熊緒沅，萬 麗，b*，賴佳境

（廣州大學(xué)a.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東　廣州 510006）

基于0-1測試法的Verhulst種群序列混沌識別

熊緒沅a，萬 麗a，b*，賴佳境a

（廣州大學(xué)a.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510006）

0-1測試法是通過離散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化變量的線性增長率K（c）的輸出值是否趨近于1或0來判斷離散序列是否具有混沌特性的新方法.以經(jīng)典Verhulst種群模型生成的3組時(shí)間序列（弱混沌、完全混沌、3-周期）為研究對象，對不同的增長因子λ和數(shù)據(jù)長度N進(jìn)行序列模擬，驗(yàn)證0-1測試方法的有效性和抗噪性.結(jié)果顯示：0-1測試法能有效識別Verhulst序列的混沌特征，其中弱混沌序列K（c）值隨數(shù)據(jù)長度的增加不斷增大到0.700 3，完全混沌序列的K（c）值趨于1，3-周期序列K（c）值趨于0；進(jìn)一步對3種序列添加正態(tài)白噪聲（噪聲比=5%），添加后對應(yīng)K（c）值的變化不大，說明低強(qiáng)度噪聲并不能影響其序列具有的內(nèi)在非線性特性，即0-1測試法具有一定的抗噪性.

0-1測試；混沌識別；Verhulst種群模型；正態(tài)白噪聲

混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無規(guī)則的類似隨機(jī)的現(xiàn)象，它不是簡單的無序，表面是沒有明顯的周期和對稱，但卻是具有豐富的內(nèi)部層次的有序結(jié)構(gòu)，是非線性系統(tǒng)的一種新的存在形式［1］.混沌系統(tǒng)的最大特點(diǎn)就是對演化的初始條件十分敏感，因此，從長期意義上講，系統(tǒng)的未來行為是不可預(yù)測的.混沌時(shí)序分析是混沌和時(shí)序分析相互滲透的一門學(xué)科.自20世紀(jì)90年代以來，混沌時(shí)序分析在股票預(yù)測、電力系統(tǒng)預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)、DNA序列分析、水下目標(biāo)識別、礦化識別等方面都有較成功的應(yīng)用［2-8］.如何鑒別時(shí)間序列是否具有混沌吸引子存在，是研究其混沌性的首要任務(wù).目前，常用的混沌識別方法主要有：相圖法、頻譜分析法、龐加萊映象法、飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法、K熵法和Lyapunov指數(shù)法等.但這些混沌識別方法均存在一定的適應(yīng)范圍和局限性［9-10］，如：相圖法雖然簡單直觀，但精確度不高；頻譜分析法對于受到噪聲影響的序列很難從其頻譜上區(qū)分其運(yùn)動(dòng)模式；龐加萊映象法不能區(qū)分混沌和完全隨機(jī)運(yùn)動(dòng)；采用G-P算法計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)參數(shù)的選取并不是客觀的，沒有通用的參數(shù)選取標(biāo)準(zhǔn)；最大Lyapunov指數(shù)法的計(jì)算結(jié)果并非直接得到，延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)的確定具有一定的主觀性和不確定性.而0-1測試法是一種不需要相空間重構(gòu)，可直接通過計(jì)算離散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化變量的線性增長率K（c）值是否趨近于1或0來判斷混沌是否存在的方法［11-13］，已在天文、氣象、交通和水文等領(lǐng)域有應(yīng)用［14-17］，但該方法對參數(shù)選取范圍和小數(shù)據(jù)量的有效性和抗噪性有待深入研究.

本文以Verhulst種群增長模型序列為研究對象，對不同的增長因子λ和數(shù)據(jù)長度N進(jìn)行序列模擬，驗(yàn)證0-1測試法對混沌識別的有效性和抗噪性，為進(jìn)一步應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的混沌判別和篩選提供借鑒.

