張磊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州　521041）

基于認(rèn)知過(guò)程分析的數(shù)學(xué)選擇題編制探究

張磊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州521041）

通過(guò)案例研究提出了一個(gè)側(cè)重于描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式：解讀→表征→構(gòu)建→實(shí)施.為提升數(shù)學(xué)教師的測(cè)試題編制能力，將該思維模式應(yīng)用于數(shù)學(xué)選擇題中干擾項(xiàng)的編制上，借此數(shù)學(xué)教師可揭示出學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中每個(gè)認(rèn)知階段的根本性錯(cuò)誤.另外，該思維模式可為數(shù)學(xué)選擇題這個(gè)范疇的測(cè)試題編制提供統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，以此保證數(shù)學(xué)教師編制的數(shù)學(xué)選擇題在測(cè)試時(shí)能得到一致的反饋結(jié)果.

問(wèn)題解決；認(rèn)知；思維模式；數(shù)學(xué)選擇題；干擾項(xiàng)

1　問(wèn)題的提出

編制數(shù)學(xué)測(cè)試題是數(shù)學(xué)教師鉆研教材、熟悉學(xué)生的途徑之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)工作重要的組成部分.學(xué)生解答一道高質(zhì)量數(shù)學(xué)測(cè)試題，能了解自己的學(xué)習(xí)效果，數(shù)學(xué)教師通過(guò)過(guò)程性診斷可以更好地把握學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中所展現(xiàn)出來(lái)的潛質(zhì)或缺陷，為數(shù)學(xué)教師提供反思教學(xué)的依據(jù).然而，目前中小學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試題的編制存在著一些不容忽視的問(wèn)題，如有些數(shù)學(xué)教師圖省力，對(duì)現(xiàn)成試卷“既不研究，又未修改”拿來(lái)就用；有些數(shù)學(xué)教師所編制的測(cè)試題“背景”不切實(shí)際，忽視思想性；有些數(shù)學(xué)教師所編制的測(cè)試題超標(biāo)挫傷學(xué)生積極性等等.上述種種現(xiàn)象致使測(cè)試的負(fù)面效應(yīng)加大，加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，影響了教學(xué)質(zhì)量的提高.基于上述背景，本文試圖就數(shù)學(xué)測(cè)試題中選擇題的編制作一粗淺探討，希望借此能幫助數(shù)學(xué)教師提升自身的數(shù)學(xué)測(cè)試題編制能力，進(jìn)而使得所編制的試題更準(zhǔn)確、更科學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)真正起到正確評(píng)估和導(dǎo)向作用.

張奠宙教授在《數(shù)學(xué)教育概論》中談及數(shù)學(xué)選擇題編制時(shí)表示，數(shù)學(xué)選擇題的編制應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注干擾項(xiàng)的高效設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)效率關(guān)乎著數(shù)學(xué)選擇題的編制質(zhì)量.［1］那么，如何能保證自己編制的干擾項(xiàng)的高效性呢？很顯然，學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)連續(xù)的認(rèn)知過(guò)程，如果數(shù)學(xué)教師能夠把握住學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式，進(jìn)而把干擾項(xiàng)連續(xù)地設(shè)置在學(xué)生所經(jīng)歷的認(rèn)知階段上，通過(guò)縝密的分析，數(shù)學(xué)教師就能夠精確地根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤類型推斷出學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的階段性認(rèn)知障礙，提出學(xué)習(xí)和教學(xué)的改進(jìn)建議.為此必須先理清學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式.

