楊星星，寧　群

（宿州學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽　宿州　235000）

關(guān)于極坐標(biāo)系下二重積分的計算法的教學(xué)設(shè)計探討

楊星星，寧群

（宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州235000）

課堂教學(xué)設(shè)計是提高課堂教學(xué)效率的前提和重要保證，是課堂教學(xué)成功的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)過程是一個傳授數(shù)學(xué)思想和方法的過程，二重積分的計算是多元積分學(xué)的核心，這部分內(nèi)容蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，是值得探討和研究的部分.

二重積分；計算；教學(xué)設(shè)計

利用極坐標(biāo)計算二重積分的教學(xué)設(shè)計面向工科專業(yè)學(xué)生，他們在部分專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中要用到高等數(shù)學(xué)知識.如材料化學(xué)專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)“材料科學(xué)基礎(chǔ)”、測繪工程專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)“流體力學(xué)”、計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)字信號處理”時都要用到二重積分的知識.

1　教材分析

二重積分既是定積分的推廣，又為后面系統(tǒng)地學(xué)習(xí)三重積分、曲線積分和曲面積分提供研究和學(xué)習(xí)的方法，是多元積分學(xué)的基礎(chǔ).二重積分計算的主要思路是轉(zhuǎn)化為兩次定積分即二次積分，當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)域在極坐標(biāo)系下表示比較方便時利用極坐標(biāo)計算往往會化繁為易.

2　學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微積分；已經(jīng)掌握了在直角坐標(biāo)系下二重積分的計算；但學(xué)生情況制約著學(xué)習(xí)的開展，影響著目標(biāo)的達成，學(xué)習(xí)不僅受學(xué)生原有知識基礎(chǔ)的制約，而且還受學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格、能力狀況和學(xué)習(xí)興趣等影響.

3　教學(xué)目標(biāo)

3.1知識目標(biāo)

（1）掌握二重積分在極坐標(biāo)系下的表達式；

（2）掌握極坐標(biāo)系下二重積分化二次積分的方法.

3.2能力目標(biāo)

（1）理解二重積分從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的換元思想；（2）理解在極坐標(biāo)系下二重積分化二次積分的思想方法和具體過程，能夠熟練應(yīng)用.

3.3素質(zhì)目標(biāo)

（1）通過教師的提示和啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生深入思考、積極發(fā)言的良好習(xí)慣，加強語言表達能力；

（2）引導(dǎo)學(xué)生注重數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，樹立“學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)”的意識.

4　教學(xué)策略與設(shè)計思路

4.1教學(xué)方法

（1）為突出重點，采取類比分析、實例分析，使學(xué)生主動參與提出問題與解決問題的過程，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.

（2）為突破難點，采取演示、講授、啟發(fā)等方式，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用.

4.2教學(xué)手段

除使用常規(guī)的教學(xué)手段外，還將使用多媒體投影和計算機來輔助教學(xué)，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識，在優(yōu)化組合的基礎(chǔ)上，提高教學(xué)效率，改善教學(xué)效果.

4.3設(shè)計思路

對一個計算二重積分的問題，可以考慮應(yīng)用前面學(xué)過的直角坐標(biāo)系下的求解方法但由于被積函數(shù)較復(fù)雜，但在極坐標(biāo)系下表達式簡單，轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)系下求解.由而引發(fā)思考：極坐標(biāo)系下二重積分的表達式？極坐標(biāo)系下積分變量的取值范圍？類比分析，由淺入深，逐步探索，得到確定極坐標(biāo)變量上下限方法：三線法.應(yīng)用此方法，很方便就能求出開始給出的二重積分的解，學(xué)生自己動手，增加成就感.聯(lián)系實例，深入探究，解決問題.歸納小結(jié)，給出極坐標(biāo)系下二重積分計算的具體步驟，提高認(rèn)識，最后適當(dāng)練習(xí)，鞏固新課.結(jié)構(gòu)完整，條理清晰.

5　教學(xué)過程

5.1引入

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二重積分在直角坐標(biāo)系下的計算，利用直角坐標(biāo)進行將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的過程中，關(guān)鍵是選擇積分區(qū)域的類型X-型或Y-型也即是確定了積分的次序，這個過程中不但要考慮積分區(qū)域的形狀還有考慮被積函數(shù)的特性.下面我們來求這個二重積分

圖1　

根據(jù)直角坐標(biāo)系下二重積分的計算步驟：首先畫出積分區(qū)域的圖形（PP T顯示），積分區(qū)域關(guān)于x軸、y軸對稱且被積函數(shù)關(guān)于x、y都是偶函數(shù)，由對稱性，記第一象限的積分區(qū)域為

然后選擇積分次序，但是無論先積x還是先積y，這個被積函數(shù)的原函數(shù)都不易求得.由于被積函數(shù)和積分區(qū)域的邊界曲線方程中都含有x2+y2，想到轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下求解.

