蔣華晨，梁海燕2，曾德堂3，言金4

（1.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院運籌與控制研究所，浙江杭州310027；2.浙江大學(xué)智能系統(tǒng)與控制研究所工業(yè)控制技術(shù)國家重點實驗室，浙江杭州310027；3.中國科學(xué)院工程熱物理研究所，北京100190；4.中航工業(yè)航宇救生裝備有限公司，湖北襄陽441003）

翼傘系統(tǒng)威脅規(guī)避最優(yōu)歸航軌跡設(shè)計

蔣華晨1，梁海燕2，曾德堂3，言金4

（1.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院運籌與控制研究所，浙江杭州310027；2.浙江大學(xué)智能系統(tǒng)與控制研究所工業(yè)控制技術(shù)國家重點實驗室，浙江杭州310027；3.中國科學(xué)院工程熱物理研究所，北京100190；4.中航工業(yè)航宇救生裝備有限公司，湖北襄陽441003）

本文針對三自由度翼傘系統(tǒng)威脅規(guī)避歸航軌跡優(yōu)化問題進行了研究，采用了控制變量參數(shù)化和精確罰函數(shù)優(yōu)化算法對翼傘系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題進行了數(shù)值求解。該方法將控制量轉(zhuǎn)化為參數(shù)，將路徑約束與控制約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題進行求解。與粒子群算法（PSO）的計算結(jié)果進行了比較，仿真結(jié)果表明：本文設(shè)計的控制方法效果良好，所需控制能耗低，距離偏差與方向偏差均滿足實際需求，有效地提高了翼傘系統(tǒng)的著陸精度與生存能力，驗證了該優(yōu)化算法的可行性與高效性。

翼傘；軌跡優(yōu)化；威脅模型；等效障礙；參數(shù)優(yōu)化；精確罰函數(shù)法

可控翼傘在空投領(lǐng)域中是一個非常誘人的先進設(shè)備，是一種具有可控性和滑翔性的降落傘，能夠在空中轉(zhuǎn)彎，相較于傳統(tǒng)空投技術(shù)在準(zhǔn)確性和安全性方面有一定改進。精確空投和“定點無損”著陸這兩個目標(biāo)的實現(xiàn)，在各個領(lǐng)域有著廣泛的需求和應(yīng)用［1］?？战底鲬?zhàn)被視為重要的軍力優(yōu)勢，精確空投能更準(zhǔn)確、更安全的將人員、物資投送到戰(zhàn)場，并且可以使價格高昂的運輸機遠離敵方火力的威脅；在發(fā)生自然災(zāi)害時，如山體滑坡、地震等，利用精確空投系統(tǒng)能夠在第一時間將救援物資投送到受災(zāi)地區(qū)［2］；在宇航探索中，利用翼傘系統(tǒng)能夠?qū)教祜w機、火箭以及人造衛(wèi)星等進行回收，不僅有效減少了宇宙垃圾，還可以對各類資源（實驗數(shù)據(jù)、操作系統(tǒng)等）回收再利用，能夠節(jié)約大量人力、物力和財力［3］。

在過去60年中，翼傘系統(tǒng)有了長足的進步［4］，翼傘系統(tǒng)歸航軌跡方面的研究可粗略分為:徑向、錐形歸航之類的簡單歸航方法，最優(yōu)控制歸航法［5］，分段歸航法［6-7］。1998年，Betts總結(jié)了多種軌跡優(yōu)化問題數(shù)值方法［8］；2002年，Ross等介紹了很多種方法在軌跡優(yōu)化問題中的應(yīng)用前景［9］。求解最優(yōu)控制軌跡的數(shù)值算法有很多，如文獻［10-12］；對于地形追蹤/規(guī)避方面:1988年，Asseo利用最速下降法求解飛行器地形跟蹤與規(guī)避的軌跡優(yōu)化問題［13］；2007年，Sharma等介紹了一種軍用飛行器地形跟蹤與規(guī)避的最優(yōu)控制方法［14］；2007年，Williams拓展了飛行器貼地軌跡的即時最優(yōu)控制策略［15］；2011年，Iman等利用直接轉(zhuǎn)錄方法（direct transcription method）模擬求解F-16戰(zhàn)斗機的貼地軌跡最優(yōu)控制問題［16］；2012年，F(xiàn)an等給出了多種影響范圍不同的威脅規(guī)避的最優(yōu)控制方法［17］。針對翼傘系統(tǒng)最優(yōu)控制歸航問題，2005年，熊菁提取了翼傘多種自由度模型的質(zhì)點模型，利用共軛梯度法進行了求解［18］；2011年，焦亮等提出基于混沌粒子群優(yōu)化算法的翼傘系統(tǒng)軌跡規(guī)劃智能算法［19-20］；2013年，高海濤等利用基于 Gauss偽譜法的歸航軌跡容錯設(shè)計方法求解不同工作狀態(tài)下軌跡規(guī)劃的最優(yōu)控制問題［21］；2014年，白瑞光等將偽譜法應(yīng)用于多個無人機的協(xié)同軌跡規(guī)劃［22］。然而，對于無動力源的翼傘系統(tǒng)的威脅規(guī)避問題至今還沒有深入的研究。