2　一個(gè)側(cè)重于描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式

長(zhǎng)期以來(lái)，許多數(shù)學(xué)教育家、心理學(xué)家以及哲學(xué)家，通過(guò)剖析問(wèn)題解決這一復(fù)雜的思維過(guò)程，提出了若干模式.例如，在國(guó)外，杜威（Dewey）在《我們?cè)鯓铀季S》一書(shū)中將問(wèn)題解決的思維過(guò)程分成5個(gè)階段：?jiǎn)栴}的感覺(jué)→問(wèn)題的界定→問(wèn)題解決的假設(shè)→對(duì)問(wèn)題及其解決方法的邏輯推理→用行動(dòng)檢驗(yàn)這些假設(shè)；［2］英國(guó)心理學(xué)家華萊士（Wallace）在《思想的藝術(shù)》一書(shū)中提出問(wèn)題解決4階段模式：準(zhǔn)備階段→醞釀階段→明朗階段→驗(yàn)證階段；［3］美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家波利亞（Polya）在《怎樣解題》一書(shū)中將解題的思維過(guò)程分為如下4個(gè)步驟：理解問(wèn)題→擬訂方案→執(zhí)行方案→回顧；［4］美國(guó)心理學(xué)家紐威爾和西蒙（Newell&Simon）提出通用問(wèn)題解決模型：?jiǎn)栴}解決經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→分析問(wèn)題→提出假設(shè)→驗(yàn)證假設(shè)；［5］等等.在國(guó)內(nèi)，當(dāng)代學(xué)者蔡燊安和李祝華提出問(wèn)題解決四階段模式：定向→逼近→成型→引深；［6］吳鴻業(yè)等提出問(wèn)題解決思維模式假設(shè)流程圖；［7］等等.這些思維模式主要注重應(yīng)用的“一般性”，很少具體化到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知過(guò)程中，而且側(cè)重點(diǎn)在科學(xué)理論研究，而不是直接具體落實(shí)到學(xué)生的實(shí)際解題中，或者說(shuō)它們各個(gè)階段的重點(diǎn)是描述教師如何引導(dǎo)學(xué)生去解決問(wèn)題，主要側(cè)重于為教師教學(xué)服務(wù)，而不是重在為學(xué)生的解題服務(wù).顯然，這與筆者所要尋找的側(cè)重于描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式不同.為此，筆者參考美國(guó)學(xué)者Silver等人的研究報(bào)告開(kāi)展如下的案例研究：［8］

案例收集：首先，在本市城南小學(xué)等學(xué)校選取120名3年級(jí)到6年級(jí)學(xué)習(xí)態(tài)度積極且學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，給予充足的時(shí)間，讓他們基于自身的思考設(shè)計(jì)出一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)注明問(wèn)題的解決方案.然后，收集學(xué)生資料并進(jìn)行類型梳理，其中重點(diǎn)梳理出具有如下特征的4類案例：①數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)不完整，同時(shí)，給出的解題方案不正確；②數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)完整，同時(shí)，給出的解題方案正確；③數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)完整，但是，給出的解題方案低于或超過(guò)自己的年紀(jì)水平；④數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)完整，但是，在解題方案中使用了不恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.

案例分析：針對(duì)梳理出的四類案例，筆者借助反思、訪談等形式重點(diǎn)探究學(xué)生的設(shè)計(jì)和解題思路，盡量總結(jié)他們解題背后所蘊(yùn)含的一般規(guī)則.在整個(gè)案例分析過(guò)程中，最重要的方法是反思，通過(guò)反思，可以突顯學(xué)生解題中的一些認(rèn)知過(guò)程，幫助筆者更好地解釋學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).下面，筆者從四類案例中列舉出四個(gè)典型案例，通過(guò)它們揭示解題過(guò)程中某一認(rèn)知階段的重要性.

典型案例1：劉敏（5年級(jí)）

案例分析：顯然，劉敏設(shè)計(jì)的問(wèn)題題意不完整，主要表現(xiàn)在問(wèn)題中已知量和未知量的關(guān)系不能明確表示.于是，在解題過(guò)程中，她用自己的方式來(lái)解讀這道題，添加了一些問(wèn)題中并沒(méi)有給出的條件，如“7隊(duì)與8隊(duì)參加第一輪的對(duì)決比賽，獲勝的球隊(duì)取得進(jìn)入決賽的資格”等等.因此，雖然劉敏給出的解題過(guò)程是正確的，但它只是完整解決方案的一部分，也即是只分析了一種可能發(fā)生的情況.從另一角度來(lái)分析，說(shuō)明劉敏對(duì)該問(wèn)題的題意解讀失敗.

