制在相應(yīng)的范圍υ限內(nèi)，即υ≤υ限，由于實(shí)際應(yīng)用中取格網(wǎng)中心處面積變形修正值作為格網(wǎng)內(nèi)區(qū)域變形修正值，同名格網(wǎng)內(nèi)各區(qū)域面積變形最大差可放大1倍，即υ≤2υ限，則

(4)

式中，Δy即為滿足計(jì)算精度要求的最大格網(wǎng)尺寸。在南方地區(qū)，若取北回歸線(緯度23°26′N)、Rm=6371 km，要求面積變形相對(duì)誤差均達(dá)到百萬(wàn)分之一以下，則測(cè)區(qū)離開中央子午線的距離與格網(wǎng)間距的關(guān)系見(jiàn)表1。

表1　測(cè)區(qū)離開中央子午線的距離與格網(wǎng)間距的關(guān)系

實(shí)際應(yīng)用中，大中比例尺測(cè)量與調(diào)查采用的是3°帶投影，此時(shí)測(cè)區(qū)離開中央子午線的最大距離不超過(guò)1.5°，格網(wǎng)間距采用1km即可滿足面積變形相對(duì)誤差達(dá)到百萬(wàn)分之一以下。若只需滿足面積變形相對(duì)誤差優(yōu)于10萬(wàn)分之一，則采用10km的格網(wǎng)間距即可。

3. 格網(wǎng)修正系數(shù)計(jì)算

(5)

所對(duì)應(yīng)的橢球面上的面積為

(6)

在南方地區(qū)，若取北回歸線(緯度23°26′N)、2000國(guó)家大地坐標(biāo)系橢球、格網(wǎng)間距為1km，則測(cè)區(qū)離開中央子午線的距離修正系數(shù)的關(guān)系見(jiàn)表2。

表2　離開中央子午線的距離與修正系數(shù)的關(guān)系

由表2可知，格網(wǎng)橢球面上的面積小于高斯投影面積，隨著梯形遠(yuǎn)離中央子午線面積變形值和面積變形相對(duì)誤差逐漸增大，且與式(2)對(duì)應(yīng)的呈拋物線特性，在高斯投影6°帶邊緣地區(qū)面積變形相對(duì)誤差達(dá)到1/430最大。

同時(shí)可知，離投影中央子午線越遠(yuǎn)，修正系數(shù)k值越小。同一格網(wǎng)內(nèi)，格網(wǎng)中心處修正系數(shù)接近真實(shí)值；格網(wǎng)中遠(yuǎn)離中央子午線計(jì)算修正系數(shù)k值略大于實(shí)際修正系數(shù)；格網(wǎng)中近中央子午線計(jì)算修正系數(shù)k值略小于實(shí)際修正系數(shù)。因此，格網(wǎng)改正法計(jì)算格網(wǎng)內(nèi)圖斑面積，離中央子午線近的圖斑面積略小于真實(shí)圖斑面積，離中央子午線遠(yuǎn)的圖斑面積略大于真實(shí)圖斑面積。

4. 計(jì)算步驟

1) 根據(jù)計(jì)算精度要求，確定格網(wǎng)間距。

2) 根據(jù)格網(wǎng)間距，建立覆蓋計(jì)算區(qū)域的格網(wǎng)(若用于軟件開發(fā)，可計(jì)算覆蓋整個(gè)中國(guó)區(qū)域)，并計(jì)算各格網(wǎng)對(duì)應(yīng)的橢球面上的面積及修正系數(shù)。

