◇　浙江　成金德

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整合知識(shí)要點(diǎn)研討解題方法
———淺談“運(yùn)動(dòng)的合成與分解”專題復(fù)習(xí)

◇浙江成金德

運(yùn)動(dòng)的合成與分解是曲線運(yùn)動(dòng)中的重點(diǎn)內(nèi)容,典型的曲線運(yùn)動(dòng)(如平拋運(yùn)動(dòng)、斜拋運(yùn)動(dòng)、電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)及在恒力作用下的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)等)都可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)的合成與分解得到有效解決．因此,如何正確理解和熟練把握運(yùn)動(dòng)的合成與分解的相關(guān)知識(shí)至關(guān)重要,本文就運(yùn)動(dòng)的合成與分解的知識(shí)和解題方法總結(jié)為5點(diǎn),供大家參考．

1　1項(xiàng)法則

已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)的過(guò)程叫作運(yùn)動(dòng)的合成．已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)的過(guò)程叫作運(yùn)動(dòng)的分解．運(yùn)動(dòng)的合成與分解既是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,也是一種思維方法．對(duì)于一個(gè)較為復(fù)雜的實(shí)際運(yùn)動(dòng),可以看成是由幾個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)合成的,通過(guò)對(duì)典型分運(yùn)動(dòng)的研究和處理,得到復(fù)雜運(yùn)動(dòng)所需的結(jié)果．幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成,結(jié)果是唯一的;合運(yùn)動(dòng)分解為幾個(gè)分運(yùn)動(dòng),結(jié)果不唯一．在具體分解中,往往按實(shí)際效果分解．

描述運(yùn)動(dòng)的物理量如位移、速度、加速度都是矢量,在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成與分解時(shí),都應(yīng)遵循矢量運(yùn)算法則,即運(yùn)動(dòng)的合成與分解法則.如果分運(yùn)動(dòng)都在同一條直線上,需選取正方向.與正方向相同的物理量取正,相反的物理量取負(fù).矢量運(yùn)算簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，如果分運(yùn)動(dòng)互成角度,運(yùn)動(dòng)合成遵循平行四邊形定則．

在速度的合成中,若存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情形,則應(yīng)利用經(jīng)典的速度合成定理:動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于其牽連速度與相對(duì)速度的矢量和．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式為v絕對(duì)=v牽連+v相對(duì)．其中動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)運(yùn)動(dòng),動(dòng)系相對(duì)于靜系的運(yùn)動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)．

2　2種模型

2.1渡河模型

圖1

如圖1所示,設(shè)河寬為d,水流速度為v水,船相對(duì)于靜水的速度為v船,v水與v船間的夾角為θ，則船可以分解為2個(gè)分運(yùn)動(dòng)：沿水流方向的分運(yùn)動(dòng)，速度為v∥=v水+v船cosθ的勻速直線運(yùn)動(dòng)；垂直河岸方向的分運(yùn)動(dòng)，速度為v⊥=v船sinθ的勻速直線運(yùn)動(dòng)．渡河時(shí)間取決于v船的大小和方向．

1) 渡河時(shí)間最短．當(dāng)v船垂直于河岸時(shí),如圖2所示,渡河時(shí)間最短,渡河時(shí)間為t=d/v船．

2) 渡河位移最?。?dāng)v船>v水時(shí),船垂直渡河(合速度垂直于河岸)時(shí)位移最小,如圖3所示,位移的大小等于河寬d．當(dāng)v船

圖2　　　　　　圖3　　　　　　　圖4

2.2牽連模型

通過(guò)繩子或者通過(guò)輕桿連接的物體系統(tǒng),稱為牽連模型．如圖5為繩子牽連模型,圖6為輕桿牽連模型．

圖5　　　　　　　　　　　圖6

對(duì)于牽連模型,應(yīng)抓住2個(gè)分運(yùn)動(dòng):

繩牽連模型: 1) 沿繩方向的伸長(zhǎng)或收縮運(yùn)動(dòng)，且沿繩方向分速度大小相等；2) 垂直繩方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).