典型案例2：陳潔（6年級(jí)）

案例分析：很顯然，陳潔給出的問(wèn)題設(shè)計(jì)和問(wèn)題解決都是正確的.在隨后的訪談中，筆者提出兩個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題一：“兩個(gè)水池真的會(huì)在某一時(shí)刻保持相同水量嗎？”陳潔通過(guò)手勢(shì)來(lái)描述，從而形象地表明了水位在A水池（下降）和B水池（上升）的變化，因此，她認(rèn)為所設(shè)計(jì)的問(wèn)題是有解決方案的；問(wèn)題二：“該問(wèn)題設(shè)計(jì)為什么花費(fèi)那么長(zhǎng)時(shí)間？”陳潔解釋說(shuō)她得慎重選擇數(shù)字（如問(wèn)題中的10 L/min、15 L/min），以確保這兩個(gè)水池的水位變化是有增有減.通過(guò)陳潔對(duì)問(wèn)題的回答說(shuō)明她構(gòu)思和解讀問(wèn)題時(shí)，會(huì)把相關(guān)數(shù)據(jù)與問(wèn)題所描述的現(xiàn)象聯(lián)系在一起，從心理學(xué)角度說(shuō)明她已建立了與問(wèn)題相關(guān)的心智模式.

典型案例3：周偉（3年級(jí)）

案例分析：顯然，周偉知道所設(shè)計(jì)問(wèn)題中的年齡是逐年變化的，也即成功建立了與問(wèn)題相關(guān)的心智模式，但他不能構(gòu)思出一個(gè)方程（數(shù)學(xué)模型）來(lái)解決該問(wèn)題，也即沒(méi)有構(gòu)建起和心智模式對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這也是為什么他只能通過(guò)一步步試驗(yàn)來(lái)解決這道題.

典型案例4：黃悅（6年級(jí)）

案例分析：顯然，年齡之間的差距是保持不變的！然而，從解題過(guò)程可以看出，黃悅并沒(méi)有意識(shí)到這個(gè)事實(shí).通過(guò)訪談筆者獲知，他在設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，已經(jīng)預(yù)想好了用“問(wèn)題解決”中的方程式來(lái)解題，換句話說(shuō)，他是想用“問(wèn)題解決”中的方程式來(lái)設(shè)計(jì)一道題.所以這妨礙了他對(duì)所設(shè)計(jì)問(wèn)題的再認(rèn)識(shí)，使他無(wú)法獲得最優(yōu)（最直接）的解決方案.

基于上述案例分析，筆者歸納出學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中經(jīng)歷的四個(gè)認(rèn)知階段：

解讀：找出問(wèn)題（文字表述）所告知的信息并理解.一般情況下，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題中包含的信息有：背景（問(wèn)題的發(fā)生或問(wèn)題情景的描述）、數(shù)據(jù)（已知量和未知量）、運(yùn)算形式（題意中蘊(yùn)含的隱形數(shù)學(xué)操作，如尺規(guī)作圖，切割變形等）和約束條件（陳述背景、數(shù)據(jù)以及運(yùn)算形式之間的關(guān)系）.

在典型案例1中，劉敏并不重視問(wèn)題中數(shù)據(jù)和約束條件的設(shè)計(jì)與解讀.例如，用參賽球隊(duì)的編號(hào)來(lái)設(shè)置一些回合比賽是不完整的，這可能會(huì)意味著一些球隊(duì)沒(méi)有比賽對(duì)象，所以他們沒(méi)辦法參與到比賽中去.又如，她假設(shè)“7隊(duì)與8隊(duì)對(duì)決中贏得的球隊(duì)取得進(jìn)入決賽的資格”，問(wèn)題中并沒(méi)有提及這樣的約束條件.然而，典型案例1的設(shè)計(jì)與解決給我們傳遞了一個(gè)非常重要的信息：?jiǎn)栴}解決過(guò)程中“解讀”階段的重要性.

表征：把問(wèn)題中的數(shù)據(jù)（已知量和未知量）、運(yùn)算形式等信息轉(zhuǎn)化為自己熟悉的方式呈現(xiàn).用理解的方式來(lái)審題會(huì)形成一種心智模式，這種心智模式是引導(dǎo)學(xué)生如何解決問(wèn)題的思維方式，它是一種系統(tǒng)性的歸納展示，一般由形象思維能力、空間想象能力、分析能力、歸納能力、實(shí)踐能力等組成.這種思維模式還可以繼續(xù)轉(zhuǎn)換成學(xué)生更容易理解的形式，如圖形表示、設(shè)置活動(dòng)等.