5.2極坐標(biāo)系下二重積分的表達式

利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：x r=c o sθ，y=rs inθ可以將被積函數(shù)f（x，y）轉(zhuǎn)化為f（r c onθ，rs inθ），直角坐標(biāo)系下的面積元素d x d y轉(zhuǎn)化為r d r dθ，積分區(qū)域D的邊界曲線方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)變量表示.這樣我們就得到了極坐標(biāo)系下二重積分的表達式這樣就把積分變量轉(zhuǎn)換成了r和θ，其換元思想類似于定積分的換元法.

5.3極坐標(biāo)系下二重積分化為二次積分

極坐標(biāo)系下二重積分的表達式已經(jīng)知道，怎樣確定極坐標(biāo)變量r和θ的范圍就成了將其化為二次積分的關(guān)鍵了.在極坐標(biāo)系下有界閉區(qū)域D如圖2：

圖2　

如果積分區(qū)域D介于兩條射線θ=α，θ=β之間，從極點出發(fā)在區(qū)間（α，β）上任意作一條極角為θ的射線穿過區(qū)域D的內(nèi)部先交曲線r=φ1（θ）后交r=φ2（θ）即D內(nèi)任一點（r，θ），其極徑總是介于曲線r=φ1（θ），r=φ2（θ）之間.

則區(qū)域D的積分限

于是

稱上述確定r和θ上下限的方法為三線法.

（2）利用這個方法來求先前遇到的思考題，把二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下

（3）實例分析［1］：求球體 x2+y2+x2≤4a2被圓柱面x2+y2=2a x（a＞0）所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積如圖3.

圖3　

圖4　

5.4極坐標(biāo)系下計算二重積分的具體步驟

5.5利用極坐標(biāo)計算二重積分的范圍［2］

如果積分區(qū)域是圓、半圓、圓環(huán)、扇形區(qū)域等情況下且被積函數(shù)是）形式，利用極坐標(biāo)來計算往往會簡

便很多.

5.6課后思考，小組協(xié)作

6　教學(xué)反思

（1）教學(xué)大綱要求我們在教學(xué)過程中要著重培養(yǎng)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等方面的能力.學(xué)習(xí)的全過程需要學(xué)生的參與，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體和中心.圍繞這個宗旨，我在課堂內(nèi)容的編排和教學(xué)課件的制作上作了一定的思考.在內(nèi)容編排上，我基本遵循由易到難的過程，從最基本的，學(xué)生所熟知的前課知識開始引入，由淺入深的引導(dǎo)學(xué)生加以足夠地探究，使學(xué)生的發(fā)現(xiàn)變得自然而水到渠成.同時對于學(xué)生可能的探究結(jié)果留有足夠的空間，充分肯定學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)，對于學(xué)生考慮不到的地方加以補充、引導(dǎo)、完善，并留出一定課后思考得余地.在課件制作方面，考慮到多媒體直觀形象的特點，讓其承擔(dān)起引導(dǎo)思考與解釋的重任. （2）這節(jié)課還有一些不足之處，課堂容量過大，導(dǎo)致了省略定積分具體計算過程的遺憾.課件的制作也達不到特別美觀的要求，不能更好的發(fā)揮其應(yīng)有的作用.在今后的教學(xué)中我會不斷的完善自己的教學(xué)技能，提高自己的業(yè)務(wù)水平，做到能靈活把握教材，詳略處理得當(dāng).正確處理教與學(xué)的關(guān)系，努力體現(xiàn)一種流暢的教學(xué)風(fēng)格［4］.既充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，又不完全以學(xué)生為中心，做到教與學(xué)的良好互動.

〔1〕同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2007．

〔2〕連坡．高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的思考與探索［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2011，2（14）：45－46．

〔3〕賈紅艷．大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的幾點思考［J］．教育與教學(xué)研究，2010，2（24）：99－100．

〔4〕楊宏林，丁占文，田立新．關(guān)于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的幾點思考［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，2（13）：74－76．

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宿州學(xué)院2015質(zhì)量工程項目（201510379083）