牛麗芳　張建文　段周波

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 太原　030024)

?

基于時滯思想的一類非線性彈性桿結(jié)構(gòu)動力行為的研究*

牛麗芳?張建文段周波

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 太原030024)

基于時滯思想,利用改進的Galerkin方法,研究了一類非線性彈性桿方程的長時間行為.該方法將控制方程的解投影到由其線性算子的特征函數(shù)所張成的完備空間內(nèi),并截取有限階模態(tài)來逼近真實解,從而將無窮維動力系統(tǒng)近似為有限維動力系統(tǒng).根據(jù)時滯思想,構(gòu)造了反映高、低階模態(tài)關(guān)系的時滯表達式,使得在數(shù)值模擬過程中無需通過復(fù)雜數(shù)值積分即可直接獲取高階位移分量,從而降低了系統(tǒng)維數(shù),縮減了計算量.對系統(tǒng)進行了數(shù)值模擬及分析,得到用較低的模態(tài)可描述系統(tǒng)解的最終狀態(tài).

時滯慣性流形,非線性Galerkin方法,非線性彈性桿

引言

設(shè)無窮維動力系統(tǒng)

(1)

其中A在某一Hilbert空間V上是線性、自共軛無界算子,R是非線性算子.對給定的n∈N,Vn?V是n維子空間,記Pn是從V到Vn的L2_正交投影算子,并記Qn=I-Pn.記p=Pnu,q=Qnu,故u=p+q. 把Pn和Qn應(yīng)用到方程(1),則產(chǎn)生了一系列如下形式的方程

(2)

(3)

事實上,傳統(tǒng)的Galerkin方法相當(dāng)于在(2)中令q=0而得到的一系列有限維的動力方程.

處于這樣的考慮,大家認為對大多數(shù)微分動力系統(tǒng)來說,一般依賴于系統(tǒng)的過去.為此,A Debussche和R Temam[4]提出了時滯慣性流形的概念,它說明大小渦分量間的相互關(guān)系不是一種簡單的瞬時作用,而是與渦的發(fā)展歷史相關(guān),即改變了慣性流形和近似慣性流形方法中高、低階分量間相互作用為瞬時行為的隱合假定,而認為這種作用與系統(tǒng)的發(fā)展歷史相關(guān)的,即

q=φ(p(t),q(t-T))

(T是一個適當(dāng)?shù)臅r間延遲)

(4)

這種形式的IMD對大漩渦方程的最小維數(shù)幾乎沒有限制,而且可以實現(xiàn)對非線Galerkin方法進行改進,在減弱其可行性條件的同時,能夠保持其良好的穩(wěn)定性和收斂性.由于時滯慣性流形是一類有限維光滑流形,而且在一定的時間內(nèi),方程的解軌道都會進入到它的一個小鄰域里,因此研究無窮維動力系統(tǒng)長時間形態(tài)具有非常重要的意義.另外,時滯慣性流形的存在性不需要微分方程具備嚴格的譜間隙條件,因此可以在更廣泛的耗散方程[5-7]中應(yīng)用.

從時滯慣性流形角度,關(guān)于桿、梁、板結(jié)構(gòu)的研究到目前還很少.本文試圖根據(jù)時滯慣性流形思想,來研究如下非線性黏彈性桿方程

utt-Δu-rΔut-βΔutt-φ(0)Δu-

(5)

其中方程具有齊次邊界條件

(6)

和初始條件

u(x,t)=u0(x),x∈Ω,t≤0

(7)

且Ω是R3的一個有界開集,并具有光滑邊界?Ω,r,β>0是非負常數(shù),φ(0),φ(∞)>0,φ′(s)<0(?s∈R+),f滿足臨界增長指數(shù)條件.2014年,牛麗芳和張建文[8]研究了上述非線性演化方程的穩(wěn)定性,證明了給系統(tǒng)整體解存在全局吸引子.

本文在上述基礎(chǔ)上,利用時滯慣性流形思想,提出一種新的非線性Galerkin方法,對系統(tǒng)(5)～(7)進行數(shù)值模擬.具體方法是,把原始方程的解投影到由控制方程中線性算子的特征函數(shù)所張成的完備空間內(nèi),并構(gòu)造出無限維子空間內(nèi)的動力行為與有限維子空間內(nèi)的動力行為之間的耦合作用,該耦合作用認為高低階分量間的相互作用并不是一種簡單的瞬時行為,而是與模態(tài)發(fā)展的歷史有關(guān).這種方法是將高階模態(tài)用低階模態(tài)來表示,并引入時間滯后,即保留了計算精度,還減少了關(guān)于時間的非線性耗散的二階自治系統(tǒng)的自由度,降低求解規(guī)模對計算機資源的要求.