在典型案例2中，首先，陳潔通過(guò)手勢(shì)活動(dòng)（一種更容易理解的形式）表達(dá)她對(duì)問(wèn)題中水位變化的理解，這說(shuō)明她自己有一種對(duì)兩個(gè)水池中水位變化的表征方法.接著，陳潔描述在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)得慎重選擇數(shù)字，以確保這兩個(gè)水池的水位變化有增有減，這說(shuō)明她能夠把相關(guān)數(shù)據(jù)與問(wèn)題所描述的現(xiàn)象聯(lián)系在一起.這些都意味著陳潔成功地為她設(shè)計(jì)的問(wèn)題建立起了一個(gè)心智模式.

構(gòu)建：基于問(wèn)題的解讀和表征，學(xué)生需要構(gòu)建起對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.所指的數(shù)學(xué)模型可以是：等式；方程組；用圖形表示的一些步驟；各種計(jì)算算法等.

在典型案例3中，雖然周偉成功經(jīng)歷了所設(shè)計(jì)問(wèn)題的解讀階段和表征階段，但他沒(méi)有構(gòu)建出與心智模式對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，因此，他只能通過(guò)一步步試驗(yàn)來(lái)解決這道題.

實(shí)施：在成功構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用特定方法（例如：計(jì)算、證明、構(gòu)造、猜想等）得出實(shí)際問(wèn)題解決方案的階段.由于該階段是依據(jù)自己已經(jīng)掌握的方法，在確定的情況下對(duì)某些已知條件的應(yīng)用，筆者把它叫做實(shí)施.

在典型案例4中，通過(guò)與黃悅訪談獲知，他是用一個(gè)特定方程式（預(yù)想好的）來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題的，導(dǎo)致他在實(shí)施階段沒(méi)意識(shí)到問(wèn)題本身的最優(yōu)解.

綜上，本文提出一個(gè)側(cè)重于描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中經(jīng)歷認(rèn)知階段的思維模式（見(jiàn)圖1）：學(xué)生在解題時(shí)，首先會(huì)解讀問(wèn)題（文字表述）；然后搜索數(shù)據(jù)（已知量和未知量）與運(yùn)算形式之間的關(guān)系，并轉(zhuǎn)化為自己熟悉的表征方式（心智模式）；接著構(gòu)建出一個(gè)適合該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；最后使用特定的方法求出問(wèn)題的解決方案.

圖1　描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式

思維模式中的四個(gè)階段呈遞歸性原則，也就是說(shuō)，學(xué)生在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，需要按線性順序通過(guò)它們.顯然，數(shù)學(xué)教師可借助該思維模式獲得學(xué)生的問(wèn)題解決能力模式，尤其是可以由學(xué)生在某一階段的錯(cuò)誤行為挖掘出學(xué)生在該階段的認(rèn)知故障.同時(shí)，考慮到學(xué)生階段性認(rèn)知能力的培養(yǎng)，依據(jù)該思維模式，數(shù)學(xué)教師可以通過(guò)提出具體問(wèn)題來(lái)特別關(guān)注學(xué)生的某一認(rèn)知階段，以滿足針對(duì)性教學(xué)目標(biāo)的需要.

3　依據(jù)上述思維模式，編制高質(zhì)量數(shù)學(xué)選擇題

由上述討論可知，側(cè)重于描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式可用于編制數(shù)學(xué)選擇題中的干擾項(xiàng)，下面筆者具體通過(guò)兩個(gè)案例進(jìn)行應(yīng)用討論.

應(yīng)用案例1：根據(jù)數(shù)學(xué)選擇題題干信息有效編制其干擾項(xiàng)

注：事實(shí)上，學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的每個(gè)認(rèn)知階段的錯(cuò)誤行為各有不同，難以詳述.因此，筆者在分析學(xué)生在各個(gè)認(rèn)知階段出現(xiàn)的錯(cuò)誤情形時(shí)，只描述一種在揭示學(xué)生階段認(rèn)知故障上具有一定代表性的錯(cuò)誤行為.