本文從實現(xiàn)精確投遞，“定點無損”著陸，規(guī)避山峰地形，躲避防空火力打擊的需求條件出發(fā)，采用了一種新型的優(yōu)化算法對翼傘系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題進行求解，對控制量進行優(yōu)化。并且與粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）進行了比照。仿真結(jié)果表明，在需求約束條件下，該方法控制效果良好，計算速度快，為進一步發(fā)展翼傘精確空投以及回收系統(tǒng)提供了可行的理論和技術(shù)解決方案。

1　數(shù)學(xué)模型的建立

1.1翼傘系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

翼傘系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。翼傘的物理模型涉及到其自身的動力學(xué)方程、姿態(tài)，以及空氣阻力、升力等多個因素，是一個高度復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。由于翼傘的動力學(xué)特性不是本文的研究重點，為了簡化問題的規(guī)模，這里把翼傘看作質(zhì)點，翼傘無動力源，僅能夠通過微型電機改變傘面到負載的操縱繩長度，采用基于三自由度的翼傘系統(tǒng)模型［18］。三自由度質(zhì)點模型基于如下假設(shè)［23］:

1）翼傘展面對稱，在歸航操縱控制中具有固定的形狀；

2）負載物與翼傘剛性連接，構(gòu)成一個整體；

3）穩(wěn)定下降階段，將翼傘系統(tǒng)整體看做一個質(zhì)點。翼傘系統(tǒng)在重力和氣動力共同作用下達到了平衡狀態(tài)，此時翼傘系統(tǒng)的垂直下落速度vz和水平飛行速度vs均保持不變；

4）翼傘系統(tǒng)對控制的輸入響應(yīng)沒有延遲；

5）將大地作為平面，且水平風(fēng)場己知（可以是固定風(fēng)，也可以是變化的風(fēng)）。

圖1　翼傘系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of parafoil system

分析翼傘系統(tǒng)整體工作過程可以發(fā)現(xiàn)，其中的主要動作分為:拉直、充氣、轉(zhuǎn)換吊掛、歸航和著陸。雀降操縱發(fā)生的高度可以通過翼傘系統(tǒng)確定，不包含于翼傘歸航軌跡的設(shè)計中。那么，現(xiàn)在需要研究的過程是從翼傘完全展開后系統(tǒng)的初步穩(wěn)定點直到雀降操縱發(fā)生實施點。這里取大地坐標(biāo)系，以水平風(fēng)向為為X軸方向，Z軸垂直于地面向上，Y軸由右手系來確定，如圖2所示，則翼傘系統(tǒng)運動方程可以簡化為

式中:x、y、z為翼傘在大地坐標(biāo)系中坐標(biāo)，vs為翼傘的水平飛行速度，vz為翼傘的垂直下降速度；vwind為水平方向風(fēng)速，ψ為翼傘的轉(zhuǎn)彎角度，u為控制量（通過微型電機改變傘面到負載的操縱繩長度，非動力項）。各個狀態(tài)量的初始條件為

圖2　大地坐標(biāo)系Fig.2 Geodetic coordinate system

1.2威脅建模

翼傘的歸航環(huán)境可以大致分為:地形環(huán)境，即空投范圍內(nèi)的地形、地貌等；敵情環(huán)境，即空投范圍內(nèi)敵方對運輸機以及整個空投系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)與破壞能力；氣象環(huán)境，即在翼傘歸航過程中空投范圍內(nèi)的大氣氣壓、風(fēng)場特性、天氣狀況等因素；電磁環(huán)境，即翼傘系統(tǒng)在歸航過程中對于信號的接收環(huán)境。本文中研究的威脅因素主要是指地形環(huán)境和敵情環(huán)境。