3) 對(duì)圖斑與格網(wǎng)進(jìn)行空間分析，計(jì)算圖斑對(duì)應(yīng)的格網(wǎng)。

4) 需計(jì)算橢球面積多邊形的高斯投影面積。

5) 進(jìn)行計(jì)算多邊形的面積變形修正，獲取各多邊形對(duì)應(yīng)的橢球面上的面積。

二、實(shí)例分析

1. 算例1

為說(shuō)明該方法的通用性，選擇了如圖1所示南方某一縣級(jí)行政區(qū)的遙感調(diào)查成果進(jìn)行圖斑橢球面上的面積計(jì)算。計(jì)算區(qū)域總面積約2365km2，離中央子午線最小、最大距離分別為43′、1°25′，共有圖斑109 865個(gè)，圖斑最小上圖圖斑面積200m2，最大圖斑面積235.3km2，平均圖斑面積20 712.9m2。按照1km間距建立CGCS2000高斯投影格網(wǎng)，采用10m間距加密格網(wǎng)邊界，采用真實(shí)橢球面上的面積計(jì)算公式分別計(jì)算各格網(wǎng)橢球面上的面積及修正系數(shù)。

圖1　試驗(yàn)區(qū)域及圖斑邊界

為比較計(jì)算精度，采用真實(shí)橢球面上的面積計(jì)算公式計(jì)算了各圖斑的真實(shí)橢球面上的面積，另采用本文介紹的格網(wǎng)改正法計(jì)算了各圖斑橢球面上的面積，兩者比較的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3。

表3　圖斑格網(wǎng)改正法計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)

計(jì)算結(jié)果表明，以格網(wǎng)改正法計(jì)算的109 865個(gè)圖斑的橢球面上的面積與理論面積相比較，面積較差絕對(duì)值均值為0.017 1m2、相對(duì)誤差為1/1 210 508，即平均面積變形相對(duì)誤差在百萬(wàn)分之一以下；最大較差絕對(duì)值為33.07m2，其對(duì)應(yīng)相對(duì)誤差為1/7 114 164，優(yōu)于700萬(wàn)分之一；最大相對(duì)較差為1/175 073，其對(duì)應(yīng)較差絕對(duì)值為0.011 7m2，優(yōu)于10萬(wàn)分之一。

計(jì)算結(jié)果同時(shí)表明，相對(duì)精度優(yōu)于百萬(wàn)分之一的圖斑為40 715個(gè)，占37.1%，未達(dá)到設(shè)定的要求百萬(wàn)分之一。究其原因主要是真實(shí)橢球面上的面積與改正計(jì)算橢球面上的面積差異很小(較差小于1m2的為109 673個(gè)圖斑，占99.8%；較差大于10m2的圖斑數(shù)僅為15個(gè))，0.000 1m2的計(jì)算誤差將產(chǎn)生原本優(yōu)于百萬(wàn)分之一的相對(duì)誤差而變?yōu)橄鄬?duì)誤差僅優(yōu)于10萬(wàn)分之一，而實(shí)際絕對(duì)較差很小，對(duì)面積計(jì)算產(chǎn)生的影響完全可以忽略。故整體改正計(jì)算效果應(yīng)是顯著的。

2. 算例2

為說(shuō)明該方法的通用性，選擇了廣東陸域行政區(qū)各縣級(jí)行政區(qū)進(jìn)行橢球面上的面積計(jì)算。計(jì)算區(qū)域總面積約17.96萬(wàn)km2，選擇114°作為高斯投影中央子午線，計(jì)算區(qū)域離開中央子午線最大距離為4°21′，共有多邊形123個(gè)，最大多邊形面積5634km2，平均多邊形面積1 463.13km2。按照10km間距建立CGCS2000高斯投影格網(wǎng)，采用10m間距加密格網(wǎng)邊界，采用真實(shí)橢球面上的面積計(jì)算公式分別計(jì)算各格網(wǎng)橢球面上的面積及修正系數(shù)。

為比較計(jì)算精度，采用真實(shí)橢球面上的面積計(jì)算公式計(jì)算了各圖斑的真實(shí)橢球面上的面積，并采用本文介紹的格網(wǎng)改正法計(jì)算了各圖斑橢球面上的面積，得到各圖斑的兩種面積結(jié)果其統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表4。