階段（一）：解讀

要想了解學(xué)生在解讀階段出現(xiàn)的問(wèn)題，重點(diǎn)在于闡述題干文字信息中數(shù)據(jù)與運(yùn)算形式之間的基本關(guān)系.在該問(wèn)題的解讀中，筆者認(rèn)為學(xué)生必須經(jīng)歷這樣一個(gè)認(rèn)知過(guò)程：三角形的形成過(guò)程是從一個(gè)大的三角形連續(xù)過(guò)渡到一個(gè)小的三角形，而三角形面積的求解過(guò)程則是由小三角形的面積到大三角形的面積的一個(gè)轉(zhuǎn)換.如果缺失這樣的解讀，學(xué)生可能只是對(duì)文字表述有一個(gè)粗略的感知過(guò)程：已知△ABC，找出各邊中點(diǎn)，連接成新的三角形，操作三次.進(jìn)而有意識(shí)地將題干中唯一的數(shù)字（32）二等分了三次，得出第一個(gè)干擾項(xiàng)4.相應(yīng)的，選擇了干擾項(xiàng)4的學(xué)生可以清楚地表明自己對(duì)這道題的題意解讀失敗.否則，這個(gè)干擾項(xiàng)是可以立即排除的，因?yàn)椤鰽BC的面積（整體）不可能小于△A3B3C3面積（一部分）.

階段（二）：表征

當(dāng)順利通過(guò)問(wèn)題解讀階段后，學(xué)生會(huì)進(jìn)入問(wèn)題表征階段.在該階段，學(xué)生會(huì)把解讀信息轉(zhuǎn)化為自己熟悉的認(rèn)知方式來(lái)呈現(xiàn)，即把題干中的文字信息轉(zhuǎn)化為自己繪制的對(duì)應(yīng)圖形，其中繪制圖形的過(guò)程涉及重復(fù)（三次）相同規(guī)則的分割（繪出三角形各邊的中點(diǎn)，再由三個(gè)中點(diǎn)連接成新的三角形）.什么情況會(huì)表明學(xué)生對(duì)該試題出現(xiàn)思維表征功能障礙呢？也即是對(duì)該圖形的理解產(chǎn)生“扭曲”呢？例如，學(xué)生沒(méi)考慮到三角形的區(qū)域變得越來(lái)越小，而是有意識(shí)地認(rèn)為圖形中各個(gè)部分的面積相等（△ABC被分成十個(gè)不相交的且面積相等的三角形），進(jìn)而計(jì)算得出第二個(gè)干擾項(xiàng)320.

階段（三）：構(gòu)建

筆者認(rèn)為，在學(xué)生成功經(jīng)歷上述兩個(gè)認(rèn)知階段后，他們能夠意識(shí)到本題所涉及數(shù)學(xué)模型的重點(diǎn)不是中位線和全等三角形，而是相似三角形.什么情況會(huì)表明在學(xué)生的頭腦中沒(méi)有構(gòu)建好相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型呢？例如，學(xué)生誤認(rèn)為相似三角形的邊長(zhǎng)比等于它們的面積比，也即學(xué)生由，計(jì)算得出第三個(gè)干擾項(xiàng)256.

階段（四）：實(shí)施

當(dāng)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建成功后，還需根據(jù)實(shí)際試題的具體語(yǔ)境，應(yīng)用特定方法得出試題的解決方案.本實(shí)施階段主要包括三個(gè)解題步驟，即把△A3B3C3的面積連續(xù)三次乘以4.那么，在本階段哪里會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤呢？例如，學(xué)生在壓縮上述三次連續(xù)計(jì)算步驟時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算式32×43被32×4×3取代，這樣就會(huì)有第四個(gè)干擾項(xiàng)384.