桿牽連模型: 1) 沿桿方向的運(yùn)動(dòng)，且沿桿方向的分速度大小相等； 2) 垂直于桿方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．

3　3條思路

在解決運(yùn)動(dòng)的合成與分解問(wèn)題中,通常有3種解題方法．

3.1分解法

運(yùn)動(dòng)的合成與分解的一個(gè)基本原則就是按實(shí)際效果來(lái)進(jìn)行分解．所以,在分解速度時(shí),先確定物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的方向,這個(gè)方向就是合速度的方向,然后分析這個(gè)合速度所產(chǎn)生的實(shí)際效果,再確定2個(gè)分速度的方向．

分析在小船的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,沿水平方向的實(shí)際運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng),如圖8所示,這個(gè)合運(yùn)動(dòng)可分解為:

圖7　　　　　　　　　圖8

分運(yùn)動(dòng)1:沿著繩子方向的分運(yùn)動(dòng),此分運(yùn)動(dòng)使繩子收縮,其速度大小為v1=v船cosθ;

分運(yùn)動(dòng)2:垂直于繩子方向的分運(yùn)動(dòng),此分運(yùn)動(dòng)使繩子繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng),其速度大小為v2=v船sinθ.

由繩牽連模型的特點(diǎn)可知,沿繩子方向的分速度v1與繩子實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度大小相等,即v1=v船cosθ=v,所以小船運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為v船=v/cosθ．

3.2微元法

“微元法”是指在物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,選取一微小時(shí)間t,在此時(shí)間內(nèi),運(yùn)動(dòng)物體發(fā)生一段微小位移,然后利用數(shù)學(xué)極限思想,對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析的方法．

3.3能量法

能量守恒定律是自然界的一個(gè)普遍規(guī)律．應(yīng)用能量守恒定律解決運(yùn)動(dòng)的合成與分解問(wèn)題有時(shí)會(huì)十分湊效．現(xiàn)用能量守恒定律解答例1.

4　4個(gè)特性

運(yùn)動(dòng)的合成與分解具有4個(gè)特性,在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意靈活應(yīng)用．

4.1獨(dú)立性

一個(gè)物體可以同時(shí)參與幾個(gè)不同的分運(yùn)動(dòng),各個(gè)分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行,互不影響．因此,在研究某個(gè)分運(yùn)動(dòng)時(shí),可以將其他分運(yùn)動(dòng)隔離開來(lái),就好像沒(méi)有這些分運(yùn)動(dòng)一樣,使研究的問(wèn)題得到簡(jiǎn)化．

4.2同時(shí)性

合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)同時(shí)開始、同時(shí)進(jìn)行、同時(shí)結(jié)束．合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行的時(shí)間和相應(yīng)的各個(gè)分運(yùn)動(dòng)進(jìn)行的時(shí)間相等．因此,只要知道某個(gè)分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,就知道了合運(yùn)動(dòng)或其他分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

4.3等效性

合運(yùn)動(dòng)是由各個(gè)分運(yùn)動(dòng)共同產(chǎn)生的總運(yùn)動(dòng)效果,合運(yùn)動(dòng)與各個(gè)分運(yùn)動(dòng)總的運(yùn)動(dòng)效果可以等效替代．

4.4矢量性

加速度、速度、位移都是矢量,在進(jìn)行合成和分解時(shí),遵循平行四邊形定則．

5　5類題型

在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)運(yùn)動(dòng)的合成與分解時(shí),必須掌握以下5類典型問(wèn)題的解題方法和技巧．

5.1渡河類

求解渡河類問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是弄清小船的2個(gè)分運(yùn)動(dòng):沿河岸方向的運(yùn)動(dòng)，此方向的運(yùn)動(dòng)是由小船沿河岸方向的分運(yùn)動(dòng)與水流的運(yùn)動(dòng)的合成,這個(gè)分運(yùn)動(dòng)由小船和水流共同決定;垂直于河岸方向的運(yùn)動(dòng)，此方向的運(yùn)動(dòng)由小船單獨(dú)決定,與水流運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)．

圖10

A2船在靜水中的劃行速率不同;

B甲船渡河路程可能比乙船渡河路程小;

C2船同時(shí)到達(dá)D點(diǎn);

D河水流速為dtanθ/t

5.2牽連類

求解牽連類問(wèn)題時(shí),應(yīng)著重把握2點(diǎn): 1) 沿著繩子(或輕桿)方向的分速度大小相等; 2) 物體的合運(yùn)動(dòng)往往可以分解為沿繩子(或輕桿)方向的分速度和垂直于繩子(或輕桿)方向的分速度．

圖11　　　　　　　　　　　圖12

分析對(duì)物體A,沿水平方向的實(shí)際速度vA即為合速度,vA可分解為沿著繩子方向的分速度vA1和垂直于繩子方向的分速度vA2,如圖12，則vA1=vAcos 30°.

對(duì)物體B,沿水平方向的實(shí)際速度vB即為合速度,vB可分解為沿著繩子方向的分速度vB1和垂直于繩子方向的分速度vB2,如圖12,則vB1=vBcos 60°.