1.2.1地形威脅建模

翼傘系統(tǒng)在歸航過程中，大致會遇到兩種地形:一類是相對平緩的區(qū)域，對翼傘系統(tǒng)影響較小；另一類是獨立山峰，對翼傘系統(tǒng)威脅較大，翼傘在歸航過程中需要盡可能回避此種地形。本文著重研究威脅較大的獨立山峰地形，地形的威脅建模如下

式中:T0（x，y）為基準(zhǔn)地形高度，Ti為第i個山峰的相對高度，（x0i，y0i）是第i個山峰的坐標(biāo)，（xsi，ysi）為第i個山峰沿著x軸和y軸方向與坡度有關(guān)的量。本文使用的獨立山峰如圖3所示，這里山峰的最高海拔為3 000 m，中心地面坐標(biāo)（2 000，1 500）。

圖3　山峰三維地形圖Fig.3 Three-dimensional topographic map for mountain peak

1.2.2敵情威脅建模

翼傘系統(tǒng)需要面對的敵情威脅主要來源于防空火力打擊，中低空小口徑、高發(fā)射率高射炮具有很大威脅。此類高射炮對翼傘系統(tǒng)的破壞率表示為

式中:Pf表示翼傘系統(tǒng)被破壞的概率，Pl表示敵方高射炮正常工作的概率，R表示敵方高射炮有效半徑，N表示高射炮的數(shù)量，δ表示高射炮的射擊偏差，M表示單一高射炮發(fā)射彈藥數(shù)量。本文仿真中直接把敵情威脅等效成一個具有一定作用半徑和威脅概率的虛擬獨立山峰威脅。

2　翼傘系統(tǒng)威脅規(guī)避最優(yōu)控制問題

翼傘系統(tǒng)在歸航過程中，需要滿足以下條件:

1）翼傘的著陸位置要盡可能接近目標(biāo)投放點；

2）翼傘迎風(fēng)著陸，從而減小著陸時的水平速度，避免著陸對負載造成損傷；

3）由于電機能夠提供的能量有限，對翼傘操縱繩的耗能需要盡可能?。?/p>

4）翼傘歸航路徑不能與障礙物相接觸，也不能進入敵方火力打擊范圍。

因此，翼傘系統(tǒng)歸航軌跡的最優(yōu)控制問題可以描述為:設(shè)計最優(yōu)控制量u使得下式的目標(biāo)函數(shù)達到最小值:

控制量u同時需滿足動態(tài)方程（1）、初始條件（2），以及如下的約束條件:

1）終端約束:終端時間tf=z0/vz，為使終端到達目標(biāo)點，需滿足:

式中:（xf，yf）為目標(biāo)著陸點坐標(biāo)。

2）根據(jù)逆風(fēng)著陸的要求，終端時翼傘轉(zhuǎn)彎的角度需滿足::

3）控制約束:

其中，允許的最大控制量umax對應(yīng)最小轉(zhuǎn)彎半徑。

4）路徑約束:

式中:z（t）=z0-vzt，h（x，y）為（x，y）坐標(biāo)處的等效威脅的高度。

由于具有終端狀態(tài)約束和路徑約束，為了方便計算求解，可采用精確罰函數(shù)的方法［24-25］將有約束的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為無約束的最優(yōu)控制問題。

對于一般不等式類型的約束條件:

可以等價表示為如下約束條件:

采用如下近似函數(shù)積分來代替上面的約束條件:

圖4　函數(shù)φ（η）的逼近效果圖Fig.4 Approximation effect for function φ（η）

將終端約束條件式（4）、（5）通過添加權(quán)值的方式加到目標(biāo)函數(shù)式（3）中。增加兩個新的狀態(tài)變量y4和y5，對應(yīng)地分別將控制約束條件式（6）和路徑約束條件式（7）添加到目標(biāo)函數(shù)式（3）中。改造后的翼傘系統(tǒng)軌跡優(yōu)化的最優(yōu)控制問題可描述為

問題1:設(shè)計方程:

的最優(yōu)控制量u使得如下目標(biāo)函數(shù)達到最小值:

其中:y1f=xf，y2f=yf，q1、q2、q3、q4均為大于 0的權(quán)值，T為預(yù)計著陸時間，整個系統(tǒng)需同時滿足動態(tài)方程式（8）、初始條件式（2）和控制約束式（6）。

3　最優(yōu)控制問題求解

3.1控制變量參數(shù)化

這里

可以將問題1變換為如下標(biāo)準(zhǔn)形式:

其中

圖5　分段常值控制Fig.5 Piecewise constant control

其中，tk是在時間區(qū)間T上順次的時間切換點，且滿足:

定義

控制變量u的值在每個時間段上用一個常數(shù)來近似:

那么控制函數(shù)在整個時間段上可以用如下分片常值形式表示出來:

χ［tk-1，tk）為如下特征函數(shù):

將離散后的控制量（12）代入式（11），可以得到新的目標(biāo)函數(shù):

通過控制變量參數(shù)化后，問題2變成了一個標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)優(yōu)化選擇問題，實際上，這類問題可以采用序列二次最優(yōu)化方法（sequential quadratic programming，SQP）進行求解。為了實現(xiàn)SQP方法，需要利用到目標(biāo)函數(shù)（13）關(guān)于控制量參數(shù)的梯度信息。

3.2梯度公式

目標(biāo)函數(shù)（13）對控制量σk的梯度為

推導(dǎo):由式（11）可得，狀態(tài)變量x（t|σ）的解的形式為

式中:l表示所等分的時間區(qū)間的個數(shù)。

對于l=1，2，…，p，當(dāng)k＜l時，狀態(tài)變量x（t|σ）對控制變量σk的偏導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)k=l時，狀態(tài)變量x（t|σ）對控制變量σk的偏導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)k＞l時，顯然有

綜合式（14）～（16）得

式（17）對時間t進行求偏導(dǎo)得

由此可以得到

3.3問題算法步驟

1）在可行域中，任意選取初始控制參數(shù)σ0∈Up；

2）令m=0；

3）利用梯度公式計算目標(biāo)函數(shù)對于控制參數(shù)在σm處的梯度；

4）最優(yōu)性檢驗，若最優(yōu)，則迭代結(jié)束；若不是最優(yōu)，到步驟5；

5）利用擬牛頓法（不需要二階梯度信息）計算σm處的搜索方向；

6）應(yīng)用線搜索確定最優(yōu)步長；

7）得到新的控制參數(shù)σm+1；

8）令m=m+1，回到步驟3。

4　仿真結(jié)果及分析

系統(tǒng)初始值選取原則:

1）必須使得威脅模型對翼傘歸航軌跡有制約作用，即選取翼傘投放坐標(biāo)與目標(biāo)著陸點坐標(biāo)之間存在威脅；

2）問題有解，若投放坐標(biāo)相距威脅太近，翼傘系統(tǒng)將無法規(guī)避威脅。

根據(jù)上述模型以及初始值選取的兩個原則，在保證轉(zhuǎn)彎時系統(tǒng)傾斜角小于20°的前提下，設(shè)翼傘系統(tǒng)基本運動參數(shù)為vs=18 m/s，vz=6 m/s，umax= vs/Rmin=0.18（R為轉(zhuǎn)彎半徑）。初始高度為 z0= 3 000 m，則對應(yīng)的 ηmax=90，目標(biāo)著陸地點（500，1 000，0）在威脅的后方。根據(jù)這些參數(shù)，利用控制變量參數(shù)化的方法，做如下仿真實驗。

由于對威脅的規(guī)避是必須滿足的，那么威脅項的權(quán)重系數(shù)應(yīng)該占有很高的值，首先取權(quán)值為q1= 100，q2=1，q3=1，q4=5 000，這里弱化了雀降要求和控制能量要求，得到仿真結(jié)果如圖6（a），從結(jié)果可以看出，著陸點離目標(biāo)地點的差距并不理想；然后將雀降權(quán)重增加，改權(quán)值為q1=100，q2=100，q3= 1，q4=5 000，得到仿真結(jié)果如圖6（b），結(jié)果著陸點離目標(biāo)地點也有一定的差距，同時與前一仿真結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn)雀降要求對于最終著陸點的影響并不是很大；為了讓著陸點更精確，增加q1的值，取各項權(quán)值為q1=500，q2=100，q3=1，q4=5 000，得到最終仿真結(jié)果如圖6（c），從結(jié)果可以看出，翼傘幾乎精確到達了目標(biāo)地點，并且完美地避開了威脅區(qū)域；最后考慮控制能量部分，增加權(quán)值q3的值，取各項權(quán)值為q1=500，q2=100，q3=10，q4=5 000，得到最終仿真結(jié)果如圖6（d），從結(jié)果可以看到，犧牲了微小的著陸精度降低了控制的能量，可以在滿足著陸精度的要求同時減小控制變化量。