1　0-1混沌識別方法

設(shè)已知離散的時(shí)間序列為φ（j），其中j=1，2，…，N，令c為區(qū)間（0，π）上的隨機(jī)常數(shù)，分別計(jì)算：

如果動(dòng)力系統(tǒng)是非混沌的，如周期的或倍周期的，pc（n）-qc（n）軌跡圖是有界穩(wěn)定的；如果動(dòng)力系統(tǒng)是混沌的，pc（n）-qc（n）軌跡圖漸進(jìn)表現(xiàn)為布朗運(yùn)動(dòng).定義Mc（n）為pc（n）和qc（n）的均方位移函數(shù)：

pc（n）和qc（n）的斂散性也可以由Mc（n）的表現(xiàn)來衡量，如果給定的時(shí)間序列是有序的，則Mc（n）是一個(gè)有界量；如果給定的時(shí)間序列是混沌的，則Mc（n）是N的線性函數(shù).由于Mc（n）的收斂性不好，故對均方位移函數(shù)進(jìn)行修正為

上式中Δn=（Dc（1），Dc（2），…，Dc（n））T，n=（1，2，…，n）T，eTn=（1，1，…，1）T∈R Rn.本文采用第二種相關(guān)系數(shù)法，因?yàn)樵摲椒ㄅ卸〞r(shí)間序列的混沌特性比回歸方法更顯著.理論上，c可以在區(qū)間（0，π）上隨機(jī)產(chǎn)生，但c的取值可能和時(shí)間序列的傅里葉分解產(chǎn)生頻率共振，為此進(jìn)一步限制c∈（π/ 5，4π/5）且產(chǎn)生100個(gè)該區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，最后選取K（c）的中位數(shù)作為返回值K（c）［13］.

2　Verhulst種群模型混沌識別

Verhulst種群模型迭代式如下：

λ為種群的增長因子，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定理可知，在［0，2］上式有穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)1.對不同的增長因子λ，利用計(jì)算機(jī)生成500個(gè)對應(yīng)的迭代序列，其分岔圖形見圖1.

圖1　Verhulst模型分岔圖Fig.1 The bifurcation diagram of Verhulst model

由分岔圖不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)1.800 0＜λ＜2.550 0時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)形態(tài)呈現(xiàn)周期變化；當(dāng)2.550 0 ＜λ＜3.000 0時(shí)，系統(tǒng)已經(jīng)由周期倍化進(jìn)入到混沌狀態(tài).事實(shí)上，2.570 0＜λ＜2.828 0時(shí)，系統(tǒng)幾乎進(jìn)入了混沌狀態(tài)；2.828 0＜λ＜2.841 0時(shí)，系統(tǒng)周期倍化為3；λ=3.000 0時(shí)，系統(tǒng)完全進(jìn)入混沌狀態(tài)［2］.為了更精確的識別序列的混沌性，分別取λ=2.576 3、2.680 0、2.828 0、2.835 0和2.857 0，對每一組λ和N分別計(jì)算出對應(yīng)的K（c）值，見表1.

表1　不同λ和N下的K（c）值Table 1 K（c）values of differentλand N

由表1可知，當(dāng)λ=2.576 3時(shí)，隨著N的不斷增加，K（c）的值由0.257 8不斷增加到0.700 3，說明系統(tǒng)開始從周期通向混沌狀態(tài)，混沌性較弱；λ=2.680 0和2.828 0時(shí)，在N=500時(shí)，K（c）值已經(jīng)超過0.99，K（c）值靠近1的速度明顯大于前者，說明此時(shí)該系統(tǒng)已完全進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)λ=2.835 0時(shí)，隨著N的增加，K（c）值越來越趨向于0，說明此時(shí)系統(tǒng)完全進(jìn)入有序狀態(tài)（3-周期）；當(dāng)λ=2.857 0時(shí)，K（c）值又逐漸不斷增加并趨近于1，即系統(tǒng)又由周期通向了混沌狀態(tài).