由繩牽連模型的特點(diǎn)可知,沿著繩子方向的分速度大小必相等,即vA1=vB1.

圖13　　　　　　　　　　　圖14

對(duì)小球B,沿水平方向的實(shí)際速度vB即為合速度,vB可以分解為沿著輕桿方向的分速度vB1和垂直于輕桿方向的分速度vB2,如圖14,則vB1=vBsin 60°.

5.3光點(diǎn)(或影子)移動(dòng)類

求解光點(diǎn)(或影子)移動(dòng)類問(wèn)題時(shí),應(yīng)把握光點(diǎn)(或影子)移動(dòng)的速度,此即為合速度,它可以分解為沿著光線方向的分速度和垂直于光線方向的分速度．

圖15　　　　　　　　　　圖16

5.4有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度合成類

在速度合成和分解中,若出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),應(yīng)選擇經(jīng)典速度合成定理求解．求解時(shí)務(wù)必弄清3個(gè)速度:絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度．再通過(guò)速度矢量的幾何關(guān)系建立方程．

分析本題的動(dòng)點(diǎn)是風(fēng),動(dòng)系是人,靜系是地．絕對(duì)速度指風(fēng)對(duì)地的速度v風(fēng)對(duì)地,牽連速度指人對(duì)地的速度v人對(duì)地,相對(duì)速度指風(fēng)對(duì)人的速度v風(fēng)對(duì)人．

當(dāng)自行車向正東以v人對(duì)地=5 km·h-1的速度行駛時(shí),人感覺風(fēng)從正北方向吹來(lái),根據(jù)經(jīng)典速度合成定理,有v風(fēng)對(duì)地=v人對(duì)地+v風(fēng)對(duì)人,如圖17所示．

圖17　　　　　　　　　圖18

由圖17可知

5.5恒力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)類

在研究一些復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí),一般先分解為2個(gè)簡(jiǎn)單的分運(yùn)動(dòng),通過(guò)研究這2個(gè)簡(jiǎn)單的分運(yùn)動(dòng),再利用運(yùn)動(dòng)合成的方法,得到合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．這種方法尤其適用于對(duì)恒力作用下的物體的運(yùn)動(dòng)情況．

分析小球的運(yùn)動(dòng)可分為3個(gè)過(guò)程:第1過(guò)程小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng);第2過(guò)程小球做“類平拋運(yùn)動(dòng)”;第3過(guò)程小球做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．

在第1過(guò)程中,小球受電場(chǎng)力作用,根據(jù)牛頓第二定律得小球的加速度為a=QE/m=0.20 m·s-2．

經(jīng)過(guò)1 s小球沿x軸方向的速度大小vx=at=0.20 m·s-1,速度的方向沿x軸正方向．

經(jīng)過(guò)1 s小球沿x軸方向運(yùn)動(dòng)的位移

x1=at2m/2=0.10 m.

在第2過(guò)程中,電場(chǎng)方向沿y軸正方向,小球做類平拋運(yùn)動(dòng)．可分解為沿x軸方向、速度為vx的勻速運(yùn)動(dòng)和沿y軸方向、初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)．

在第2秒內(nèi),小球沿x方向運(yùn)動(dòng)的位移

x2=vxt=0.20 m.

在第2秒內(nèi),小球沿y方向運(yùn)動(dòng)的位移

y2=at2/2=0.10 m.

在第2秒末,小球在x方向的分速度仍為vx,在y方向的分速度vy=at=0.20 m·s-1.

由此可知,此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)方向與x軸成45°角．要使小球速度變?yōu)?,則在第3秒內(nèi)所加勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向必須與此運(yùn)動(dòng)方向相反,即指向第三象限,與x軸成135°角．

在第3過(guò)程中,設(shè)小球在電場(chǎng)作用下,小球加速度的x分量和y分量分別為ax、ay,由速度公式得

在第3秒內(nèi)小球在x方向運(yùn)動(dòng)的位移

在第3秒內(nèi)小球在y方向運(yùn)動(dòng)的位移

所以小球在第3秒末到達(dá)的位置坐標(biāo)(x,y)為

x=x1+x2+x3=0.40 m,y=y2+y3=0.20 m.

總之,在求解運(yùn)動(dòng)的合成與分解問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是弄清哪個(gè)是合運(yùn)動(dòng),這個(gè)合運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生哪幾個(gè)效果,可以分解為哪幾個(gè)分運(yùn)動(dòng),再作出速度分解示意圖,根據(jù)幾何關(guān)系求出結(jié)果．

浙江省義烏市第二中學(xué))