☉湖北省宜昌市一中 熊江華

立足經(jīng)驗(yàn)獲取過程，有效突破教學(xué)難點(diǎn)
——高三第二輪專題復(fù)習(xí)課“函數(shù)中的恒成立、能成立問題”教學(xué)實(shí)錄

☉湖北省宜昌市一中 熊江華

美國教育家約翰·杜威說過“一盎司經(jīng)驗(yàn)勝過一噸理論”.仲秀英在研究學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的過程結(jié)構(gòu)時，結(jié)合杜威的經(jīng)驗(yàn)理論和皮亞杰的同化“理論”，提出了“原初經(jīng)驗(yàn)、再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)、概括性經(jīng)驗(yàn)”的概念.她把學(xué)生從第一次數(shù)學(xué)活動中獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)稱為初始經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生再次遇到和第一次數(shù)學(xué)活動一樣的情景時，第一次的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)完全再現(xiàn)，學(xué)生能照著模式套用，這樣的經(jīng)驗(yàn)稱為再生經(jīng)驗(yàn).再生經(jīng)驗(yàn)是在相同活動情景下學(xué)生能用前一次的經(jīng)驗(yàn)完成該情景中的教學(xué)任務(wù)，能再生同一活動的經(jīng)驗(yàn)；當(dāng)學(xué)生再次遇到與最初活動情景不同但相類似的情景中時，會把在前一次活動中的經(jīng)驗(yàn)遷移到活動情景中，于是就有了再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)；而當(dāng)學(xué)生在形式不同、本質(zhì)一樣的新情況下，按照“模式”再重復(fù)運(yùn)用這種經(jīng)驗(yàn)時，這種經(jīng)驗(yàn)就成為概括性經(jīng)驗(yàn).這對指導(dǎo)我們在教學(xué)中如何促進(jìn)學(xué)生獲得、積累并發(fā)展數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)具有十分重要的意義.恒成立、存在性問題既是高中階段的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).很多學(xué)生對此常流于簡單模仿，對一些結(jié)論沒有透徹理解，只是機(jī)械地記住了一些結(jié)論，純屬知其然不知其所以然，致使求解相關(guān)問題時方法選擇不合理，分類討論思維不清晰，沒有形成有效的解題流程.為有效破解這一教學(xué)難題，筆者根據(jù)仲秀英給出的獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的過程結(jié)構(gòu)，設(shè)計了一節(jié)高三第二輪專題復(fù)習(xí)課“函數(shù)中的恒成立、能成立問題”，收到較好的教學(xué)效果.以下是對本節(jié)課的總體設(shè)計思路、課堂教學(xué)實(shí)錄與課后教學(xué)感受.

一、總體設(shè)計思路

經(jīng)過第一輪的復(fù)習(xí)，大多數(shù)學(xué)生對恒成立、能成立問題并不陌生，也積累了一些有關(guān)處理恒成立、能成立問題的活動經(jīng)驗(yàn)，為本節(jié)課的教學(xué)奠定了一定的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是在活動中產(chǎn)生的，因此學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵是要能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的問題情境、提出一些好的問題，通過問題驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動.首先，本節(jié)課筆者堅持以問題為導(dǎo)向，通過自主梳理、基礎(chǔ)回顧對以前學(xué)過的知識和做過的習(xí)題進(jìn)行回顧，梳理解決此類問題的主要思想方法，形成有關(guān)處理恒成立、能成立問題的原初經(jīng)驗(yàn)；其次，通過典例剖析、檢測反饋使學(xué)生首先能簡單模仿、形成再生經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而通過變式、交流、討論等環(huán)節(jié)能針對不同情形將已有知識方法進(jìn)行遷移、固化，初步明確解決處理恒成立、能成立問題的主要類型及其思路方法，對如何靈活利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像去分析轉(zhuǎn)化，如何使分類時機(jī)的選擇、分類標(biāo)準(zhǔn)的確定、分類層次的把握更加自然合理等問題有一個基本認(rèn)識，從而形成再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)；最后，通過總結(jié)提煉使學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)得到進(jìn)一步升華，形成解決類此問題的一般解題策略，并能加以靈活應(yīng)用，形成概括性經(jīng)驗(yàn).上述其教學(xué)流程可用圖1表示：

圖1

二、課堂教學(xué)實(shí)錄

1.自主梳理，基礎(chǔ)回顧

要求課前學(xué)生自主整理以前學(xué)過的知識和做過的有關(guān)恒成立與存在性問題的習(xí)題，思考并歸納其解題策略，并回答下面問題：

問題1：已知函數(shù)f（x），x∈D，f（x）存在最小值與最大值.

（1）恒成立問題的轉(zhuǎn)化.?x∈D，使得f（x）＞M恒成立?___________________.

（2）能成立問題的轉(zhuǎn)化.?x∈D，使得f（x）＞M成立?___________________.

設(shè)計意圖：通過自主梳理，讓學(xué)生回顧以前做過的有關(guān)恒成立、存在性問題的習(xí)題，并在此基礎(chǔ)上自我歸納此類問題的一些基本結(jié)論，意在讓學(xué)生弄清此類問題的本質(zhì)，形成解決此類問題的原始經(jīng)驗(yàn)，為本節(jié)課的后續(xù)推進(jìn)奠定堅實(shí)的基礎(chǔ).