圖6　不同權(quán)值下的翼傘最優(yōu)軌跡Fig.6 Parafoil optimal trajectory for different weight

作為方法對照，本文將優(yōu)化問題1利用標(biāo)準(zhǔn)粒子群（PSO）算法進行優(yōu)化求解。同樣的，將控制變量u進行分段常值近似處理，取分段數(shù)為10，即在粒子群算法中粒子的維數(shù)為10，目標(biāo)函數(shù)中權(quán)值取第四組參數(shù)q1=500，q2=100，q3=10，q4=5 000，初始點為（3 000，3 000，-60°，0，0），設(shè)粒子數(shù)為20，慣性因子w=0.7，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，最大迭代步數(shù)為1 000。將優(yōu)化結(jié)果與上述精確罰函數(shù)優(yōu)化算法進行結(jié)果比較，如表1所示。

表1　PSO算法與精確罰函數(shù)優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果比較Table 1 Comparison between PSO algorithm and exact penalty function method

對比表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，相較于粒子群算法，精確罰函數(shù)優(yōu)化算法有更好的優(yōu)化效果，并且計算耗時更短。如果使用粒子群算法想要達到更好的優(yōu)化效果，則需增加粒子數(shù)量，但隨之產(chǎn)生的結(jié)果是計算耗時會更長。因此，精確罰函數(shù)優(yōu)化算法在計算翼傘系統(tǒng)避障最優(yōu)歸航軌跡這一問題上具有一定的優(yōu)勢。

5　結(jié)論

1）考慮到翼傘系統(tǒng)在歸航過程中會遇到一系列的威脅，建立了帶威脅的三自由度翼傘系統(tǒng)歸航控制數(shù)學(xué)模型。

2）利用控制參數(shù)化方法將翼傘系統(tǒng)歸航威脅規(guī)避最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為帶約束條件的軌跡規(guī)劃問題，采用精確罰函數(shù)方法將具有路徑約束與控制約束軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，然后求解出問題的梯度信息并利用SQP算法求解。

3）利用仿真實驗驗證了本文算法的可行性:在建立的三自由度翼傘模型上，控制效果好，所需控制能耗低，距離偏差與方向偏差均滿足翼傘投遞精度要求。對于工程實踐具有很高的參考價值。

4）與常用智能算法PSO計算結(jié)果相比較，本文算法在高效性與可靠性方面具有一定優(yōu)勢。

今后的工作可進一步完善仿真模型（例如使用翼傘六自由度模型、九自由度模型等），提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，同時也可以考慮實際復(fù)雜地貌的建模分析（例如使用實際衛(wèi)星拍攝的地貌參數(shù)），并利用激光探測定位系統(tǒng)（light detection and ranging，LIDAR）進行實時風(fēng)向測量并對空投范圍內(nèi)氣流做出預(yù)測，為翼傘系統(tǒng)提供更精確的環(huán)境數(shù)據(jù)。還可以將翼傘系統(tǒng)與旋翼機［27］相結(jié)合，利用翼傘精準(zhǔn)歸航的功能，增強無人機試驗的安全性。

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本文引用格式：

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Design of the optimal homing trajectory of a parafoil system considering threat avoidance

JIANG Huachen1，LIANG Haiyan2，ZENG Detang3，YAN Jin4
（1.Institute of Operations Research and Control，School of Mathematical Sciences，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China；2. State Key Laboratory of Industrial Control Technology，Institute of Cyber-Systems and Control，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China；3.Institute of Engineering Thermophysics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China；4.AVIC Aerospace Lifesaving Equipment Co.Ltd，Xiangyang 441003，China）

In this paper，we discuss the optimization on the homing trajectory of a three-degree-of-freedom parafoil system，considering threat avoidance.We use the control parameterization and exact penalty function methods to obtain a numerical solution to the optimal control problem of a parafoil system.This method can convert control decision variables into parameters，and the path and control restriction problem into a non-restriction problem.We then compared the control algorithm with particle swarm optimization（PSO）.The simulation results show that the performance of the control algorithm is good，the control energy consumption is low，and the deviations of distance and direction satisfy requirements.In addition，this method can effectively improve landing precision and the terrain-avoiding ability of the parafoil system.Thus，the feasibility and effectiveness of the proposed optimization algorithm is verified.

parafoil；trajectory optimization；threat model；equivalent barrier；parameter optimization；exact penalty function method

10.11990/jheu.201503085

TP273

A

1006-7043（2016）07-955-08

2015-03-27.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-05-13.

國家自然科學(xué)基金重點項目（11231007）；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃項目（2012AA041701）.

蔣華晨（1986-），男，博士研究生；言金（1985-），男，高級工程師.

蔣華晨，E-mail:noel11@126.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160513.1344.008.html