綜上所述，筆者編制出如下問(wèn)題選項(xiàng)：

應(yīng)用案例2：優(yōu)化編制某數(shù)學(xué)測(cè)試卷中一道選擇題中的干擾項(xiàng)

很顯然，對(duì)于一道數(shù)學(xué)選擇題中干擾項(xiàng)的編制結(jié)果并不是唯一的，通常，都是基于預(yù)先試驗(yàn)（或推測(cè)）來(lái)確定的與此有關(guān)的錯(cuò)誤選項(xiàng).在沒(méi)有與該試題編制者直接面談的前提下，筆者嘗試分析試題中干擾項(xiàng)（表1）設(shè)置的意義：

表1　

總體上，筆者認(rèn)為上述干擾項(xiàng)中內(nèi)含的錯(cuò)誤源呈現(xiàn)出重復(fù)性、片面性等特點(diǎn)，價(jià)值不大.當(dāng)然，對(duì)一個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，在解這道題時(shí)，選取試題編制者所預(yù)期的任一干擾項(xiàng)都是有可能的.但用一個(gè)更有效的策略來(lái)編制試題中的干擾項(xiàng)，往往可以更加系統(tǒng)地反映學(xué)生的錯(cuò)誤源，進(jìn)而幫助數(shù)學(xué)教師更加高效地捕捉學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的階段性認(rèn)知障礙.特別是，在缺乏與學(xué)生直接互動(dòng)的前提下，高效的試題編制能夠使得數(shù)學(xué)教師得到更有效的問(wèn)題反饋，利于開(kāi)展接下來(lái)的針對(duì)性訓(xùn)練.下面筆者基于“描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式”對(duì)上述數(shù)學(xué)選擇題中的干擾項(xiàng)進(jìn)行優(yōu)化編制.

階段（一）：解讀

同理，要想了解學(xué)生在解讀階段出現(xiàn)的問(wèn)題，重點(diǎn)在于闡述題干文字信息中數(shù)據(jù)與運(yùn)算形式之間的基本關(guān)系.在該問(wèn)題的解讀中，筆者認(rèn)為學(xué)生必須經(jīng)歷這樣一個(gè)認(rèn)知過(guò)程：理解題干中數(shù)據(jù)4與 1003之間的運(yùn)算關(guān)系，即明確41003是由數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化而來(lái)的.如果缺失這樣的解讀，學(xué)生可能只是對(duì)題干中的文字表述有一個(gè)粗略的感知過(guò)程，僅僅著眼于“數(shù)”的字面，進(jìn)而有意識(shí)地用“41003”取代了“41003”，這種失敗的解讀會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)第一個(gè)干擾項(xiàng)03.

階段（二）：表征

當(dāng)順利通過(guò)問(wèn)題解讀階段后，學(xué)生會(huì)進(jìn)入問(wèn)題表征階段.在該階段，學(xué)生會(huì)把解讀信息轉(zhuǎn)化為自己熟悉的認(rèn)知方式來(lái)呈現(xiàn)，即把題干中的41003轉(zhuǎn)化為自己更容易理解的認(rèn)知方式4→×416→×464→×4256….什么情況會(huì)表明學(xué)生對(duì)該試題出現(xiàn)思維表征功能障礙呢？也即是把題干中的41003轉(zhuǎn)化為一種“扭曲”的認(rèn)知方式呢？例如，學(xué)生有意識(shí)地把41003轉(zhuǎn)化為4×1003（“扭曲”的認(rèn)知方式）來(lái)呈現(xiàn)，進(jìn)而計(jì)算得出第二個(gè)干擾項(xiàng)12.

階段（三）：構(gòu)建

筆者認(rèn)為，在學(xué)生成功經(jīng)歷上述兩個(gè)認(rèn)知階段后，他們能夠意識(shí)到本題所涉及數(shù)學(xué)模型的重點(diǎn)是周期性計(jì)算.什么情況會(huì)表明在學(xué)生的頭腦中沒(méi)有構(gòu)建好相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型呢？例如，在本題所有的周期性計(jì)算中，學(xué)生本應(yīng)只關(guān)注每一步每一個(gè)結(jié)果的最后兩位數(shù)，如果這種心理構(gòu)建缺失，由于題中涉及的計(jì)算序列越來(lái)越大，導(dǎo)致計(jì)算的過(guò)程變得越來(lái)越難，這種計(jì)算困境會(huì)促使學(xué)生有意識(shí)地選取第三個(gè)干擾項(xiàng)“無(wú)法計(jì)算”.