1　預(yù)備知識

下面給出本章所需要的一些定義和假設(shè)條件.

在對系統(tǒng)(5)～(7)整體弱解的研究中[8],對非線性項f∈C0(R,R)作如下假設(shè):

(H2)存在常數(shù)k0,使得

當(dāng)n=1,2?s∈R;

其中k0是正常數(shù).

其中λ1是-Δ在Dirichlet邊界條件下的第一特征值.

f(s)s≤λs2+k1, ?s∈R,

(8)

和

(9)

其中λ<λ1.

為了方便,記μ(s)=-φ′(s)和φ(∞)=α,其中α是一個正常數(shù).記憶核μ滿足如下假設(shè):

(H3)μ∈C1(R+)∩L1(R+),μ(s)≥0,

μ′(s)≤0?s∈R+；

(H5)μ′(s)+dμ(s)≤0, ?s∈R+,其中常數(shù)d>0.

最后,引入Hilbert空間.

2　基于時滯慣性流形思想的算法

在上一節(jié)中,系統(tǒng)(5)～(7)的整體解在一定條件下存在全局吸引子,即解是穩(wěn)定的.因此,從理論上保證了對系統(tǒng)(5)～(7)進行Galerkin截斷的合理性.

接下來,將利用時滯慣性流形思想對系統(tǒng)(5)～(7)進行Galerkin截斷、數(shù)值模擬及分析,為了方便,需要對系統(tǒng)中抽象的函數(shù)取為具體函數(shù).

在系統(tǒng)(5)～(7)中取Ω=(0,1),N=1,φ(s)=1+e-2s,f(u)=0,有φ(∞)=1,φ(0)=2,則系統(tǒng)(1)～(3)式化為

(10)

記μ(s)=-φ′(s),下面驗證取定的這些非線性項滿足本章的假設(shè)條件(H1)～(H5)：

(H1)μ(s)=2e-2s,

顯然μ(s)∈C1(R+)∩L1(R+),μ(s)≥0,μ′(s)≤0?s∈R+;

(H3)μ′(s)+μ(s)=-4e-2s+2e-2s≤0,?s∈R+

(H4)存在常數(shù)k3=1>0,使得f′(v)=0≤k3, ?v∈R；

(11)

將(11)代入(10)中,得

(12)

用(12)與sinmπx在Ω上作L2(Ω)中內(nèi)積,得到系統(tǒng)離散化的方程組

(13)

其中m=1,2,….

基于時滯慣性流形思想,降低系統(tǒng)維數(shù),減少計算時間.截取方程組(13)的前2N階模態(tài),設(shè)前N階模態(tài)為低階的模態(tài),后N階模態(tài)為高階模態(tài),將時間區(qū)間[0,T]分為t0,t1,t2,…,ti,…,步長為k,ωj(ti)對應(yīng)于ti時刻j階模態(tài)的值.

ti時刻前N階模態(tài)可表示為：

sinmπxdx=A

m=1,2,…,N

(14)

(15)

(16)

得到ti時刻后N階模態(tài)為：

m=N+1,N+2,…,2N

(17)

具體的IMD算法為：

ti時刻,前N階模態(tài)表示為(i=0,1,2,…,s;m=1,2,…,N):

(18)

后N階模態(tài)中,t0,t1時刻表示為(i=0,1,m=N+1,N+2,…,2N):

(19)

后N階模態(tài)中,ti時刻表示為(i=2,…,s;m=N+1,N+2,…,2N):

(20)

IMD算法通過構(gòu)造了含有時滯的高、低階模態(tài)的相互關(guān)系,使得在數(shù)值模擬過程中無需通過復(fù)雜數(shù)值積分,即可直接獲得高階位移分量.

3　數(shù)值分析

下面利用上面所得到的時滯慣性流形算法對系統(tǒng)(5)～(7)進行數(shù)值模擬及分析,其中所有的圖都是描繪彈性桿的中心位置.

在相同參數(shù)下,分別取前40階模態(tài)、600階模態(tài)、1000階模態(tài)和2000階模態(tài),得到圖1、圖2、圖3和圖4.分析這四個圖,看到在相同初始速度下,系統(tǒng)最終狀態(tài)是一樣的.也就是說,利用本節(jié)的算法,取前40階模態(tài),就可準確描述系統(tǒng)(5)～(7)解的最終狀態(tài).