圖2給出N=500，λ=2.576 3（弱混沌），λ =2.680 0（完全混沌）和λ=2.835 0（3-周期）的p-q（c=1.8）軌跡圖，n-Mc（n）曲線圖和c-K（c）散點(diǎn)圖.

圖2　Verhulst序列的0-1測試Fig.2 Verhulst series tested by 0-1 method

由圖2知，λ=2.576 3時(shí)，系統(tǒng)為弱混沌狀態(tài)，p-q軌跡圖出現(xiàn)由有界走向雜亂的現(xiàn)象，n-Mc（n）圖無明顯增長趨勢，c-K（c）圖中K（c）的值穩(wěn)定在0.18附近；λ=2.680 0時(shí)，系統(tǒng)為完全混沌狀態(tài)，p-q圖表現(xiàn)為近似布朗運(yùn)動(dòng)，Mc（n）隨N線性增長，K（c）值趨近于1；λ=2.835 0時(shí)，系統(tǒng)為3周期狀態(tài)，此時(shí)p-q軌跡圖有界穩(wěn)定，圖像類似3個(gè)同心圓，這與系統(tǒng)為3周期相符，K（c）值分布在0附近，Mc（n）值分布散亂.

不同λ和N值下的0-1測試結(jié)果表明：當(dāng)序列為周期序列時(shí)，K（c）值隨著N的增加逐漸向0靠攏，p-q軌跡圖完全有界且穩(wěn)定；當(dāng)序列為弱混沌狀態(tài)時(shí)，隨著N的增加，K（c）值總體趨勢為增加的并不斷向1靠攏，p-q軌跡圖開始出現(xiàn)由有界走向雜亂的現(xiàn)象；當(dāng)序列為完全混沌狀態(tài)時(shí)，N=500時(shí)，K（c）=0.995 1，K（c）值趨近于1的速度明顯大于前者，p-q軌跡圖呈現(xiàn)近似布朗運(yùn)動(dòng)特性，Mc（n）隨N線性增長.

3　含正態(tài)白噪聲的Verhulst序列識別

在實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)往往含有一定程度的噪聲，文獻(xiàn)［12］研究表明0-1測試法也可應(yīng)用于含噪聲的時(shí)間序列的混沌識別，此時(shí)均方位移函數(shù)定義為

α用來控制0-1測試法對弱噪聲和弱混沌的敏感性，選取α=0.1.設(shè)φ（j）是原始Verhulst序列，加入噪聲后生成的時(shí)間序列為Y（j）：

其中，η（j）為含噪水平為5%的正態(tài)白噪聲.分別取N=500，λ=2.576 3、2.680 0和2.835 0，應(yīng)用0-1測試法進(jìn)行混沌測試.

表2給出了含5%的正態(tài)白噪聲的Verhulst序列在不同λ和N下的K（c）值，與表1相比較，K（c）值有微弱變化，但是并不影響序列是否具有混沌的特性，即λ=2.576 3時(shí)，序列依然呈較弱的混沌性；λ=2.680 0時(shí)，序列呈完全混沌；λ= 2.835 0時(shí)，序列仍為3-周期的.

表2　含噪聲的不同λ和N下的K（c）值Table 2 K（c）values of differentλand N for noised data

圖3是添加5%正態(tài)白噪聲后，給出N=500，λ=2.576 3（弱混沌），λ=2.680 0（完全混沌）和λ=2.835 0（3-周期）的p-q（c=1.8）軌跡圖，n-Mc（n）曲線圖和c-K（c）散點(diǎn)圖.當(dāng)λ=2.576 3時(shí)，p-q軌跡圖開始由有界走向雜亂，K（c）值靠近0.18，Mc（n）分布散亂，說明該序列仍表現(xiàn)出弱混沌性；在λ=2.680 0時(shí)，p-q軌跡圖表現(xiàn)為近似布朗運(yùn)動(dòng)，Mc（n）隨n有線性增長趨勢，K（c）值分布在0.995 9附近，說明該序列有強(qiáng)混沌性；λ= 2.835 0時(shí)，p-q軌跡圖仍有界，且Mc（n）隨n無線性增長趨勢，K（c）值趨近于0，說明該序列仍具有較強(qiáng)的周期性.3種序列在添加5%的正態(tài)白噪聲后并不影響序列的混沌性，證明了0-1測試法有一定的抗噪聲能力.