2.典例剖析，方法探究

例1設(shè)函數(shù)（fx）=x2-mx+4.

（1）若?x∈［1，3］，不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若?x∈［1，3］，不等式f（x）＞0有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）若?m∈［1，2］，不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

師：首先請大家完成例題，然后請同學(xué)并展示解題解題過程.

生1：第（1）問直接轉(zhuǎn)化為f（x）min＞0，第（2）問直接轉(zhuǎn)化為f（x）max＞0，然后就是一個動軸定區(qū)間求最值問題.生2：也可以先采用參變量分離將原式變形為x+＞m.第（1）問直接轉(zhuǎn)化為（x+）＞m，第（2）問直接min轉(zhuǎn)化為（x+）＞m.這樣計算要簡便很多.max

生3：第（3）問可以變換主元，將（fx）看成關(guān)于m的一次函數(shù)，令g（m）=-x·m+x2+4，m∈［1，2］，因?yàn)椋╢x）＞0，即g（m）＞0，m∈［1，2］，g（m）min＞0.

生4：第（1）問和第（2）問還可以轉(zhuǎn)化為拋物線y=x2+4與動直線y=mx之間的位置關(guān)系.

師：剛才同學(xué)們的發(fā)言十分精彩，通過以上展示，請同學(xué)們思考并回答以下問題：

問題2：解決恒成立與存在性問題的解題策略是什么？有哪些方法？（引導(dǎo)學(xué)生深入思考，將活動經(jīng)驗(yàn)推廣）

生5：有四種方法：①直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)最值問題.②參變量分離后再求最值.③轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的關(guān)系.④變換主元.

問題3：比較這些方法的優(yōu)劣，思考如何做出最佳的選擇？通過問題引導(dǎo)學(xué)生將做題得到經(jīng)驗(yàn)及時總結(jié)提煉，在比較中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

生6：如果能夠參變量分離，計算起來要容易些.

生7：有時候轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的關(guān)系會十分直觀.

生8：多個變量時可以靈活地選擇主元，達(dá)到減少變量的目的.

設(shè)計意圖：由于經(jīng)過教學(xué)環(huán)節(jié)1學(xué)生所形成的解決有關(guān)恒成立、能成立問題的經(jīng)驗(yàn)可能還比較零散、粗糙、模糊，所以通過例1中的三個具體問題，不僅使教學(xué)環(huán)節(jié)1中的兩個基本結(jié)論得以具體化，使學(xué)生遇到類似問題能進(jìn)行簡單模仿，形成此類問題的再生活動經(jīng)驗(yàn).而且通過一題多解，使學(xué)生能夠把握解決有關(guān)恒成立、能成立問題的本質(zhì)，并不斷積累解決此類問題的解題經(jīng)驗(yàn).

例2已知兩個函數(shù)f（x）=7x2-28x-c，g（x）=2x3+4x2-40x.

（1）對任意x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（2）對存在x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（3）對任意x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2），求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

生9：第（1）問和第（2）問可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-h（x）=2x3-3x2-12x+c，x∈［-3，3］，然后轉(zhuǎn)化為求h（x）的最值問題.

第（3）問有些同學(xué)開始還有些困難，經(jīng)過小組討論后才逐步理解了為什么要轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值即f（x）max≤g（x）min.

師：例2與例1有哪些區(qū)別與聯(lián)系？

生10：例2有兩個函數(shù)，例1只有一個.但是如果只有一個變元可以看成一個整體.

師：例2的第（3）問與第（1）問有哪些區(qū)別與聯(lián)系？

生11：都是兩個函數(shù)，但第（1）問只有一個變元，移項(xiàng)后可以看成一個整體.第（3）問有兩個變元，必須視為兩個不同的函數(shù).

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動之后所留下的直接感受、體驗(yàn)和感悟.在學(xué)習(xí)活動中，經(jīng)常要對一些相近的、相反的或容易混淆的問題進(jìn)行比較，通過比較與小組合作，給學(xué)生足夠時間去思考、討論、交流、辯論、表達(dá)，使學(xué)生能運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)解決類似的問題，實(shí)現(xiàn)知識、方法的順利遷移，從而初步形成再認(rèn)識經(jīng)驗(yàn).

3.檢測反饋，鞏固提高

練習(xí)1：請根據(jù)題意在下列橫線中填寫“?”或“?”，并進(jìn)行解答：

_____x1∈［-3，3］，____x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2），求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

答案：

?x1∈［-3，3］，? x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2）?f（x）min≤g（x）max；

?x1∈［-3，3］，?x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2）?f（x）min≤g（x）min；

? x1∈［-3，3］，?x2∈［-3，3］，有f（x1）≤g（x2）?f（x）max≥g（x）max.

練習(xí)2：已知函數(shù)f（x）=lnx-ax＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答略.