圖1　取N=20,β=0.01,γ=2.0,初始速度為-12m/s得到的位移-時間歷程圖Fig. 1　Time history of displacement when N=20,β=0.01,γ=2.0

圖2　取N=300,β=0.01,γ=2.0,初始速度為-12m/s得到的位移-時間歷程圖Fig. 2　Time history of displacement when N=300,β=0.01,γ=2.0

圖3　取N=500,β=0.01,γ=2.0,初始速度為-12m/s得到的位移-時間歷程圖Fig. 3　Time history of displacement when N=500,β=0.01,γ=2.0

圖4　取N=1000,β=0.01,γ=2.0,初始速度為-12m/s得到的位移-時間歷程圖Fig. 4　Time history of displacement when N=1000,β=0.01,γ=2.0

通過數(shù)值分析,在本章例子中,相比傳統(tǒng)的Galerkin方法,IMD算法同樣可用較少模態(tài)來描述系統(tǒng)的最終狀態(tài).除此之外,從算法上可以看到,簡化了程序,大幅縮減了計算量,節(jié)約了時間,進一步降低了求解規(guī)模對計算機的要求,有一定的優(yōu)越性.

1Foias C, Sell G R, Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations.JournalofDifferentialEquations, 1998,73(2):309～353

2Foias C, Manley O, Temam R. On the interaction of small eddies in two-dimensional turbulence flows.MathModelingandNumericalAnalysis, 1988,22(1):93～118

3Hosoya M, Yamada Y. On some nonlinear wave equations Ⅱ: global existence and energy decay of solutions.JournaloftheFacultyofScience,UniversityofTokyo, 1991,38:239～250

4Debussche A, Temam R. Inertial Manifold with Delay.AppliedMathematicsLetters, 1995,8(2):21～24

5張家忠,陳麗鶯,梅冠華等. 基于時滯慣性流形的淺拱動力屈曲研究. 振動與沖擊,2009,28(6):100～103,167 (Zhang J Z,Chen L Y, Mei G H, et al. Dynamic bucking analysis of shallow parabolic arch based on the method of inertial manifolds with time delay.JournalofVibrationandShock, 2009,28(6):100～103,167 (in Chinese))

6Zhang J Z, Liu Y, Lei P F, Sun X. Dynamic snap-through buckling analysis of shallow arches under impact load based on approximate inertial manifolds.DynamicsofContinuous,DiscreteImpulsiveSystems,SeriesB(DCDIS-B), 2007,14:287～291

7Suzuki R. Asymptotic behavior of solutions of quasilinear parabolic equations with supercritical nonlinearty.JournalofDifferentialEquations, 2003,190(1):150～181

8牛麗芳,張建文,張建國. 一類帶記憶項的非線性彈性桿的全局吸引子. 數(shù)學(xué)的實踐與認識,2013,43(18):262～268 (Niu L F, Zhang J W, Zhang J G. Existence of global attractors for a class of nonlinear elastic rod equation with memory type.MathematicsinPracticeandTheory, 2013,43(18):262～268 (in Chinese))

*The project supported by the Natural Science Foundation for Young Scientists of Shanxi Province, China (2015021009)

? Corresponding author E-mail:niulifangfly@163.com

15 February 2015,revised 08 September 2015.

ASYPTOTIC BEHAVIOR FOR A NONLINEAR ELASTIC ROD BASED ON THE INERTIAL MANIFOLD WITH DELAY*

Niu Lifang?Zhang JianwenDuan Zhoubo

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

In this paper, based upon a new concept of the inertial manifolds with delay, a kind of nonlinear elastic rod is studied by an improved version of the nonlinear Galerkin method. This method was employed to project the solutions of the governing equations onto the complete space spanned by the eigen-functions of equation operators. With the truncation of modes to approach the solution, the original infinite dimensional dynamic system is approximated as a finite one. Furthermore, a time-delay expression which implies the interaction between higher and lower modes was constructed. With the time-delay expression presented, the higher displacement modes were obtained directly without a complicated numerical integration, resulting in a system with less degree-of-freedoms and reducing the computation time.

inertial manifold with delay,nonlinear Galerkin method,nonlinear elastic rod

E-mail:niulifangfly@163.com

10.6052/1672-6553-2015-67

2015-02-15收到第1稿,2015-09-08收到修改稿.

*山西省青年科技研究基金資助項目(2015021009)