4　結(jié) 論

選取Verhulst種群模型生成的弱混沌、完全混沌、3-周期3種時(shí)間序列為研究對象，對不同的增長因子λ和數(shù)據(jù)長度N進(jìn)行模擬，驗(yàn)證0-1測試方法的有效性和抗噪性.結(jié)果顯示Verhulst序列的0-1測試結(jié)果和其分岔圖相吻合.當(dāng)序列為完全混沌時(shí)，Mc（n）隨N有明顯線性增長趨勢，K（c）值趨近于1，p-q軌跡圖近似布朗運(yùn)動(dòng)；當(dāng)序列為弱混沌時(shí)，K（c）值隨數(shù)據(jù)長度的增加在不斷增大；當(dāng)序列為3-周期時(shí)，K（c）值趨近于0，p-q軌跡圖穩(wěn)定有界，Mc（n）不隨N線性增長，說明0-1測試法能有效識別混沌序列.進(jìn)一步對含5%正態(tài)白噪聲的Verhulst序列的K（c）計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，其值的變化不大，說明0-1測試法具有良好的抗噪性和穩(wěn)定性. 0-1測試法的計(jì)算速度快，時(shí)間成本低，直接作用于時(shí)間序列，克服了基于相空間重構(gòu)混沌測試方法的主觀性和不確定性.但0-1測試法也存在不能區(qū)分弱混沌強(qiáng)度的缺點(diǎn).當(dāng)需要識別混沌強(qiáng)度時(shí)，可以將此方法與傳統(tǒng)方法相結(jié)合，先快速對混沌和非混沌序列進(jìn)行篩選后，再用傳統(tǒng)方法計(jì)算混沌指數(shù)，以減少計(jì)算量.

圖3　含噪聲的Verhulst序列的0-1測試Fig.3 Noised Verhulst series tested by 0-1 method

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【責(zé)任編輯：周 全】

Chaos identification of Verhulst population model series based on the 0-1 test algorithm

XIONG Xu-yuana，WAN Lia，b，LAI Jia-jinga
（a.School of Mathematics and Information Sciences；b.Key Laboratory of Mathematics and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

The 0-1 test method is a new method which the chaos of discrete time series can be determined by the condition that the discrete data transformation variable's linear growth rate K（c）approaches to 1 or 0.Three groups of time series（weak chaos，strong chaos and 3 period-doubling）are generated by classic Verhulst population model as the research object is to simulate different values of growth factorλand data length N，and test the efficiency anti-noise capacity of this method.The result shows that the 0-1 test method can effectively identify the chaos characteristics of the Verhulst series，the K（c）value of weak chaos series increases to 0.700 3 as the data length increased，and the K（c）value is approximate to 1 for strong chaos series and 3 period-doubling series'K（c）is close to 0.After adding white Gaussian noise（noise ratio=5%）to three time series，the corresponding K（c）value does not change greatly.This suggests that the low intensity noise does not affect its intrinsic nonlinear characteristics，and the 0-1 method has a certain resistance to noise.

0-1 test；chaos identification；Verhulst population model；normal white noise

O 415.5

A

1671-4229（2016）03-0024-06

2015-09-08；

2016-01-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41172295）

熊緒沅（1992-），男，碩士研究生.E-mail：xiongxuyuanxxy@sina.com

.E-mail：wanli@gzhu.edu.cn