階段（四）：實(shí)施

當(dāng)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建成功后，還需根據(jù)實(shí)際試題的具體語(yǔ)境，應(yīng)用特定方法得出試題的解決方案.本實(shí)施階段主要包括尋找計(jì)算周期和準(zhǔn)確完成計(jì)算過(guò)程.那么，在本階段哪里會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤呢？例如，有的學(xué)生忽視題干中的提示信息，給出如下實(shí)施過(guò)程：41003=22006（有選擇地把“求41003最后兩位數(shù)字”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求22006最后兩位數(shù)字”的問(wèn)題）=22+21×95×29（計(jì)算依據(jù)：除第一項(xiàng)21外，后面項(xiàng)的最后兩位數(shù)字重復(fù)的周期是20，如22和222最后兩位數(shù)字都是04，所以，僅計(jì)算最后兩位數(shù)字得）=04× 512=2048，就會(huì)有第四個(gè)干擾項(xiàng)48.

綜上所述，筆者設(shè)計(jì)出如下問(wèn)題選項(xiàng)：

4　總結(jié)

綜上，筆者有這樣的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)教師如果理解并掌握住側(cè)重于描述學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)歷的思維模式（解讀→表征→構(gòu)建→實(shí)施），則可將該思維模式應(yīng)用于數(shù)學(xué)選擇題中干擾項(xiàng)的編制上，借此可揭示出學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中每個(gè)認(rèn)知階段的根本性錯(cuò)誤，以此來(lái)提升數(shù)學(xué)教師的測(cè)試題編制能力.另外，該思維模式可為數(shù)學(xué)選擇題這個(gè)范疇的測(cè)試題編制提供統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，以此保證數(shù)學(xué)教師編制的數(shù)學(xué)選擇題在測(cè)試時(shí)能得到一致的反饋結(jié)果，體現(xiàn)公平性和有效性.

［1］張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］約翰·杜威.我們?nèi)绾嗡季S［M］.伍中友，譯.北京：新華出版社，2010.

［3］華萊士.思想的藝術(shù)［M］.北京：中華書(shū)局，2003.

［4］波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法［M］.徐泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

［5］朱德全.數(shù)學(xué)問(wèn)題系統(tǒng)的構(gòu)建與解決程式［J］.中國(guó)教育學(xué)刊，1999（5），10：41-44.

［6］蔡燊安，李祝華.創(chuàng)造的生理心理機(jī)制及社會(huì)最優(yōu)化［J］.江西社會(huì)科學(xué)，1984（1）：115-122.

［7］吳鴻業(yè).用口述分析法研究大、中、小學(xué)生問(wèn)題解決的基本思維過(guò)程［J］.心理科學(xué)通訊，1988（3）：47-49.

［8］SILVER E，MAMONA-DOWNS J，LEUNG S，et al.Posing mathematical problems：An exploratory study［J］.Journal for Research in Mathematics Education，1996,27（3）：293-309.

An Inquiry of Compilation of Mathematic Choice Question Based on Cognitive Process Analysis

ZHANG Lei
（School of Mathematics&Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

In this paper，by means of case study，we first put forward a thinking model which focuses on describing cognitive experience of the student in the process of solving questions：interpretation→representation→construction→implement.Then，in order to promote mathematics teacher’s capability of compiling quiz question，the author applies the thinking model to the compilation of disturbance term in mathematic choice question，whereby mathematics teacher can uncover the essential mistake in every cognitive stage of the student during the problem-solving process.In addition，the thinking model can provide a single standard for the quiz compilation pertaining to the category of mathematics choice question，for ensuring that the mathematic choice question compiled by mathematics teacher can get a consistent feedback in test.

problem solving；cognition；thinking mode；mathematics choice question；disturbance term

G 427

A

1007-6883（2016）03-0095-06

責(zé)任編輯朱本華

2015-12-07

韓山師范學(xué)院2015年度教學(xué)改革項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：HJG1524）.

張磊（1981-），男，河南確山人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師.