表4用格網(wǎng)改正法計(jì)算各縣級(jí)行政區(qū)橢球面上的面積的誤差統(tǒng)計(jì)

類型絕對(duì)誤差/m2圖斑面積/km2相對(duì)誤差平均較差870.141463.131/1203785最大相對(duì)較差1165.37184.651/158444最大絕對(duì)較差4193.73857.141/204386

計(jì)算結(jié)果表明，以格網(wǎng)改正法計(jì)算的123個(gè)縣級(jí)行政區(qū)的橢球面上的面積與理論面積相比較，面積較差絕對(duì)值均值為870.14m2、相對(duì)誤差1/1 203 785，即平均面積變形相對(duì)誤差在百萬(wàn)分之一以下；最大較差絕對(duì)值為4 193.73m2，其對(duì)應(yīng)相對(duì)誤差為1/204 386，優(yōu)于20萬(wàn)分之一；最大相對(duì)較差為1/158 444，其對(duì)應(yīng)較差絕對(duì)值為1 165.37m2，優(yōu)于10萬(wàn)分之一。如此大區(qū)域計(jì)算，都能滿足計(jì)算精度要求。

計(jì)算結(jié)果同時(shí)表明，相對(duì)精度優(yōu)于百萬(wàn)分之一的圖斑為96個(gè)，占78.0%；相對(duì)精度優(yōu)于50萬(wàn)分之一的圖斑為112個(gè)，占91.1%。遠(yuǎn)優(yōu)于按照預(yù)定的格網(wǎng)間距相對(duì)精度應(yīng)優(yōu)于10萬(wàn)分之一的要求，究其原因主要有兩個(gè)方面：①格網(wǎng)間距達(dá)到了對(duì)相對(duì)精度的最低要求；②各圖斑跨越格網(wǎng)，格網(wǎng)改正法修正面積與實(shí)際橢球面上的面積有正有負(fù)，存在計(jì)算誤差相互抵消的現(xiàn)象。

三、結(jié)束語(yǔ)

本文結(jié)合地理空間信息應(yīng)用中大量橢球面上的面積計(jì)算的需要，對(duì)高斯投影面積變形進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上，顧及橢球面上的面積計(jì)算的復(fù)雜性、高斯投影面積計(jì)算的簡(jiǎn)單性，提出了基于高斯投影格網(wǎng)改正的橢球面上的面積計(jì)算方法。該方法直接基于高斯投影面積及已知的格網(wǎng)修正系數(shù)，可直接將高斯投影面積轉(zhuǎn)換為橢球面上的面積，計(jì)算簡(jiǎn)便、精度高。

分別采用了一個(gè)2000多平方千米的縣級(jí)行政區(qū)遙感調(diào)查涉及109 865個(gè)圖斑、廣東省所有縣級(jí)行政區(qū)陸域(含南澳縣)123個(gè)圖斑，分別采用真實(shí)橢球面上的面積計(jì)算公式與格網(wǎng)改正法計(jì)算了相應(yīng)圖斑橢球面上的面積。結(jié)果表明，計(jì)算結(jié)果能實(shí)現(xiàn)總體百萬(wàn)分之一的計(jì)算精度，能滿足應(yīng)用上的各項(xiàng)需求，該方法具有較大的推廣價(jià)值。

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Study on Ellipsoid Surface Area Calculation Method Using Grid Correction Technology

RU Shigao，ZHU Ziyang，OU Yonghong，SHI Yimin

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0274.

2015-10-08；

2016-03-07

國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2012BAB16B01)；國(guó)家自然科學(xué)基金(40471114)

茹仕高(1965—)，男，高級(jí)工程師,主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量和工程測(cè)量。E-mail:332575991@qq.com

P226

B

0494-0911(2016)08-0124-04

引文格式：茹仕高，朱紫陽(yáng)，區(qū)永洪，等.利用格網(wǎng)改正法計(jì)算橢球面面積[J].測(cè)繪通報(bào)，2016(8)：124-127.