設(shè)計意圖：通過練習(xí)1、2，不僅使學(xué)生獲得的新經(jīng)驗(yàn)不斷得以強(qiáng)化，而且還通過填空使學(xué)生能夠進(jìn)行情景創(chuàng)設(shè)，將所獲得的經(jīng)驗(yàn)自覺地遷移到新的數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)情景之中，不斷實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的模式化、條理化，提高學(xué)生解決此類問題的策略和水平.

4.總結(jié)提煉，技進(jìn)乎道

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生12：解決恒成立、能成立問題——轉(zhuǎn)化為最值（或值域）的問題.

常見方法：①分離參數(shù)法；②主元變更法；③數(shù)形結(jié)合法.

生13：要注意看是一個函數(shù)還是兩個函數(shù)，一個變量還是多個變量.

師：你能不能具體說明一下？

生13：如果只有一個函數(shù)的要注意方法的選擇：可以直接討論最值、也可以參變分離后求最值、還可以分拆成兩個函數(shù)數(shù)形結(jié)合.如果兩個函數(shù)就要看有幾個變量，一個變量時可看成一個函數(shù)，如果有多個變量時要根據(jù)條件里給的范圍確定主元.

師：非常好，如果有多個變量注意主元的選擇，其根本目的是逐步減少變元，由多到一，簡化結(jié)構(gòu)，還有嗎？（對于學(xué)生總結(jié)不到位的地方教師要及時完善）

生14：我們還學(xué)習(xí)了一些重要結(jié)論：

（1）?x∈D，f（x）≤g（x）成立??x∈D，（g（x）-f（x））min≥0；

（2）?x∈D，f（x）≤g（x）成立??x∈D，（g（x）-f（x））max≥0；

（3）?x1，x2∈D，有f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）min；

（4）?x1，x2∈D，有f（x1）≤g（x2）?f（x）min≤g（x）max；

（5）?x1∈D1，?x2∈D2，有f（x1）≤g（x2）?f（x）min≤g（x）min；

（6）?x1∈D1，?x2∈D2，有f（x1）≤g（x2）?f（x）max≥g（x）max.

設(shè)計意圖：通過本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生總結(jié)提煉有關(guān)恒成立、能成立問題的主要類型，反思解決此類問題的基本思路與一般策略，使所獲得的經(jīng)驗(yàn)上升到概括性經(jīng)驗(yàn)，從而完成對本節(jié)內(nèi)容的知識建構(gòu)與思想方法的整合，最大限度地實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的升華與能力的提升，做到“技近乎道”.

三、課后教學(xué)感悟

（1）美國有句名言：“你聽到了，你忘記了；你看到了，你記住了；你經(jīng)歷了，你學(xué)會了.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果.這個過程不可能一蹴而就，也不會一帆風(fēng)順，需要在“做”的過程和“思考”的過程中不斷磨礪、慢慢積淀、逐步積累、漸漸深化.已有研究證實(shí)，學(xué)生前期積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)只有參與了多樣化的數(shù)學(xué)活動，經(jīng)過了多次調(diào)用和加工后才能逐漸內(nèi)化為概括性更強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)圖式，進(jìn)而真正達(dá)到理性的領(lǐng)悟，更有效地推廣到同類問題的解決中去.

（2）善于采用變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對一個好問題進(jìn)行變式改造，如改變題目的條件、結(jié)論、圖形、敘述方式等，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而對問題進(jìn)行更深層次的探索，這樣靈活地使用變式教學(xué)，既可以免于題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，做到深入淺出、以點(diǎn)帶面，以少勝多，不僅能有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，克服思維定勢，提高學(xué)生的解題能力及應(yīng)變能力，而且還能最大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性.

（3）合作學(xué)習(xí)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要手段，學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的領(lǐng)悟與轉(zhuǎn)化常常受到個人學(xué)習(xí)風(fēng)格的局限，要克服個人數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的缺陷，一個重要的方式是給學(xué)生提供一個“合作交流”的平臺，促進(jìn)個人經(jīng)驗(yàn)的交流與融合，實(shí)現(xiàn)對個人經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化和內(nèi)化.這樣的合作交流提升了活動經(jīng)驗(yàn)的理性品質(zhì)，加速了其內(nèi)化為個體數(shù)學(xué)素養(yǎng)一部分的進(jìn)程.在教學(xué)實(shí)踐中，通過合作交流旨在完成對個體活動經(jīng)驗(yàn)的“四個提升”，即把感性的經(jīng)驗(yàn)理性化，把模糊的經(jīng)驗(yàn)明晰化，把松散的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)化，把知識型的經(jīng)驗(yàn)策略化.

（4）數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是學(xué)生在各種數(shù)學(xué)活動中生成、拓展、提升與交流數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的過程，同時也是他們獲取數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本思想的過程.因此在總結(jié)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)時，要引導(dǎo)學(xué)生以下四個方面進(jìn)行提煉：①數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)里的知識性成分；②數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)里的思想方法性成分；③數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)里的體驗(yàn)性成分，即在活動過程中所產(chǎn)生的情緒體驗(yàn)；⑷數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)里的觀念性成分，即活動過程中所形成的意識和信念，如應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、做事的信心與信念等.